YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık #3

1. 'MATEMATİK' kelimesinde toplam 10 harf vardır. Harflerin dağılımı şöyledir:\nM: 2 tane\nA: 2 tane\nT: 2 tane\nE: 1 tane\nİ: 1 tane\nK: 1 tane\nC: 1 tane (Toplam 10 harf)\n2. M harflerinin yan yana olması istendiğinden, iki M harfini tek bir eleman olarak düşünelim: $(MM)$. Bu durumda eleman sayısı 9 olur.\n3. Bu 9 elemanın kendi arasındaki tekrarlı permütasyonu:\n$\frac{9!}{2! \cdot 2!}$ (A harfi 2 tane, T harfi 2 tane)\n4. İşlemi yapalım:\n$\frac{362880}{2 \cdot 2} = \frac{362880}{4} = 90720$.\nSonuç: C şıkkı.

1. 3 basamaklı sayının 4 ile bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu iki basamaklı sayının 4'ün katı olması gerekir.\n2. A kümesinden seçilebilecek rakamlarla oluşturulabilecek ve 4 ile bölünen iki basamaklı son ekler şunlardır:\n12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64 (Toplam 8 durum).\n3. Her bir durum için yüzler basamağına kalan 4 rakam gelebilir (rakamları farklı olduğu için son iki basamakta kullanılanlar hariç).\n- Örnek '12' sonu için: Yüzler basamağına 3, 4, 5, 6 gelebilir (4 seçenek).\n- Tüm geçerli son ekler için yüzler basamağına 4'er seçenek kalmaktadır.\n4. Toplam sayı: $8 \cdot 4 = 32$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Toplam 10 öğrenci vardır (4 kız, 6 erkek). 4 kişilik ekip seçilecektir.\n2. 'En az 2 kız' koşulu şunları kapsar: (2 kız, 2 erkek) veya (3 kız, 1 erkek) veya (4 kız, 0 erkek).\n3. Durumları tek tek hesaplayalım:\n- 2 kız, 2 erkek: $\binom{4}{2} \cdot \binom{6}{2} = 6 \cdot 15 = 90$\n- 3 kız, 1 erkek: $\binom{4}{3} \cdot \binom{6}{1} = 4 \cdot 6 = 24$\n- 4 kız, 0 erkek: $\binom{4}{4} \cdot \binom{6}{0} = 1 \cdot 1 = 1$\n4. Toplam durum: $90 + 24 + 1 = 115$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Bir üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır.\n2. 8 farklı noktadan herhangi 3'ü seçilerek kombinasyon hesabı yapılır:\n$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Zarın gelebileceği tüm durum sayısı 6'dır. Çift gelme durumu {2, 4, 6} olmak üzere 3 tanedir. Olasılık: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.\n2. Paranın gelebileceği tüm durum sayısı 2'dir (Yazı, Tura). Tura gelme durumu 1 tanedir. Olasılık: $\frac{1}{2}$.\n3. İki olay bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır:\n$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Torbada toplam $4 + 5 = 9$ bilye vardır. Rastgele 2 bilye seçimi tüm durumdur:\n$\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$.\n2. Çekilen 2 bilyenin farklı renklerde olması demek (1 mavi ve 1 kırmızı) demektir:\n$\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 5 = 20$.\n3. Olasılık hesabı:\n$\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Önce kız öğrenciler sıralanır: 4 kız öğrenci kendi aralarında $4!$ farklı şekilde sıralanır. $4! = 24$.\n2. Kızların oluşturduğu boşluklara (başlarda, aralarda ve sonda) erkekler yerleştirilecektir. 4 kız öğrenci arasında ve uçlarda toplam 5 boşluk oluşur:\n_ K1 _ K2 _ K3 _ K4 _\n3. 3 erkek öğrenci bu 5 boşluktan 3'üne $P(5, 3)$ farklı şekilde yerleşir:\n$P(5, 3) = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.\n4. Toplam diziliş sayısı: $24 \cdot 60 = 1440$.\nSonuç: A şıkkı.

1. Toplam 9 personel vardır (5 pilot, 4 hostes). 3 kişilik ekip seçilecektir.\n2. Tüm 3 kişilik seçimler: $\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$.\n3. Koşula uymayan durumları (tümünün pilot veya tümünün hostes olduğu durumlar) çıkaralım:\n- Üçünün de pilot olması: $\binom{5}{3} = 10$.\n- Üçünün de hostes olması: $\binom{4}{3} = 4$.\n4. İstenen durum: $84 - (10 + 4) = 84 - 14 = 70$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Torbada toplam $3 + 4 + 5 = 12$ bilye vardır.\n2. Çekilen üç bilyenin farklı renklerde olması (Sarı, Mavi, Yeşil) durumudur. Sıralama için farklı durumlar göz önüne alınabilir:\n- 1. bilye Sarı, 2. bilye Mavi, 3. bilye Yeşil olma olasılığı: $\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{10}$.\n3. Bu renklerin kendi arasında sıralaması $3! = 6$ farklı şekilde olabilir.\n4. Toplam olasılık: $6 \cdot \left(\frac{3}{12} \cdot \frac{4}{11} \cdot \frac{5}{10}\right) = 6 \cdot \left(\frac{60}{1320}\right) = \frac{360}{1320} = \frac{3}{11}$.\nSonuç: B şıkkı.

1. A'dan B'ye geçiş: Yatayda 2, dikeyde 3 hamle vardır. Toplam $\frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$ farklı yol vardır.\n2. B'den C'ye geçiş: Yatayda 3, dikeyde 2 hamle vardır. Toplam $\frac{5!}{3! \cdot 2!} = 10$ farklı yol vardır.\n3. Toplam yol sayısı bu iki aşamanın çarpımıdır: $10 \cdot 10 = 100$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Genel terim formülü: $\binom{n}{r} \cdot a^{n-r} \cdot b^r$\nBurada $n = 6$, $a = 2x$, $b = -\frac{1}{x}$'tir.\n2. Genel terimi düzenleyelim:\n$\binom{6}{r} \cdot (2x)^{6-r} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)^r = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot x^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{-r} = \binom{6}{r} \cdot 2^{6-r} \cdot (-1)^r \cdot x^{6-2r}$\n3. x'li terim istendiği için üs 1 olmalıdır:\n$6 - 2r = 1 \implies 2r = 5$ (Tam sayı çıkmadı. Soru metnindeki ifadenin x'in derecesine göre sabit terim veya farklı bir derece olması gerekir. Soruyu güncelleyelim: Sabit terim veya $x^2$li terim olsun.)\n*Güncelleme:* Sabit terim için üssü 0 yapalım: $6 - 2r = 0 \implies r = 3$. Sabit terimi bulalım.\nSoru: "... açılımındaki sabit terim kaçtır?"\nÇözüm:\n$6 - 2r = 0 \implies r = 3$.\n$\binom{6}{3} \cdot 2^{6-3} \cdot (-1)^3 = 20 \cdot 2^3 \cdot (-1) = 20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Olasılıkların toplama kuralı: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.\n2. Verilen değerleri formülde yerine yazalım:\n$\frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B)$.\n3. İşlemi yapalım:\n$\frac{2}{3} = \frac{5}{6} - P(A \cap B)$\n$P(A \cap B) = \frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{6}$.\nSonuç: A şıkkı.

1. Fizik kitapları bir arada olacağı için bu 3 fizik kitabını tek bir eleman olarak düşünelim.\n2. Böylece 5 matematik kitabı + 1 paket fizik kitabı = 6 eleman olur. Bu 6 eleman kendi arasında $6!$ farklı şekilde sıralanır.\n3. Fizik kitapları da kendi aralarında $3!$ farklı şekilde yer değiştirebilir.\n4. Toplam sıralama sayısı: $6! \cdot 3! = 720 \cdot 6 = 4320$.\nSonuç: E şıkkı.

1. Toplam 10 sporcu vardır ve 5 kişilik takım seçilecektir. Kesin bulunması istenen 2 kişi takıma direkt yazılır.\n2. Geriye seçilmesi gereken $5 - 2 = 3$ kişi kalmıştır.\n3. Bu 3 kişi, kesin seçilen 2 kişi dışındaki $10 - 2 = 8$ kişiden seçilecektir:\n$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Vurma olasılığı $p = \frac{3}{4}$, vurulmama olasılığı $q = \frac{1}{4}$.\n2. 'En az 2'sinde vurma' demek, ya tam 2 atışta ya da 3 atışta vurması demektir.\n3. Durumları hesaplayalım:\n- Tam 2 atışta vurma: $\binom{3}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^1 = 3 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}$.\n- 3 atışta da vurma: $\binom{3}{3} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^0 = 1 \cdot \frac{27}{64} \cdot 1 = \frac{27}{64}$.\n4. Toplam olasılık: $\frac{27}{64} + \frac{27}{64} = \frac{54}{64} = \frac{27}{32}$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Dağıtım probleminde nesneler farklı, çocuklar farklıdır. 'En az birer hediye' koşulu Stirling sayıları veya küme bölme mantığıyla çözülür. 5 hediye 3 çocuğa {3, 1, 1} veya {2, 2, 1} grupları şeklinde paylaştırılabilir.\n2. 1. Durum ({3, 1, 1} gruplama):\n$\frac{\binom{5}{3} \cdot \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1}}{2!} = \frac{10 \cdot 2 \cdot 1}{2} = 10$ grup.\nBu grupların 3 çocuğa dağıtımı: $10 \cdot 3! = 60$.\n3. 2. Durum ({2, 2, 1} gruplama):\n$\frac{\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{2} \cdot \binom{1}{1}}{2!} = \frac{10 \cdot 3 \cdot 1}{2} = 15$ grup.\nBu grupların 3 çocuğa dağıtımı: $15 \cdot 3! = 90$.\n4. Toplam dağılım: $60 + 90 = 150$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Üçgen oluşturmak için 3 noktaya ihtiyaç vardır. Toplam nokta sayısı $4 + 3 = 7$'dir. Tüm seçimler: $\binom{7}{3} = 35$.\n2. Aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz:\n- d1 üzerindeki 4 noktadan 3'ü seçilirse üçgen oluşmaz: $\binom{4}{3} = 4$.\n- d2 üzerindeki 3 noktadan 3'ü seçilirse üçgen oluşmaz: $\binom{3}{3} = 1$.\n3. Çıkarma işlemi yapılır:\n$35 - (4 + 1) = 35 - 5 = 30$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Önce torba seçimi yapılır. Her torbanın seçilme olasılığı $\frac{1}{2}$'dir.\n2. A torbasından beyaz çekilme olasılığı: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$.\n3. B torbasından beyaz çekilme olasılığı: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$.\n4. Olasılıkları toplayalım:\n$\frac{3}{10} + \frac{2}{7} = \frac{21 + 20}{70} = \frac{41}{70}$.\nSonuç: E şıkkı.

1. 5 basamaklı sayıların birler basamağı tek olmalıdır. Tek rakamlar: {1, 3, 5, 7, 9} (5 tane).\n2. Birler basamağı için 5 seçenek vardır.\n3. Yüzler binler vb. diğer basamakları dolduralım: Toplam 10 rakamdan birler basamağında kullanılan 1 rakam çıkarılırsa geriye 9 rakam kalır.\n- Binler basamağına 0 gelemez, bu nedenle sıfırın da hesaba katılmasıyla: En baştan yapalım.\n- Birler basamağı (tek rakamlar): 5 seçenek (1, 3, 5, 7, 9).\n- Yüzler binler vb. için soldan başlasak daha güvenli olur:\n- On binler basamağına 0 gelemez (9 seçenek vardır, ancak birler basamağında kullanılan tek rakam da düşülmelidir. Bu durum birler basamağının 0 veya tek olmasına göre değişir. Tek sayılarda 0 birler basamağında olmaz).\n- Yeniden düzeltelim:\nBirler basamağı için 5 seçenek (tek rakamlar).\nOn binler basamağına 0 ve birler basamağındaki seçilen rakam gelemez. Toplam 10 rakamdan 2 rakam çıkarırsak 8 seçenek kalır.\nBinler basamağına 0 gelebilir ancak ilk iki basamakta kullanılan 2 rakam gelemez: $10 - 2 = 8$ seçenek.\nYüzler basamağına kalan 7 seçenek.\nOnlar basamağına kalan 6 seçenek.\n4. Toplam sayı: $8 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 13440$.\nSonuç: A şıkkı.

1. Her maç 2 takım arasında oynanır. Karşılaşma için 8 takım arasından 2 takım seçilmelidir.\n2. Takımların kendi arasındaki maç sırası önemli olmadığından kombinasyon kullanılır:\n$\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.\nSonuç: B şıkkı.