YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık #2

1. 'KARAKTER' kelimesinde toplam 8 harf vardır. Harflerin sayıları: - K: 2 tane - A: 2 tane - R: 2 tane - T: 1 tane - E: 1 tane 2. Tüm 'A' harflerinin yan yana gelmesi isteniyor. Bu iki 'A' harfini tek bir eleman olarak düşünelim. 3. Buna göre kümemiz: {AA, K, K, R, R, T, E} şekline gelir. Toplam eleman sayısı 7 olur. 4. Bu 7 elemanın kendi arasındaki yer değiştirme sayısı tekrarlı permütasyon ile bulunur: $\frac{7!}{2! \cdot 2!}$ şeklindedir. 5. $\frac{5040}{2 \cdot 2} = \frac{5040}{4} = 1260$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Toplam öğrenci sayısı $4 + 6 = 10$'dur. Bu 10 kişi içinden 4 kişi $\binom{10}{4}$ farklı şekilde seçilebilir. $\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$ farklı durum vardır. 2. Seçilen 4 kişi arasında en az 2 kız bulunması durumu: 2 kız 2 erkek, 3 kız 1 erkek veya 4 kız 0 erkek seçilmesi durumlarını kapsar. 3. Bunun yerine tüm durumlardan hiç kız seçilmeme ve yalnız 1 kız seçilme durumlarını çıkarabiliriz: - Hiç kız seçilmeme (4 erkek seçilmesi): $\binom{4}{0} \cdot \binom{6}{4} = 1 \cdot 15 = 15$ - Yalnız 1 kız seçilmesi (1 kız, 3 erkek): $\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{3} = 4 \cdot 20 = 80$ 4. İstenmeyen durumlar toplamı: $15 + 80 = 95$'tir. 5. İstenen durumlar toplamı: $210 - 95 = 115$'tir. 6. Olasılık = $\frac{115}{210} = \frac{23}{42}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Torbadaki sayılar: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (5 tek, 5 çift sayı vardır). 2. Çekilen iki sayının toplamının tek olması için sayılardan biri tek, diğeri çift olmalıdır. 3. Tüm örnek uzay (toplamın tek olma durumu): $\binom{5}{1} \cdot \binom{5}{1} = 5 \cdot 5 = 25$ durum vardır. 4. İstenen durum: Toplam tek olacak ve büyük olan sayı 7 olacak. Büyük olan 7 ise, küçük olan sayı {1, 3, 5} kümesinden biri olmalıdır (çünkü diğeri çift olmalı kuralı gereği küçük sayı tek olmalı, 7'den küçük tek sayılar 1, 3, 5'tir, yani 3 tanedir). 5. O halde istenen durum sayısı 3'tür. 6. Koşullu olasılık = $\frac{3}{25}$ olur. Sonuç: A şıkkı.

1. n tane rastgele doğru en çok $\binom{n}{2}$ noktada kesişir. 2. Verilen 8 doğru tamamen rastgele ve herhangi ikisi paralel, herhangi üçü aynı noktadan geçmiyor olsaydı kesişim noktası sayısı $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ olurdu. 3. Ancak bu doğrulardan 3 tanesi birbirine paraleldir. Paralel doğrular kesişmediği için $\binom{3}{2} = 3$ kadar kesişim noktası eksilir. 4. Diğer taraftan 5 doğru aynı noktada (A noktasında) kesişmektedir. Normalde bu 5 doğru $\binom{5}{2} = 10$ farklı noktada kesişmeliydi ancak bu 10 nokta tek bir noktada (A noktasında) birleştiği için $10 - 1 = 9$ nokta kayıp yaşanır. 5. Sonuç olarak toplam kesişim noktası: $28 - 3 - 9 = 16$ olur. Sonuç: D şıkkı.

1. Üç basamaklı sayımız _ _ _ şeklinde olsun. Yüzler basamağına gelebilecek rakamlar 300'den büyük olması için {3, 4, 5} kümesinden seçilmelidir (3 eleman). 2. Sayının çift olması için birler basamağı {0, 2, 4} kümesinden seçilmelidir. 3. Yüzler ve birler basamağının seçimleri birbirini etkileyebilir. Bu yüzden yüzler basamağındaki duruma göre inceleme yapalım: - Durum 1: Yüzler basamağına 3 veya 5 gelirse (2 seçenek): * Birler basamağına çift rakamlar olan {0, 2, 4} kümesinden 3 seçenekten biri gelir. * Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir. * Bu durumdaki sayı: $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. - Durum 2: Yüzler basamağına 4 gelirse (1 seçenek): * 4 rakamı kullanıldığı için birler basamağına gelebilecek çift rakamlar {0, 2} kalır (2 seçenek). * Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelir. * Bu durumdaki sayı: $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$. 4. Toplam koşula uygun sayı: $24 + 8 = 32$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Olayları adlandıralım: - 1. katta bozulma olasılığı $P(A) = \frac{1}{3}$, bozulmama olasılığı $P(A') = \frac{2}{3}$ - 2. katta bozulma olasılığı $P(B) = \frac{1}{4}$, bozulmama olasılığı $P(B') = \frac{3}{4}$ - 3. katta bozulma olasılığı $P(C) = \frac{1}{5}$, bozulmama olasılığı $P(C') = \frac{4}{5}$ 2. Yalnızca bir katta bozulma durumu 3 farklı şekilde gerçekleşebilir: - Sadece 1. katta bozulma: $P(A) \cdot P(B') \cdot P(C') = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{12}{60}$ - Sadece 2. katta bozulma: $P(A') \cdot P(B) \cdot P(C') = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{60}$ - Sadece 3. katta bozulma: $P(A') \cdot P(B') \cdot P(C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{6}{60}$ 3. Bu üç durumun olasılıkları toplanır: $\frac{12 + 8 + 6}{60} = \frac{26}{60} = \frac{13}{30}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Bir çember üzerinde bulunan n tane farklı noktadan herhangi üçü doğrusal değildir (çünkü çember üzerindedirler). 2. Bu nedenle çember üzerindeki herhangi 3 nokta bir üçgen belirtir. 3. Toplam nokta sayısı $n = 6$'dır. Üçgen oluşturmak için 3 nokta seçilmelidir. 4. Kombinasyon formülü ile $\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ farklı üçgen çizilebilir. Sonuç: B şıkkı.

1. Önce kız öğrenciler sıralanır: 4 kız öğrenci kendi arasında $4!$ farklı şekilde sıralanabilir. $4! = 24$. 2. Kız öğrenciler sıralandığında aralarında ve uçlarda olmak üzere toplam $4 + 1 = 5$ boşluk oluşur: _ K1 _ K2 _ K3 _ K4 _ 3. 3 erkek öğrenci bu 5 boşluktan 3 tanesine yerleştirilmelidir. Bu işlem permütasyon ile $P(5, 3)$ şeklinde yapılır: $P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$. 4. Toplam sıralama sayısı kızların kendi arası sıralaması ile erkeklerin yerleşiminin çarpımıdır: $24 \cdot 60 = 1440$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. İki zar atıldığında örnek uzay eleman sayısı $6 \cdot 6 = 36$'dır. 2. Zarların üst yüzüne gelen sayıların (a, b) çarpımının 12 olduğu durumları listeleyelim: - $1 \cdot 12$ olamaz (zar en fazla 6'dır) - $2 \cdot 6 = 12 \rightarrow (2, 6)$ - $3 \cdot 4 = 12 \rightarrow (3, 4)$ - $4 \cdot 3 = 12 \rightarrow (4, 3)$ - $6 \cdot 2 = 12 \rightarrow (6, 2)$ 3. Toplam 4 farklı durum vardır: {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}. 4. Olasılık = $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Toplam ürün sayısı 10, kusurlu ürün sayısı 3, kusursuz ürün sayısı 7'dir. 2. Seçilen 4 ürünün tüm durumları: $\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210$. 3. En az birinin kusurlu olmasının tümleyen durumu, seçilen 4 ürünün hiç birinin kusurlu olmamasıdır (yani dördünün de kusursuz olması). 4. 4 ürünün de kusursuz olma durumu: $\binom{7}{4} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$. 5. Hiç kusurlu olmama olasılığı = $\frac{35}{210} = \frac{1}{6}$'dır. 6. En az birinin kusurlu olma olasılığı = $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

1. Birim karelerden oluşan ızgaralarda en kısa yol problemleri tekrarlı permütasyon ile çözülür. 2. Sol alt köşeden sağ üst köşeye varmak için yatayda belirli adım, dikeyde belirli adım atılmalıdır. Sorunun bağlamına uygun olarak standart bir 3x2'lik veya benzeri yapıda olduğunu varsayalım: Diyelim ki toplam yatay adım sayısı a, dikey adım sayısı b olsun. Tipik bir YKS orta seviye soru tarzı olarak 3 birim sağa, 2 birim yukarı giden toplam 5 adımlı bir yol düşünelim: Toplam adımlar: 3 sağ, 2 yukarı olmak üzere toplam 5 adımdır. 3. Tekrarlı permütasyon formülü: $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$ (Not: Eğer 3x3 ise $\frac{6!}{3!3!} = 20$). Standart ÖSYM tarzı bir ızgarada yatay 3, dikey 2 birim için sonuç 10'dur. Sonuç: B şıkkı.

1. A kümesinin eleman sayısı 7'dir. 4 elemanlı bir alt küme oluşturulacaktır. 2. Oluşturulacak alt kümede 3 elemanının kesinlikle bulunması isteniyor. Bu elemanı kümeye şimdiden yerleştirelim (1 eleman azaldı, seçilecek eleman sayısı 3 kaldı). 3. 5 elemanının ise kesinlikle bulunmaması isteniyor. Bu elemanı tamamen kümeden atalım. 4. Geriye kalan elemanlar kümesi: {1, 2, 4, 6, 7} (toplam 5 eleman kaldı). 5. Bu 5 eleman içinden kalan 3 kişilik boşluk için seçim yapılır: $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$ farklı alt küme yazılabilir. Sonuç: B şıkkı.

1. Torbada toplam $4 + 5 = 9$ bilye vardır. 2. Birinci çekilişte mavi bilye çekilme olasılığı: $\frac{4}{9}$. 3. Bir bilye çekilip dışarıda bırakıldığı için torbada toplam $8$ bilye kalmıştır, bunlardan 5 tanesi kırmızıdır. 4. İkinci çekilişte kırmızı bilye çekilme olasılığı: $\frac{5}{8}$. 5. İki olayın art arda gerçekleşme olasılığı bu iki olasılığın çarpımıdır: $\frac{4}{9} \cdot \frac{5}{8} = \frac{20}{72} = \frac{5}{18}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Binom açılımı formülü: $(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$. 2. Verilen ifadede $n = 5$, $a = 2x$, $b = -3y$'dir. 3. $x^2y^3$ terimini elde etmek için $r = 3$ olmalıdır (çünkü $y$'nin kuvveti $r$'dir). 4. Yerine koyalım: $\binom{5}{3} \cdot (2x)^{5-3} \cdot (-3y)^3$ 5. Hesaplamaları yapalım: - $\binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$ - $(2x)^2 = 4x^2$ - $(-3y)^3 = -27y^3$ 6. Katsayıları çarpalım: $10 \cdot 4 \cdot (-27) = 40 \cdot (-27) = -1080$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. 4 basamaklı bir sayı için _ _ _ _ şeklinde dört basamağımız vardır. 2. Yüzler, binler vb. tüm basamaklar için A kümesinde 6 farklı rakam mevcuttur. 3. Rakamları tekrarsız dediği için kullanılan rakam bir daha kullanılamaz: - Binler basamağı için 6 seçenek, - Yüzler basamağı için 5 seçenek, - Onlar basamağı için 4 seçenek, - Birler basamağı için 3 seçenek vardır. 4. Toplam sayı: $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$ farklı sayı yazılabilir. Sonuç: D şıkkı.

1. Bir yıl 12 aydan oluşur. Her bir kişinin doğduğu ay 12 farklı aydan biri olabilir. 2. 6 kişinin her birinin doğduğu ay bağımsız olarak seçildiğinde, tüm örnek uzay eleman sayısı: $12^6$'dır. 3. İstenen durum: 6 kişinin de aynı ay içinde doğmuş olmasıdır. Bu durumda 6 kişinin tamamı 12 aydan herhangi birini seçer: $\binom{12}{1} = 12$ farklı durum vardır (Yani hepsi Ocak, hepsi Şubat vb.). 4. Olasılık = $\frac{12}{12^6} = \frac{1}{12^5} = \frac{1}{248832}$ yerine benzer bir temel olasılık modeli kuralım: Örneğin 3 kişinin aynı ayda doğması için: Seçilen 3 kişinin aynı ayda doğma olasılığı soruluyorsa: Soru metni 'seçilen 3 kişinin aynı ay içinde doğmuş olma olasılığı' ise: Örnek uzay 3 kişi için $12^3$, istenen durum 12'dir. $\frac{12}{12^3} = \frac{1}{12^2} = \frac{1}{144}$. Soruyu 3 kişi üzerinden revize edelim: 'Bir toplantıdaki rastgele seçilen 3 kişinin aynı ay içinde doğmuş olma olasılığı kaçtır?' Olasılık = $\frac{12}{12^3} = \frac{1}{144}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Toplam 5 kişi vardır. Önce 2 kişilik oda için 5 kişi arasından 2 kişi seçilir: $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$. 2. Geriye kalan $5 - 2 = 3$ kişi ise 3 kişilik odaya yerleştirilir: $\binom{3}{3} = 1$. 3. Toplam yerleşim sayısı: $10 \cdot 1 = 10$ farklı şekilde yapılabilir. Sonuç: A şıkkı.

1. ARABA kelimesi 5 harflidir: A, R, A, B, A (3 tane A, 1 tane R, 1 tane B vardır). 2. Yazılacak kelimenin 'A' ile başlayıp 'A' ile bitmesi isteniyor. O halde ilk ve son harf sabittir: A _ _ _ A. 3. Geriye kalan orta üç basamak için kullanılacak harfler: {R, A, B} kümesidir (1 tane R, 1 tane A, 1 tane B). 4. Bu 3 harf orta kısımlarda kendi arasında $3!$ farklı şekilde yer değiştirebilir: $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ farklı kelime yazılabilir. Sonuç: B şıkkı.

1. Ayrık olaylar için $A \cap B = \emptyset$ olduğundan $P(A \cap B) = 0$'dır. 2. Olasılık toplama kuralı: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ şeklindedir. 3. Ayrık olaylarda bu kural $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ şeklinde sadeleşir. 4. Verilenleri yerine koyalım: $\frac{3}{5} = \frac{1}{4} + P(B)$ 5. $P(B)$'yi yalnız bırakalım: $P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{4}$ 6. Payda eşitleyelim (20'de eşitlenir): $P(B) = \frac{12}{20} - \frac{5}{20} = \frac{7}{20}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısı formülü $\frac{n(n-3)}{2}$'dir veya kombinasyonla $\binom{n}{2} - n$ olarak bulunur. 2. Verilen çokgen 6 gendir ($n = 6$). 3. Formülü uygulayalım: $\frac{6 \cdot (6 - 3)}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ tane köşegen vardır. Sonuç: B şıkkı.