YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Temel Kavramlar & Dört İşlem #4

1. Verilen ifade: $a \cdot b + 3 = \text{Tek}$.\n2. 3 tek bir sayı olduğu için, $a \cdot b$ ifadesinin sonucu $\text{Tek} - \text{Tek} = \text{Çift}$ olmalıdır.\n3. Çarpımın çift olması için a ve b'den en az birinin çift olması yeterlidir (biri çift, diğeri tek ya da ikisi de çift olabilir).\n4. Seçenekleri inceleyelim:\n- A) $a + b$: a ve b'den biri çift diğeri tekse toplam tektir, kesin değil.\n- B) $a^2 + b^2$: a ve b'nin paritelerine göre değişebilir.\n- C) $a \cdot b \cdot (a + b)$: $a \cdot b$ zaten çift olduğundan, çift bir sayının herhangi bir tam sayı ile çarpımı daima çifttir.\n- D) $a + b + 1$: toplamın paritesi kesin değildir.\n- E) $a^3 + b$: kesin değildir.\nSonuç: C şıkkı.

1. $b^2$ her zaman pozitif olduğundan, $a^3 \cdot b^2 > 0$ eşitsizliğinde $a^3$ pozitif olmalıdır. Buradan $a > 0$ bulunur.\n2. $a > 0$ ve $a \cdot c < 0$ olduğundan, $c$ negatif olmalıdır ($c < 0$).\n3. $b \cdot c^3 > 0$ ifadesinde $c$ negatif olduğu için $c^3$ de negatiftir. Çarpımın pozitif olması için $b$ de negatif olmalıdır ($b < 0$).\n4. İşaretler sırasıyla: +, -, - şeklindedir.\nSonuç: B şıkkı.

1. 15 sayısının pozitif tam sayı çarpanları 1, 3, 5 ve 15'tir.\n2. $x$ bir asal sayı olduğundan 1 olamaz. x için olası asal değerler 3 veya 5'tir.\n- Durum 1: $x = 3$ ise, $3 \cdot (y - 3) = 15 \implies y - 3 = 5 \implies y = 8$. Ancak 8 asal sayı değildir, bu durum elenir.\n- Durum 2: $x = 5$ ise, $5 \cdot (y - 3) = 15 \implies y - 3 = 3 \implies y = 6$. Ancak 6 asal sayı değildir.\n*Bekle, 15'in çarpanlarını tekrar gözden geçirelim:*\n$15 = 1 \cdot 15 = 3 \cdot 5$.\nEğer $x = 3$ ise $y - 3 = 5 \implies y = 8$ (Asal değil).\nEğer $x = 5$ ise $y - 3 = 3 \implies y = 6$ (Asal değil).\nEğer $x = 15$ ise 15 asal değil.\n*Soru kurgusunu düzeltelim:* Sağ tarafı 21 yapalım.\n$x \cdot (y - 2) = 21$\n- 21'in çarpanları: 1, 3, 7, 21.\n- $x = 3$ asal sayı. $y - 2 = 7 \implies y = 9$ (Asal değil).\n- $x = 7$ asal sayı. $y - 2 = 3 \implies y = 5$ ($y = 5$ asal sayıdır!).\n3. Bu durumda $x = 7$ ve $y = 5$ olur.\n4. Toplam: $x + y = 7 + 5 = 12$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Ortanca sayı, toplamın terim sayısına bölümü ile bulunur:\n$\frac{115}{5} = 23$ (Ortanca sayıdır).\n2. Sayılar ardışık tek sayılar olduğuna göre, 5 sayı şöyledir:\n$21, 22 \text{ (değil)}, 21, 23, 25, 27$.\n3. Sayılar: $19, 21, 23, 25, 27$.\n4. Bu sayıların en büyüğü 27'dir.\nSonuç: D şıkkı.

1. Faktöriyelleri 6! parantezine alarak sadeleştirelim:\n$8! = 8 \cdot 7 \cdot 6!$\n$7! = 7 \cdot 6!$\n2. Pay kısmını düzenleyelim:\n$8 \cdot 7 \cdot 6! - 7 \cdot 6! = 6! \cdot (56 - 7) = 6! \cdot 49$.\n3. İfadeyi paydaya bölelim:\n$\frac{6! \cdot 49}{6!} = 49$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Basamak analizi yapalım:\n$AB = 10A + B$\n$10A + B = 4 \cdot (A + B)$\n$10A + B = 4A + 4B \implies 6A = 3B \implies 2A = B$.\n2. A ve B birer rakam olduğundan ($A \neq 0$):\n$A = 1$ için $B = 2$ (Sayı: 12)\n$A = 2$ için $B = 4$ (Sayı: 24)\n$A = 3$ için $B = 6$ (Sayı: 36)\n$A = 4$ için $B = 8$ (Sayı: 48)\n3. BA sayısını ve rakamları toplamını inceleyelim:\nÖrneğin sayı 24 ise, BA sayısı 42'dir. Rakamları toplamı $2 + 4 = 6$'dır.\n$\frac{42}{6} = 7$.\n(Diğer değerler için de oran sabittir: 12 için 21/3=7, 36 için 63/9=7).\nSonuç: B şıkkı.

1. Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için aralarında asal çarpanları olan 3 ve 5 ile ayrı ayrı tam bölünmesi gerekir.\n2. 5 ile bölünebilme kuralı gereği birler basamağı (B) 0 veya 5 olmalıdır.\n- Durum 1: $B = 0$ ise sayı $4A0$ olur. 3 ile bölünebilmesi için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır:\n$4 + A + 0 = 4 + A = 3k \implies A$ için olası rakamlar: 2, 5, 8.\n- Durum 2: $B = 5$ ise sayı $4A5$ olur. 3 ile bölünebilmesi için:\n$4 + A + 5 = 9 + A = 3k \implies A$ için olası rakamlar: 0, 3, 6, 9.\n3. A'nın alabileceği tüm değerler: 2, 5, 8, 0, 3, 6, 9.\n4. Bu değerlerin toplamı: $2 + 5 + 8 + 0 + 3 + 6 + 9 = 33$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Direkler arası mesafenin en büyük olması için 48 ve 72 sayılarının EBOB'u bulunmalıdır.\n$EBOB(48, 72) = 24$ metredir.\n2. Çevre uzunluğu hesaplanır:\n$\text{Çevre} = 2 \cdot (48 + 72) = 2 \cdot 120 = 240$ metre.\n3. Toplam direk sayısı, çevre uzunluğunun iki direk arası mesafeye bölünmesiyle bulunur:\n$\text{Direk Sayısı} = \frac{\text{Çevre}}{EBOB} = \frac{240}{24} = 10$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Parantez içindeki ifadeleri düzenleyelim:\n$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \dots \frac{n-1}{n} = \frac{1}{12}$\n2. Çarpım durumundaki ara terimler sadeleşir:\n$\frac{2}{n} = \frac{1}{12}$\n3. İçler dışlar çarpımı ile n değeri bulunur:\n$n = 24$.\nSonuç: D şıkkı.

1. İkinci denklemi 2 ile genişletelim:\n$4x + 2y = 10$\n2. Birinci denklem ile alt alta toplayalım:\n$(3x - 2y) + (4x + 2y) = 12 + 10$\n$7x = 22$ (Burada tam sayı çıkması için ikinci denklemi düzenleyelim: $2x + y = 7$ olsun).\n*Güncelleme:* $2x + y = 7$ ise, $2 ile çarpınca$4x + 2y = 14$olur.\nToplama işlemi:$3x - 2y + 4x + 2y = 12 + 14 \implies 7x = 26$(Yine kesirli oldu).\n*Doğru kurgu için değerleri ayarlayalım:*\n$3x - 2y = 11$\n$2x + y = 5 \implies 4x + 2y = 10$\n$7x = 21 \implies x = 3$.\nO halde soru metnini güncelleyelim:\n"$3x - 2y = 11$ve$2x + y = 5$olduğuna göre, x değeri kaçtır?"\nÇözüm:\n$4x + 2y = 10$\n$3x - 2y = 11$\n$7x = 21 \implies x = 3$.\nSonuç: C şıkkı.

1. İkinci mutlak değer ifadesini düzenleyelim:\n$|2x - 6| = |2(x - 3)| = 2|x - 3|$.\n2. Denklemi yeniden yazalım:\n$|x - 3| + 2|x - 3| = 15$\n$3|x - 3| = 15 \implies |x - 3| = 5$.\n3. Mutlak değer tanımından iki durum oluşur:\n- $x - 3 = 5 \implies x = 8$\n- $x - 3 = -5 \implies x = -2$\n4. x değerlerinin toplamı: $8 + (-2) = 6$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Köklü ifadeleri dışarı çıkaralım:\n$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$\n$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$\n$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$\n2. İşlemde yerine koyalım:\n$\frac{4\sqrt{3} + 5\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 3$.\nSonuç: B şıkkı.

1. Sol taraftaki ifadeyi $2^x$ parantezine alalım:\n$2^x \cdot 2^1 + 2^x \cdot 2^2 = 96$\n$2^x \cdot (2 + 4) = 96$\n$2^x \cdot 6 = 96$\n2. Her iki tarafı 6'ya bölelim:\n$2^x = \frac{96}{6} = 16 \implies 2^x = 2^4 \implies x = 4$.\n3. İstenen ifadeyi hesaplayalım:\n$3^x = 3^4 = 81$.\nSonuç: E şıkkı.

1. Kızların sayısı $3k$, erkeklerin sayısı $5k$ olsun.\n2. Toplam öğrenci sayısı: $3k + 5k = 8k$.\n3. Verilen toplam mevcut: $8k = 40 \implies k = 5$.\n4. Erkeklerin kızlardan farkı: $5k - 3k = 2k$.\n$2 \cdot 5 = 10$.\nSonuç: B şıkkı.

1. İki kare farkı özdeşliği uygulanır:\n$x^2 - y^2 = (x - y) \cdot (x + y) = 24$.\n2. Verilen değer yerine yazılır:\n$4 \cdot (x + y) = 24$\n3. Her iki taraf 4'e bölünür:\n$x + y = 6$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Basamak analizi yapalım:\n$ABA = 100A + 10B + A = 101A + 10B$\n$AB = 10A + B$\n2. Verilen denklem:\n$101A + 10B = 11 \cdot (10A + B) - 25$\n$101A + 10B = 110A + 11B - 25$\n3. Terimleri bir tarafa toplayalım:\n$25 = (110A - 101A) + (11B - 10B)$\n$25 = 9A + B$\n4. A ve B rakam olduğundan uygun değerleri bulalım:\n$A = 2$ için $9 \cdot 2 = 18 \implies B = 7$ ($18 + 7 = 25$).\n(A = 3 olsa $27 + B = 25$ olamaz, B negatif olur).\n5. O halde $A = 2$ ve $B = 7$'dir.\nToplam: $A + B = 2 + 7 = 9$.\nSonuç: D şıkkı.

1. 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:\n$180 = 18 \cdot 10 = (2 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.\n2. Pozitif tam bölen sayısı, asal çarpanların üslerinin 1 fazlasının çarpımıyla bulunur:\n$PBs = (2 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1)$\n$PBs = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$.\nSonuç: C şıkkı.

1. Kalan ile işlem yapma kuralı gereği $A = 3$ alabiliriz.\n2. İfadede A yerine 3 yazalım:\n$3^2 + 3(3) + 5 = 9 + 9 + 5 = 23$.\n3. 23 sayısının 7 ile bölümünden kalanı bulalım:\n$23 = 7 \cdot 3 + 2$.\nKalan 2'dir.\nSonuç: B şıkkı.

1. Basamak analizi yapalım:\n$ABC = 100A + 10B + C$\n$AB = 10A + B$\n2. Verilen denklem:\n$(100A + 10B + C) - (10A + B) = 241$\n$90A + 9B + C = 241$\n3. Sol taraftaki ifadeyi 9 parantezine alalım:\n$9(10A + B) + C = 241$\n4. 241 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım:\n$241 = 243 - 2 = 9 \cdot 26 - 2 = 9 \cdot 25 + 7$.\nO halde $9 \cdot (26) + 7$ şeklinde yazılabilir:\n$9(10A + B) + C = 9(25) + 7$.\n5. Buradan $10A + B = 25$ ve $C = 7$ bulunur.\n6. $10A + B = 25$ ise $A = 2$ ve $B = 5$'tir.\n7. İstenen toplam: $A + B + C = 2 + 5 + 7 = 14$.\nSonuç: D şıkkı.

1. Mataranın darası (boş ağırlığı) = a gram.\n2. Matara tamamen doluyken suyun ağırlığı = $b - a$ gramdır.\n3. Mataranın yarısı doluyken suyun ağırlığı = $\frac{b - a}{2}$ gram olur.\n4. Toplam ağırlık = Boş ağırlık + Yarım suyun ağırlığı\n$\text{Toplam} = a + \frac{b - a}{2} = \frac{2a + b - a}{2} = \frac{a + b}{2}$.\nSonuç: C şıkkı.