ALES ALES Sayısal Sayı Dizileri ve Özel Örüntüler Testi #1

Dizinin ardışık terimlerini hesaplayalım: $a_1 = 3$ (tek) $a_2 = 3 + 5 = 8$ (çift) $a_3 = \frac{8}{2} = 4$ (çift) $a_4 = \frac{4}{2} = 2$ (çift) $a_5 = \frac{2}{2} = 1$ (tek) $a_6 = 1 + 5 = 6$ (çift) $a_7 = \frac{6}{2} = 3$ (tek) $a_8 = 3 + 5 = 8$ Terimlerin $a_1 = 3$'ten başlayarak her 6 terimde bir tekrar ettiği görülür: (3, 8, 4, 2, 1, 6). Periyot $T = 6$'dır. $n = 25$ için, $25 \equiv 1 \pmod 6$ olduğundan $a_{25} = a_1 = 3$ olur.

Her satırda satır numarası kadar sayı bulunmaktadır. İlk 11 satırda bulunan toplam sayı adedi: $\frac{11 \times 12}{2} = 66$'dır. Dolayısıyla 11. satırın son sayısı 66'dır. 12. satırın ilk sayısı 67'dir. 12. satırın baştan 5. sayısı ise: $66 + 5 = 71$ olur.

Verilen bağıntıyı inceleyelim: $x_{n+2} - x_{n+1} = x_{n+1} - x_n$ Bu, ardışık terimler arasındaki farkın sabit olduğunu gösterir. Yani dizi bir aritmetik dizidir. Ortak fark $d = x_2 - x_1 = 5 - 2 = 3$'tür. Genel terim $x_n = x_1 + (n-1)d$ dir. $x_{30} = 2 + (30 - 1) \times 3 = 2 + 29 \times 3 = 2 + 87 = 89$ bulunur.

Dizinin terimlerini adım adım yazalım: 1. terim: 2 2. terim: $2^2 = 4 \implies 4$ 3. terim: $4^2 = 16 \implies 1 + 6 = 7$ 4. terim: $7^2 = 49 \implies 4 + 9 = 13$ 5. terim: $13^2 = 169 \implies 1 + 6 + 9 = 16$ 6. terim: $16^2 = 256 \implies 2 + 5 + 6 = 13$ 7. terim: $13^2 = 169 \implies 1 + 6 + 9 = 16$ 4. terimden itibaren dizi (13, 16) periyoduna girmiştir. Çift indisli terimler (4. terimden sonra): $n = 4, 6, 8, \dots$ için 16'dır. 100 bir çift sayı olduğundan ve $100 \ge 4$ şartını sağladığından 100. terim 16 olur.

Verilen bağıntıyı taraf tarafa toplayalım: $a_2 - a_1 = 3(1)$ $a_3 - a_2 = 3(2)$ $a_4 - a_3 = 3(3)$ ... $a_{21} - a_{20} = 3(20)$ Taraf tarafa toplandığında aradaki terimler birbirini götürür: $a_{21} - a_1 = 3(1 + 2 + 3 + \dots + 20)$ $1 + 2 + \dots + 20 = \frac{20 \times 21}{2} = 210$ $a_{21} - 1 = 3 \times 210 = 630$ $a_{21} = 631$ bulunur.

Kutular 1, 2, ..., 12 şeklinde saat yönünde dizilmiştir. Modülo 12 aritmetiği geçerlidir. Başlangıç noktası 1 numaralı kutudur. Her adımda saat yönünde 5 birim ilerlenmektedir. 43 adım atıldığında toplam ilerleme: $43 \times 5 = 215$ kutudur. Bulunulan konum: $(1 + 215) \pmod{12} = 216 \pmod{12}$'dir. $216 = 12 \times 18 + 0$ olduğundan, kalan 0'dır. Kutular 1'den 12'ye kadar numaralandırıldığından kalan 0, 12 numaralı kutuya karşılık gelir.

İki ardışık üçgensel sayının toplamı bir tam karedir: $T_n + T_{n-1} = \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n+1 + n-1)}{2} = \frac{n(2n)}{2} = n^2$. Verilen denklem: $n^2 = 121 \implies n = 11$ olur. Bizden $T_n$ yani $T_{11}$ istenmektedir: $T_{11} = \frac{11 \times 12}{2} = 11 \times 6 = 66$ bulunur.

Ardışık terimleri hesaplayarak periyodu bulalım: $b_1 = 4$ $b_2 = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5}$ $b_3 = \frac{\frac{3}{5} - 1}{\frac{3}{5} + 1} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}} = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4}$ $b_4 = \frac{-\frac{1}{4} - 1}{-\frac{1}{4} + 1} = \frac{-\frac{5}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{5}{3}$ $b_5 = \frac{-\frac{5}{3} - 1}{-\frac{5}{3} + 1} = \frac{-\frac{8}{3}}{-\frac{2}{3}} = 4$ Dizi her 4 terimde bir kendini tekrar etmektedir (Periyot = 4). $n = 50$ için $50 = 4 \times 12 + 2$ olduğundan $50 \equiv 2 \pmod 4$'tür. Dolayısıyla $b_{50} = b_2 = \frac{3}{5}$ bulunur.

Bir lambanın açık olması için anahtarına sadece 1 kez basılmış olması gerekir. - Sadece 2'nin katı olanlar (3'ün katı olmayanlar) açılır. - Sadece 3'ün katı olanlar (2'nin katı olmayanlar) açılır. - Hem 2'nin hem 3'ün katı olanlar (yani 6'nın katları) önce açılır, sonra kapanır (kapalı kalır). - İkisinin de katı olmayanlara hiç basılmaz (kapalı kalır). 1'den 100'e kadar: 2'nin katı olan sayı adedi: $\lfloor 100 / 2 \rfloor = 50$ 3'ün katı olan sayı adedi: $\lfloor 100 / 3 \rfloor = 33$ 6'nın katı olan sayı adedi: $\lfloor 100 / 6 \rfloor = 16$ Sadece 2'nin katı olanlar: $50 - 16 = 34$ Sadece 3'ün katı olanlar: $33 - 16 = 17$ Açık olan lamba sayısı = $34 + 17 = 51$ bulunur.

Dizinin terimleri arasındaki kuralı inceleyelim: $a_1 = 2$ $a_2 = 2 \times 2 + 1 = 5$ $a_3 = 2 \times 5 + 1 = 11$ $a_4 = 2 \times 11 + 1 = 23$ $a_5 = 2 \times 23 + 1 = 47$ Kural: $a_{n+1} = 2a_n + 1$ şeklindedir. Farklar incelendiğinde: $5 - 2 = 3$ $11 - 5 = 6$ $23 - 11 = 12$ $47 - 23 = 24$ Farklar 2 katına çıkarak artmaktadır ($3, 6, 12, 24, 48, 96$). Buradan: $x - 47 = 48 \implies x = 95$ $y - x = 96 \implies y = 95 + 96 = 191$ Bizden $y - x$ farkı sorulmaktadır: $y - x = 96$ bulunur.

Basamak sayılarını gruplandıralım: 1 basamaklı sayılar: 1'den 9'a kadar 9 sayı vardır ve $9 \times 1 = 9$ basamak kaplar. Geriye kalan basamak sayısı: $55 - 9 = 46$ basamak. 2 basamaklı sayılar (10'dan başlar) ikişer basamak kaplar. $46 / 2 = 23$ sayı eder. 10'dan başlayarak 23. sayıyı bulalım: $10 + 23 - 1 = 32$. Dolayısıyla 46. basamak, 32 sayısının son rakamıdır (yani 2'dir). Baştan 55. basamak 2 rakamıdır.

Fibonacci dizisinin terimlerinin 3'e bölümünden kalanları yazalım: $F_1 = 1 \equiv 1$ $F_2 = 1 \equiv 1$ $F_3 = 2 \equiv 2$ $F_4 = 3 \equiv 0$ $F_5 = 5 \equiv 2$ $F_6 = 8 \equiv 2$ $F_7 = 13 \equiv 1$ $F_8 = 21 \equiv 0$ Kalanlar dizisi: 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, ... Görüldüğü gibi kalanlar her 4 terimde bir 0 değerini almaktadır ($F_4, F_8, F_{12}, \dots$). Dolayısıyla indisi 4'ün katı olan terimler 3 ile tam bölünür. 1'den 30'a kadar 4'ün katı olan sayı adedi: $\lfloor 30 / 4 \rfloor = 7$'dir. Bu terimler $F_4, F_8, F_{12}, F_{16}, F_{20}, F_{24}, F_{28}$ olmak üzere 7 tanedir.

Verilen bağıntıyı yazalım: $c_2 - c_1 = -1$ $c_3 - c_2 = +2$ $c_4 - c_3 = -3$ $c_5 - c_4 = +4$ ... $c_{40} - c_{39} = -39$ Taraf tarafa toplarsak: $c_{40} - c_1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 39$ İkişerli gruplama yapalım: $(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-37 + 38) - 39$ Burada 19 çift grup vardır ve her bir grubun toplamı $+1$'dir: Toplam = $19 \times 1 - 39 = 19 - 39 = -20$. $c_{40} - c_1 = -20$ $c_1 = 1$ olduğundan: $c_{40} - 1 = -20 \implies c_{40} = -19$ bulunur.

Terimler arasındaki farkları inceleyelim: $4 - 1 = 3$ $10 - 4 = 6$ $22 - 10 = 12$ $46 - 22 = 24$ $94 - 46 = 48$ Farklar dizisi $3, 6, 12, 24, 48, \dots$ şeklinde her adımda 2 katına çıkmaktadır. Bir sonraki fark: $48 \times 2 = 96$ olmalıdır. Buradan $A = 94 + 96 = 190$ elde edilir. A sayısının rakamları toplamı: $1 + 9 + 0 = 10$ bulunur.

Ardışık terimleri açık şekilde çarpım biçiminde yazalım: $a_2 = \frac{3}{1} a_1$ $a_3 = \frac{4}{2} a_2 = \frac{4}{2} \cdot \frac{3}{1} a_1$ ... $a_n = \frac{n+1}{n-1} \cdot \frac{n}{n-2} \cdot \frac{n-1}{n-3} \dots \frac{4}{2} \cdot \frac{3}{1} a_1$ Teleskopik sadeleşme yapıldığında, paydaki terimler ile iki önceki paydadaki terimler sadeleşir: $a_n = \frac{n(n+1)}{2 \times 1} \cdot a_1 = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2 = n(n+1)$ olur. $n = 8$ için: $a_8 = 8 \times 9 = 72$ bulunur.

Verilen bağıntı: $B_n = B_{n-1} + n$. $B_1 = 2$ $B_2 - B_1 = 2$ $B_3 - B_2 = 3$ ... $B_{10} - B_9 = 10$ Taraf tarafa toplarsak: $B_{10} - B_1 = 2 + 3 + 4 + \dots + 10$ $2 + 3 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} - 1 = 55 - 1 = 54$ $B_{10} - 2 = 54 \implies B_{10} = 56$ bulunur.

Dizinin terimlerini ardışık olarak hesaplayalım: $u_1 = 3$ $u_2 = \frac{1}{1 - 3} = -\frac{1}{2}$ $u_3 = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ $u_4 = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ Terimler $\left( 3, -\frac{1}{2}, \frac{2}{3} \right)$ şeklinde her 3 adımda bir tekrarlamaktadır. Periyot 3'tür. $n = 100$ için $100 = 3 \times 33 + 1$ olduğundan $100 \equiv 1 \pmod 3$'tür. Dolayısıyla $u_{100} = u_1 = 3$ olur.

Gruplardaki sayıların toplamı incelendiğinde: 1. grup toplamı: $1 = 1^3$ 2. grup toplamı: $3 + 5 = 8 = 2^3$ 3. grup toplamı: $7 + 9 + 11 = 27 = 3^3$ 4. grup toplamı: $13 + 15 + 17 + 19 = 64 = 4^3$ Bu örüntüye göre $n$. gruptaki sayıların toplamı $n^3$'tür. Dolayısıyla 8. gruptaki sayıların toplamı: $8^3 = 512$ bulunur. (Doğrulama: İlk 7 grupta $\frac{7 \times 8}{2} = 28$ tek sayı vardır. 8. grubun ilk sayısı 29. tek sayı olan $2 \times 29 - 1 = 57$'dir. 8 adet ardışık tek sayı: $57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71$. Toplamı: $8 \times 64 = 512$.)

Verilen bağıntıyı taraf tarafa yazalım: $k_2 - k_1 = 4(1) - 1 = 3$ $k_3 - k_2 = 4(2) - 1 = 7$ $k_4 - k_3 = 4(3) - 1 = 11$ $k_5 - k_4 = 4(4) - 1 = 15$ $k_6 - k_5 = 4(5) - 1 = 19$ Taraf tarafa toplarsak: $k_6 - k_1 = 3 + 7 + 11 + 15 + 19$ Toplam = $5 \times \frac{3 + 19}{2} = 5 \times 11 = 55$. $k_6 - 5 = 55 \implies k_6 = 60$ bulunur.

Her hücre komşularının toplamına eşit olduğuna göre: $b = a + c \implies 3 = 7 + c \implies c = 3 - 7 = -4$ $c = b + d \implies -4 = 3 + d \implies d = -4 - 3 = -7$ (Kontrol edelim: $d = c + e \implies -7 = -4 + e \implies e = -3$ $e = d + f \implies -3 = -7 + f \implies f = 4$ $f = e + a \implies 4 = -3 + 7 = 4$ doğru. $a = f + b \implies 7 = 4 + 3 = 7$ doğru.) Dolayısıyla $d$ hücresindeki sayı $-7$ olur.