ALES ALES Sayısal Şifreli İşlemler ve Matematiksel Mantık Testi #1

1. Adım: İki basamaklı sayıları çözümleyelim: $KL = 10K + L$ ve $LK = 10L + K$ $KL + LK = 11K + 11L = 11(K + L) = 143$ Buradan $K + L = \frac{143}{11} = 13$ bulunur. 2. Adım: Verilen $K - L = 3$ eşitliği ile taraf tarafa toplayalım: $K + L = 13$ $K - L = 3$ $2K = 16 \implies K = 8$ $L = 13 - 8 = 5$ 3. Adım: Çarpımı hesaplayalım: $K \times L = 8 \times 5 = 40$ elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Tanımlanan $\square$ işleminde $x = 4$ ve $y = 1$ yazalım: $4 \;\square\; 1 = 4 \;\Delta\; (4 - 1) = 4 \;\Delta\; 3$ 2. Adım: Elde edilen ifadeyi $\Delta$ işleminde yerine koyalım: $a = 4$ ve $b = 3$ için; $4 \;\Delta\; 3 = 2(4) + 3(3) - 1$ $4 \;\Delta\; 3 = 8 + 9 - 1 = 16$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Kelimelerin harf yapısını inceleyelim: 'KASAP' kelimesinde 2. ve 4. harfler aynıdır (A harfi). Verilen sayılar incelendiğinde 2. ve 4. basamağı aynı olan tek sayı 13735'tir. Buradan K = 1, A = 3, S = 7, P = 5 olduğu belirlenir. 2. Adım: S = 7 olduğuna göre S ile başlayan kelimeleri inceleyelim: 'SAKİN' ve 'SİPER' kelimeleri 7 ile başlamalıdır. Sayılardan 7 ile başlayanlar 73184 ve 78526'dır. A = 3 ve K = 1 olduğundan 'SAKİN' kelimesi '731..' ile başlamalıdır; yani SAKİN = 73184'tür. Buradan İ = 8, N = 4 bulunur. 3. Adım: Diğer 7 ile başlayan sayı 'SİPER' = 78526'dır. Buradan S = 7, İ = 8, P = 5, E = 2, R = 6 bulunur. 4. Adım: 'PARKE' kelimesinin harflerini yerine yazalım: P = 5, A = 3, R = 6, K = 1, E = 2 olduğundan 'PARKE' kelimesine karşılık gelen sayı 53612'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Hatalı işlemi matematiksel olarak modelleyelim: Doğru çarpma işleminde birinci satır $4 \times ABC$, ikinci satır bir basamak kaydırıldığı için $20 \times ABC$ değerindedir. İkinci satır sola kaydırılmadığında doğrudan $2 \times ABC$ olarak toplanmıştır: Hatalı Toplam = $4 \times ABC + 2 \times ABC = 6 \times ABC = 3672$ 2. Adım: $ABC$ sayısını bulalım: $ABC = \frac{3672}{6} = 612$ 3. Adım: Doğru çarpım sonucunu hesaplayalım: Doğru Sonuç = $612 \times 24 = 14\,688$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Parantez içindeki işlemleri kurala göre hesaplayalım: - $3 \;\star\; 4$ için: $3 \le 4$ olduğundan birinci durum geçerlidir: $3 \;\star\; 4 = 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10$ - $5 \;\star\; 2$ için: $5 > 2$ olduğundan ikinci durum geçerlidir: $5 \;\star\; 2 = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$ 2. Adım: Elde edilen sonuçlar arasında işlemi tekrarlayalım: $10 \;\star\; 1$ işleminde $10 > 1$ olduğundan ikinci durum uygulanır: $10 \;\star\; 1 = 10 - 2(1) = 8$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Bölme özdeşliğini yazalım: $ABC = 17 \times BC + 4$ Burada kalan $4 < BC$ şartı sağlanmalıdır. 2. Adım: $ABC$ sayısını $100A + BC$ olarak çözümleyelim: $100A + BC = 17 \times BC + 4$ $100A - 4 = 16 \times BC$ Her iki tarafı 4 ile sadeleştirelim: $25A - 1 = 4 \times BC$ 3. Adım: $A$ bir tek rakam olduğuna göre ($A \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$): - $A = 1 \implies 25(1) - 1 = 24 = 4 \times BC \implies BC = 06$ (iki basamaklı değil). - $A = 3 \implies 25(3) - 1 = 74$, 4'e tam bölünmez. - $A = 5 \implies 25(5) - 1 = 124 = 4 \times BC \implies BC = 31$. Burada $B = 3, C = 1$ olup her ikisi de tek rakamdır ve $4 < 31$ şartı sağlanır. - $A = 7 \implies 25(7) - 1 = 174$, 4'e tam bölünmez. - $A = 9 \implies 25(9) - 1 = 224 = 4 \times BC \implies BC = 56$. Fakat $C = 6$ çift rakam olduğundan elenir. 4. Adım: Toplamı bulalım: $A = 5, B = 3, C = 1$ olduğundan $A + B + C = 5 + 3 + 1 = 9$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: $A = 5$ ve $C = 2$ için $X$ ve $Y$ değerlerini $B$ cinsinden bulalım: $X = 5^2 + B \cdot 2 = 25 + 2B$ $Y = 2^2 + 5 \cdot B = 4 + 5B$ 2. Adım: Çıktı $|X - Y| = 6$ olarak tanımlanmıştır: $|X - Y| = |(25 + 2B) - (4 + 5B)| = |21 - 3B| = 6$ 3. Adım: Mutlak değerli denklemi çözelim: - $21 - 3B = 6 \implies 3B = 15 \implies B = 5$ - $21 - 3B = -6 \implies 3B = 27 \implies B = 9$ 4. Adım: Bulunan $B$ değerlerinin toplamını hesaplayalım: Her iki değer de birer rakamdır. Toplam = $5 + 9 = 14$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Verilen iki basamaklı sayıları çözümleyelim: $(10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 11A + 11B + 11C = 11(A + B + C) = 132$ Buradan $A + B + C = 12$ elde edilir. 2. Adım: $1 \le A < B < C \le 9$ şartını sağlayan durumları inceleyelim: - $A = 1$ ise: $B + C = 11$. $1 < B < C$ koşuluna göre: - $B = 2, C = 9$ - $B = 3, C = 8$ - $B = 4, C = 7$ - $B = 5, C = 6$ - $A = 2$ ise: $B + C = 10$. $2 < B < C$ koşuluna göre: - $B = 3, C = 7$ - $B = 4, C = 6$ - $A = 3$ ise: $B + C = 9$. $3 < B < C$ koşuluna göre: - $B = 4, C = 5$ $A \ge 4$ için en küçük toplam $4 + 5 + 6 = 15 > 12$ olduğundan başka durum yoktur. 3. Adım: $C$ rakamının alabileceği farklı değerleri toplayalım: Farklı $C$ değerleri: $\{5, 6, 7, 8, 9\}$ Toplam = $5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Tanımları yerine yazarak eşitliği kuralım: $AB$ iki basamaklı sayısı için $T(AB) = A + B$ ve $C(AB) = A \cdot B$ dir. $A + B + A \cdot B = 10A + B$ 2. Adım: Eşitliği sadeleştirelim: Her iki taraftan $B$ çıkaralım: $A + A \cdot B = 10A$ $A \cdot B = 9A$ 3. Adım: $A$ onlar basamağı olduğundan $A \neq 0$'dır. Her iki tarafı $A$'ya bölelim: $B = 9$ 4. Adım: $AB$ sayılarını belirleyelim: $B = 9$ iken $A$ rakamı $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ değerlerinin tamamını alabilir. Bu sayılar: 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 olmak üzere toplam 9 tanedir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Üç basamaklı sayıların farkını çözümleyelim: $KLM - MLK = (100K + 10L + M) - (100M + 10L + K) = 99(K - M)$ $99(K - M) = 495 \implies K - M = 5$ Buradan $K = M + 5$ elde edilir. 2. Adım: $K$ ve $M$ üç basamaklı sayıların baş basamakları olduğundan $M \ge 1$ ve $K \le 9$ dur: - $M = 1 \implies K = 6 \implies L = 15 - (6 + 1) = 8$ - $M = 2 \implies K = 7 \implies L = 15 - (7 + 2) = 6$ - $M = 3 \implies K = 8 \implies L = 15 - (8 + 3) = 4$ - $M = 4 \implies K = 9 \implies L = 15 - (9 + 4) = 2$ 3. Adım: $K \times M$ çarpımlarını değerlendirelim: - $6 \times 1 = 6$ - $7 \times 2 = 14$ - $8 \times 3 = 24$ - $9 \times 4 = 36$ En büyük değer 36 olarak bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: İşlemleri belirleyelim: - Eğer $\odot$ çarpma $(\times)$ ve $\oplus$ çıkarma $(-)$ olursa: 1. Eşitlik: $4 \times (6 - 2) = 4 \times 4 = 16$ (Sağlanır). 2. Eşitlik: $(4 \times 6) - 2 = 24 - 2 = 22$ (Sağlanır). Dolayısıyla $\odot = \times$ ve $\oplus = -$ işlemlerini temsil etmektedir. 2. Adım: Sorulan işlemi hesaplayalım: $5 \;\oplus\; (3 \;\odot\; 4) = 5 - (3 \times 4)$ İşlem önceliğine göre önce parantez içi yapılır: $3 \times 4 = 12$ $5 - 12 = -7$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Sayımız $3B$ olsun ($B \in \{0, 1, 2, \dots, 9\}$): Rakamları toplamı: $T = 3 + B$ Rakamlarının kareleri toplamı: $K = 3^2 + B^2 = 9 + B^2$ 2. Adım: Bölünebilme şartını kuralım: $\frac{9 + B^2}{3 + B} = \frac{(B^2 - 9) + 18}{B + 3} = (B - 3) + \frac{18}{B + 3}$ Bu ifadenin tam sayı olması için $(B + 3)$ sayısı 18'in pozitif böleni olmalıdır. 3. Adım: $B$ bir rakam olduğundan $0 \le B \le 9 \implies 3 \le B + 3 \le 12$ dir: 18'in bu aralıktaki bölenleri 3, 6 ve 9'dur: - $B + 3 = 3 \implies B = 0$ (Sayı: 30 $\rightarrow K = 9, T = 3$, bölünür) - $B + 3 = 6 \implies B = 3$ (Sayı: 33 $\rightarrow K = 18, T = 6$, bölünür) - $B + 3 = 9 \implies B = 6$ (Sayı: 36 $\rightarrow K = 45, T = 9$, bölünür) Toplamda 3 farklı sayı (30, 33, 36) bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Olası durumları tek tek inceleyelim: - Durum 1: Suçlu A olsun. A suçlu ise yalan söyler: 'B suçludur' ifadesi yalan olur (B masumdur). B masum olduğuna göre doğru söylemelidir; 'C suçludur' ifadesi doğru olur. Fakat yalnızca bir suçlu olduğu bilindiğinden hem A hem C suçlu olamaz. Çelişki. - Durum 2: Suçlu C olsun. C suçlu ise yalan söyler: 'B yalan söylüyor' ifadesi yalan olur; yani B doğru söylüyor demektir. B doğru söylüyorsa 'C suçludur' ifadesi doğrudur. Ancak masum olan A da doğru söylemelidir ve A 'B suçludur' demektedir; bu durumda B de suçlu olur. Yine çelişki. - Durum 3: Suçlu B olsun. B suçlu ise yalan söyler: 'C suçludur' ifadesi yalandır (C masumdur). Masum olan A doğru söyler: 'B suçludur' (Doğru). Masum olan C doğru söyler: 'B yalan söylüyor' (B yalan söylediği için C'nin bu tespiti doğrudur). Tüm ifadeler tutarlıdır. Sonuç olarak suçlu kişi yalnız B'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Sayıları çözümleyelim: $AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B) = C^2$ Buradan $C^2$ bir tamkare olduğundan $9(A - B)$ tamkare olmalıdır; dolayısıyla $(A - B)$ ifadesi bir pozitif tamkare olmalıdır. 2. Adım: $A$ ve $B$ rakamlarının farkını inceleyelim: $A + B = 11$ olarak verilmiştir. - $A - B = 1$ olursa: Taraf tarafa toplanırsa $2A = 12 \implies A = 6, B = 5$ bulunur. $C^2 = 9(1) = 9 \implies C = 3$ (rakamdır, sağlar). - $A - B = 4$ olursa: $2A = 15 \implies A$ tam sayı olmaz. - $A - B = 9$ olursa: $2A = 20 \implies A = 10$ (rakam değildir). 3. Adım: Değerleri çarpalım: $A = 6, B = 5, C = 3$ olduğundan; $A \times B \times C = 6 \times 5 \times 3 = 90$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Yutan eleman tanımını hatırlayalım: Bir işlemin yutan elemanı $k$ ise, her $x \in \mathbb{R}$ için $x \;\ast\; k = k$ olmalıdır. 2. Adım: Tanımı denklemde yerine yazalım: $x + k - 3xk = k$ Her iki taraftan $k$ çıkaralım: $x - 3xk = 0$ $x(1 - 3k) = 0$ 3. Adım: Bu eşitliğin tüm $x$ gerçel sayıları için sağlanması gerekir: $1 - 3k = 0 \implies 3k = 1 \implies k = \frac{1}{3}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Şifreleme kuralının olası çıktılarını inceleyelim: - Çift rakamlar $\{0, 2, 4, 6, 8\} \rightarrow \{0, 1, 2, 3, 4\}$ (tek basamaklı). - Tek rakamlar: - $1 \rightarrow 2(1) - 1 = 1$ - $3 \rightarrow 2(3) - 1 = 5$ - $5 \rightarrow 2(5) - 1 = 9$ - $7 \rightarrow 2(7) - 1 = 13$ (iki basamaklı) - $9 \rightarrow 2(9) - 1 = 17$ (iki basamaklı) 2. Adım: '3134' şifresi üç basamaklı bir sayıdan elde edildiğinden, iki adet tek basamaklı ve bir adet iki basamaklı çıktıdan oluşmalıdır: Metinde yer alan iki basamaklı tek geçerli çıktı 13'tür. Dolayısıyla şifre 3, 13 ve 4 parçalarına ayrılır. 3. Adım: Orijinal rakamları bulalım: - Birinci rakam çıktısı 3: Çift ise yarısı 3 olacağından rakam 6'dır. - İkinci rakam çıktısı 13: $2d - 1 = 13 \implies d = 7$'dir. - Üçüncü rakam çıktısı 4: Çift ise yarısı 4 olacağından rakam 8'dir. Orijinal sayı 678'dir. 4. Adım: Rakamları toplayalım: Toplam = $6 + 7 + 8 = 21$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $2 \;\odot\; x = y$ diyelim. Eşitlik $y \;\odot\; 3 = 1$ hâline gelir. 2. Adım: Tabloda 3 sütunu ile kesiştiğinde sonucu 1 veren satırı bulalım: 2 satırı ile 3 sütununun kesişimi $2 \;\odot\; 3 = 1$'dir. Demek ki $y = 2$'dir. 3. Adım: $2 \;\odot\; x = 2$ eşitliğini çözelim: 2 satırında sonucun 2 olduğu sütuna bakalım: 2 satırı ile 4 sütununun kesişimi $2 \;\odot\; 4 = 2$'dir. Buradan $x = 4$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: 4 ile bölünebilme kuralını uygulayalım: Bir sayının 4'e bölünmesi için son iki basamağının ($DE$) 4'ün katı olması gerekir. Kümedeki rakamlarla yazılabilecek iki basamaklı 4'ün katları: 12, 24, 32 ve 52'dir. 2. Adım: $A < B < C$ ve $B$ asal şartını inceleyelim: $B \in \{2, 3\}$ olabilir ($B = 5$ olamaz çünkü $B < C$ olacak rakam kalmaz). Sayının en büyük olması için ilk basamakları olabildiğince büyük seçmeliyiz: $A = 1, B = 3$ seçilirse $C = 5$ olabilir ($1 < 3 < 5$). 3. Adım: Kalan rakamlarla $DE$'yi oluşturalım: $A=1, B=3, C=5$ kullanıldığında geriye $\{2, 4\}$ rakamları kalır. Bu rakamlarla oluşturulabilecek ve 4'e bölünen sayı 24'tür ($D = 2, E = 4$). Oluşan sayı: 13524'tür. 4. Adım: $A$ daha büyük olabilir mi? $A = 2$ olsaydı $2 < B < C$ için $B = 3$ ve $C \in \{4, 5\}$ olurdu; kalan rakamlarla (1 ve 5 ya da 1 ve 4) 4'ün katı yazılamazdı. Dolayısıyla en büyük değer 13524'tür. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: 1'den geriye doğru işlem adımlarını takip edelim: - 0. Adım: 1 - 1. Adım öncesi: Sadece $S / 2 = 1 \implies 2$ - 2. Adım öncesi: Sadece $S / 2 = 2 \implies 4$ - 3. Adım öncesi: $S / 2 = 4 \implies 8$ (Tek sayıdan $3S + 1 = 4 \implies S = 1$ döngüdür) - 4. Adım öncesi: $S / 2 = 8 \implies 16$ - 5. Adım öncesi: $S / 2 = 16 \implies 32$ veya $3S + 1 = 16 \implies S = 5$ 2. Adım: 6. Adımı (başlangıç sayılarını) bulalım: - 32'den gelenler: $S / 2 = 32 \implies S = 64$ (Tek sayıdan $3S + 1 = 32 \implies S = 31/3$, tam sayı değil) - 5'ten gelenler: $S / 2 = 5 \implies S = 10$ (Tek sayıdan $3S + 1 = 5 \implies S = 4/3$, tam sayı değil) 3. Adım: Tam olarak 6 işlemde 1'e ulaşan sayılar 10 ve 64'tür: Her ikisi de iki basamaklı sayılardır. En küçük sayı = 10 En büyük sayı = 64 Toplam = $10 + 64 = 74$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Üç terimli ifadenin karesi özdeşliğini yazalım: $(A + B + C)^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(AB + BC + AC)$ 2. Adım: Verilen değerleri özdeşlikte yerine yazalım: $A + B + C = 12$ ve $K(ABC) = AB + BC + AC = 47$ olduğundan; $12^2 = A^2 + B^2 + C^2 + 2(47)$ $144 = A^2 + B^2 + C^2 + 94$ 3. Adım: $A^2 + B^2 + C^2$ değerini yalnız bırakalım: $A^2 + B^2 + C^2 = 144 - 94 = 50$ bulunur. (Not: Rakamlar $\{3, 4, 5\}$ olup $3+4+5=12$ ve $12+20+15=47$ koşullarını tam olarak sağlar). Doğru cevap C seçeneğidir.