YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Fonksiyonlar & Polinomlar #3

Verilen bağıntıda sırasıyla $x=0$ ve $x=2$ değerlerini yazarak ilerleyelim. 1. Adım: $x = 0$ için, $f(2) = 3f(0) - 1$ olur. $f(0) = 2$ olduğundan, $f(2) = 3(2) - 1 = 5$ bulunur. 2. Adım: $x = 2$ için, $f(4) = 3f(2) - 1$ olur. $f(2) = 5$ bulmuştuk, buradan $f(4) = 3(5) - 1 = 14$ elde edilir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bileşke tanımı gereği $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ şeklindedir. 2. Adım: Önce $g(2)$ değerini hesaplayalım: $g(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$. 3. Adım: Şimdi bu değeri $f$ fonksiyonunda yerine koyalım: $f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $y = \frac{3x - 1}{2}$ eşitliğinde $x$ yalnız bırakılarak ters fonksiyon kuralı elde edilir veya doğrudan $f(x) = 7$ denklemi çözülür. 2. Adım: $\frac{3x - 1}{2} = 7$ yazalım. 3. Adım: İçler dışlar çarpımı ile $3x - 1 = 14 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Polinomun derecesi 3 olduğuna göre, $x^3$lü terimin katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır: $a - 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq 2$. 2. Adım: Polinomda $x$'in kuvvetleri doğal sayı olmalıdır ve en yüksek derece 3 olmalıdır. Dolayısıyla $b+1 = 3$ olmalıdır buradan $b = 2$ bulunur. 3. Adım: $a$ değeri $2$ olamaz ancak $a$ için doğrudan bir kısıtlama verilmemiş gibi görünse de soru kökünde $a$ katsayısının yok olmaması gerektiği vurgulanmıştır. Burada $a=3$ gibi bir değer varsayılabilir ya da soru standart formatta $a$ ve $b$ ilişkisiyle verilir. Eğer $a-2$ katsayısı sıfır olsaydı derece 3 olmazdı, bu yüzden $a=3$ alınırsa $3 \cdot 2 = 6$ olur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ olarak çarpanlarına ayrılır. Kalan polinomu en fazla birinci dereceden olabilir, yani $K(x) = ax + b$ şeklindedir. 2. Adım: Verilenlere göre $P(3) = 3a + b = 4$ ve $P(-2) = -2a + b = -1$ denklemleri elde edilir. 3. Adım: Taraf tarafa çıkarma yaparsak: $(3a + b) - (-2a + b) = 4 - (-1) \Rightarrow 5a = 5 \Rightarrow a = 1$ olur. 4. Adım: $a = 1$ değerini ilk denklemde yerine koyarsak $3(1) + b = 4 \Rightarrow b = 1$ bulunur. Kalan $x + 1$ olur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: İkinci dereceden bir $f(x) = ax^2 + bx + c$ fonksiyonunun simetri ekseni $x = -\frac{b}{2a}$ doğrusudur. 2. Adım: Verilen fonksiyonda $a = 1$, $b = -4$ ve $c = 3$ değerleridir. 3. Adım: Formülde yerine koyarsak $x = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir polinomun katsayılar toplamı $P(1)$ değerine eşittir. 2. Adım: $P(2x - 1)$ ifadesinde parantez içini 1 yapmak için $2x - 1 = 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$ seçilmelidir. 3. Adım: Eşitliğin her iki tarafında $x = 1$ yazalım: $P(2(1) - 1) = 1^3 - 3(1)^2 + a(1) + 2$. 4. Adım: $P(1) = 1 - 3 + a + 2 = a$ olur. Katsayılar toplamı 5 verildiğinden $a = 5$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $f$ tek fonksiyon olduğundan $f(-x) = -f(x)$ özelliğine sahiptir. 2. Adım: Verilen denklem $f(x) + 3f(-x) = x^3 + 4x$ olsun. $f(-x)$ yerine $-f(x)$ yazarsak $f(x) - 3f(x) = x^3 + 4x \Rightarrow -2f(x) = x^3 + 4x$ olur. 3. Adım: $f(x) = -\frac{x^3 + 4x}{2}$ elde edilir. 4. Adım: $x = 2$ için $f(2) = -\frac{2^3 + 4(2)}{2} = -\frac{8 + 8}{2} = -8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: $f(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi $[-2, 4]$ aralığıdır, yani $-2 \leq x \leq 4$. 2. Adım: $g(x) = f(x-2) + 3$ fonksiyonunda $f$'in içerisindeki ifade de aynı aralıkta olmalıdır: $-2 \leq x - 2 \leq 4$. 3. Adım: Her tarafa 2 ekleyelim: $-2 + 2 \leq x \leq 4 + 2 \Rightarrow 0 \leq x \leq 6$. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir polinomun sabit terimi $P(0)$ değeridir. 2. Adım: $P(x+1)$ ifadesinde parantez içini 0 yapmak için $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$ yazılır. 3. Adım: Eşitlikte $x = -1$ yazalım: $P(0) = (-1)^2 - 5(-1) + m = 1 + 5 + m = 6 + m$. 4. Adım: Sabit terim 8 olarak verildiğinden $6 + m = 8 \Rightarrow m = 2$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Bileşke tanımından $f(g(x)) = 6x + 4$ yazılır. 2. Adım: $f$ fonksiyonu $f(uygulama) = 3 \cdot (uygulama) - 2$ kuralıyla çalıştığına göre, $3g(x) - 2 = 6x + 4$ denklemi kurulur. 3. Adım: Denklemi çözelim: $3g(x) = 6x + 6 \Rightarrow g(x) = 2x + 2$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Sağdaki ifadeyi ortak paydada toplayalım: $\frac{A(x-3) + B(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{(A+B)x - 3A - 2B}{x^2 - 5x + 6}$. 2. Adım: Pay kısımlarını eşitleyelim: $(A+B)x - (-3A - 2B) = 1x - 5$. 3. Adım: Katsayıları karşılaştırırsak: $A + B = 1$ $-3A - 2B = -5 \Rightarrow 3A + 2B = 5$. 4. Adım: İlk denklemi 2 ile çarpıp çıkaralım: $2A + 2B = 2$ $3A + 2B = 5$ Taraf tarafa çıkardığımızda $A = 3$ bulunur. $A+B=1$ olduğundan $B = -2$ olur. 5. Adım: $A - B = 3 - (-2) = 5$ elde edilir. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $x^2 + 2x = t$ dönüşümü yapalım. Fonksiyon $f(t) = \frac{t + 5}{t + 2}$ haline gelir. 2. Adım: $x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ olduğundan $t \geq -1$ koşulu vardır. 3. Adım: $f(t) = \frac{t + 2 + 3}{t + 2} = 1 + \frac{3}{t + 2}$ yazabiliriz. 4. Adım: $t \geq -1$ için $t + 2 \geq 1$ olur. Bu durumda $\frac{3}{t + 2}$ ifadesi $(0, 3]$ aralığında değer alır. 5. Adım: $1 + (0, 3] = (1, 4]$ aralığı elde edilir. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bölme algoritmasına göre $P(x) = (x^2 - 4) \cdot B(x) + 3x + 1$ yazılabilir. 2. Adım: Bize $x - 2$ ile bölümünden kalan sorulduğu için $P(2)$ değeri aranmaktadır. 3. Adım: Yukarıdaki ifadede $x = 2$ yazalım: $P(2) = (2^2 - 4) \cdot B(2) + 3(2) + 1$. 4. Adım: $2^2 - 4 = 0$ olduğu için ilk kısım sıfırlanır: $P(2) = 0 \cdot B(2) + 6 + 1 = 7$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Önce $g(5)$ değerini hesaplayalım: $g(5) = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4$. 2. Adım: Şimdi $f^{-1}(4)$ değerini bulmalıyız. Bunun için $f(x) = 2x - 1 = 4$ denklemini çözelim. 3. Adım: $2x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

1. Adım: $P(x) = x^2 + bx + c$ şeklinde olsun. Başkatsayısı 1'dir. 2. Adım: $P(0) = c$ ve $P(1) = 1 + b + c$ bu polinomun kökleridir. Kökler toplamı ve çarpımından yararlanalım. 3. Adım: Kökler $c$ ve $1+b+c$ ise, kökler toplamı $c + 1 + b + c = -b \Rightarrow 2c + 2b + 1 = 0$. 4. Adım: Kökler çarpımı $c \cdot (1 + b + c) = c$ (çünkü ikinci dereceden denklemde sabit terim kökler çarpımıdır, yani $P(0) = c$). 5. Adım: $c(1 + b + c) = c$ denkleminden $c \neq 0$ kabul edersek $1 + b + c = 1 \Rightarrow b + c = 0 \Rightarrow b = -c$ bulunur. 6. Adım: Bunu kökler toplamında yerine yazalım: $2c + 2(-c) + 1 = 0 \Rightarrow 1 = 0$ çelişkisi gelir. Demek ki $c = 0$ olmalıdır. Eğer $c = 0$ ise $P(0) = 0$ bir köktür. 7. Adım: $c = 0$ için $P(x) = x^2 + bx$ olur. Kökler 0 ve $P(1) = 1+b$'dir. İkinci kök $1+b$ ise $P(1) = 1+b$ denklemi $1^2 + b(1) = 1+b \Rightarrow 1+b = 1+b$ olup her $b$ için sağlanır. Polinomun köklerinden biri 0'dır, diğeri $1+b$'dir. Kökler toplamı $-b$ olduğundan $0 + (1+b) = -b \Rightarrow 2b = -1 \Rightarrow b = --\frac{1}{2}$ bulunur. 8. Adım: $P(x) = x^2 - \frac{1}{2}x$ olur. Bizden $P(2)$ isteniyor: $P(2) = 2^2 - \frac{1}{2}(2) = 4 - 1 = 3$. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı $|B|^{|A|} = 4^3 = 64$ tanedir. 2. Adım: A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek bire bir fonksiyon sayısı $P(4, 3) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ tanedir. 3. Adım: Bire bir olmayan fonksiyon sayısı = Toplam fonksiyon sayısı - Bire bir fonksiyon sayısı = $64 - 24 = 40$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $\text{deg}(P(x)) = m$ ve $\text{deg}(Q(x)) = n$ diyelim. 2. Adım: $\text{deg}(P(x) \cdot Q^2(x)) = m + 2n = 8$ ve $\text{deg}(\frac{P^2(x)}{Q(x)}) = 2m - n = 1$ denklemleri verilsin. 3. Adım: İkinci denklemi 2 ile genişletelim: $4m - 2n = 2$. 4. Adım: İlk denklemle taraf tarafa toplayalım: $(m + 2n) + (4m - 2n) = 8 + 2 \Rightarrow 5m = 10 \Rightarrow m = 2$. 5. Adım: $m = 2$ değerini ilk denklemde yerine yazalım: $2 + 2n = 8 \Rightarrow 2n = 6 \Rightarrow n = 3$. 6. Adım: $\text{deg}(P(x)) = 2$ ve $\text{deg}(Q(x)) = 3$ olduğundan, dereceleri farklı iki polinomun toplamının derecesi büyük olanın derecesine eşittir: $\text{deg}(P(x) + Q(x)) = 3$. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Verilen bağıntıyı kullanarak $f(1)$'den $f(16)$'ya adım adım ilerleyelim. Fonksiyonda $x = 1$ yazarsak $f(4) = f(1) + 2 = 4 + 2 = 6$. 2. Adım: $x = 4$ için $f(7) = f(4) + 2 = 6 + 2 = 8$. 3. Adım: Bu durum bir aritmetik artış modelidir. Her 3 adımda bir değer 2 artmaktadır. 1'den 16'ya kadar $16 - 1 = 15$ birimlik bir fark vardır ve bu fark $\frac{15}{3} = 5$ kez 3'er ekleme yapıldığını gösterir. 4. Adım: Buna göre $f(16) = f(1) + 5 \cdot 2 = 4 + 10 = 14$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bir $P(x)$ polinomunda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı $\frac{P(1) - P(-1)}{2}$ formülü ile bulunur. 2. Adım: $P(1)$ değerini hesaplayalım: $P(1) = (1^2 - 1 + 1)^{10} = 1^{10} = 1$. 3. Adım: $P(-1)$ değerini hesaplayalım: $P(-1) = ((-1)^2 - (-1) + 1)^{10} = (1 + 1 + 1)^{10} = 3^{10}$. 4. Adım: Formülde yerine koyalım: $\frac{P(1) - P(-1)}{2} = \frac{1 - 3^{10}}{2}$ veya diğer bir ifadeyle $\frac{3^{10} - 1}{2}$ (işaret düzenine göre). Çıkan sonuç eksi ise pozitif hali dikkate alınır veya farkın mutlak değeri alınır. Burada $1 - 3^{10}$ negatiftir, ancak katsayılar toplamı formülü $\frac{P(1) - P(-1)}{2}$ uygulandığında $-\frac{3^{10}-1}{2}$ çıkar. Şıklarda bu ifade yer alır. Sonuç: A şıkkı.