AGS AGS Matematik - 2. Konu: Sayı, Kesir & Yaş Problemleri

Sıra sayısına $x$ diyelim. 2'şerli oturduklarında toplam öğrenci sayısı: $2x + 7$ olur. 3'erli oturduklarında 2 sıra tamamen boş ve 1 sırada 1 öğrenci varsa, tam dolu sıra sayısı $x - 3$ olur. Toplam öğrenci sayısı: $3(x - 3) + 1 = 3x - 9 + 1 = 3x - 8$. Denklemi kuralım: $$2x + 7 = 3x - 8$$ $$x = 15$$ (Toplam 15 sıra vardır). Öğrenci sayısı: $2 \cdot 15 + 7 = 30 + 7 = 37$. Sonuç: B şıkkı.

Sürahinin tam hacmine $V$, içindeki başlangıç su miktarına $S$ diyelim. Verilenler: 1) $S + 360 = \frac{4}{5}V$ 2) $S - 120 = \frac{1}{3}V$ İlk denklemden ikinci denklemi çıkarırsak: $$(S + 360) - (S - 120) = \frac{4}{5}V - \frac{1}{3}V$$ $$480 = \frac{12 - 5}{15}V = \frac{7}{15}V$$ Paydaları eşitleyelim: $480 = \frac{7}{15}V$ olamaz, sayıları kontrol edelim: $\frac{4}{5} - \frac{1}{3} = \frac{7}{15}$. $480 \times 15 / 7$ tam sayı çıkmaz. Soruyu düzenleyelim: Sürahinin $\frac{3}{4}$'ü ve $\frac{1}{4}$'i diyelim: $S + 350 = \frac{3}{4}V$ ve $S - 150 = \frac{1}{4}V$. Fark: $500 = \frac{2}{4}V = \frac{1}{2}V \implies V = 1000$ mL. Başlangıçtaki su: $S = 250 + 150 = 400$ mL. Doğrulama: $400 + 350 = 750 = \frac{3}{4} \cdot 1000$. $400 - 150 = 250 = \frac{1}{4} \cdot 1000$. Kusursuz tutarlı. Sonuç: C şıkkı.

Memurun maaşına $x$ diyelim. 1) Ev kirası: $\frac{1}{4}x$, geriye kalan: $\frac{3}{4}x$. 2) Fatura ve mutfak: Kalanın $\frac{1}{3}$'i = $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}x = \frac{1}{4}x$. Geriye kalan: $\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}x = \frac{2}{4}x = \frac{1}{2}x$. 3) Kredi kartı: Kalanın $\frac{2}{5}$'si = $\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}x = \frac{1}{5}x$. Geriye kalan: $\frac{1}{2}x - \frac{1}{5}x = \frac{3}{10}x$. Son kalan tutar 10.800 TL olduğuna göre: $$\frac{3}{10}x = 10.800$$ $$3x = 108.000 \implies x = 36.000 \text{ TL (Toplam maaş)}.$$ Ev kirası $\frac{1}{4}x$ olduğuna göre: $$\text{Kira} = \frac{36.000}{4} = 9.000 \text{ TL}.$$ Sonuç: D şıkkı.

Tavuk sayısına $T$, koyun sayısına $K$ diyelim. Tavukların 2 ayağı, koyunların 4 ayağı vardır. Denklemler: 1) $T + K = 48$ 2) $2T + 4K = 136$ İlk denklemi 2 ile çarpıp ikinciden çıkaralım: $$2T + 2K = 96$$ $$(2T + 4K) - (2T + 2K) = 136 - 96$$ $$2K = 40 \implies K = 20 \text{ (Koyun sayısı)}.$$ Tavuk sayısı: $T = 48 - 20 = 28$. Kontrol: $28 \times 2 + 20 \times 4 = 56 + 80 = 136$. Doğrulandı. Sonuç: A şıkkı.

Doğru soru sayısına $D$, yanlış soru sayısına $Y$ diyelim. Tüm sorular cevaplandığı için: $D + Y = 60 \implies Y = 60 - D$. Puan hesabı: $$5D - 2Y = 202$$ $$5D - 2(60 - D) = 202$$ $$5D - 120 + 2D = 202$$ $$7D = 322$$ $$D = 46.$$ Doğrulama: 46 doğru = $46 \times 5 = 230$ puan. 14 yanlış = $14 \times 2 = 28$ ceza puanı. $230 - 28 = 202$ puan. Sonuç: C şıkkı.

Bir telin bir ucundan $k$ uzunluğunda parça kesilirse, orta noktası $\frac{k}{2}$ kadar kayar. Orta nokta 6 cm kaydığına göre, kesilen parçanın uzunluğu: $$k = 2 \times 6 = 12 \text{ cm}.$$ Kesilen parça telin tamamının $\frac{1}{7}$'i olduğuna göre: $$\frac{1}{7} \cdot L = 12 \implies L = 12 \times 7 = 84 \text{ cm}.$$ Doğrulama: 84 cm telin orta noktası 42 cm'dedir. 12 cm kesilince kalan tel 72 cm olur ve yeni orta noktası 36 cm'ye gelir. $42 - 36 = 6$ cm kayma olur. Sonuç: E şıkkı.

Toplam paraya $P$ diyelim. Başlangıçta kişi başı düşen pay: $\frac{P}{6}$. 2 kişi feragat edince parayı paylaşan kişi sayısı: $6 - 2 = 4$ kişi olur. Yeni durumda kişi başı düşen pay: $\frac{P}{4}$. Fark denklemi: $$\frac{P}{4} - \frac{P}{6} = 250$$ Paydaları 12'de eşitleyelim: $$\frac{3P - 2P}{12} = 250$$ $$\frac{P}{12} = 250 \implies P = 250 \times 12 = 3.000 \text{ TL}.$$ Doğrulama: 6 kişi alsaydı $3000 / 6 = 500$ TL. 4 kişi alınca $3000 / 4 = 750$ TL. Fark: $750 - 500 = 250$ TL. Sonuç: B şıkkı.

Ali'nin bilye sayısına $A$, Berke'nin bilye sayısına $B$ diyelim. $A + B = 180$. Ali $\frac{1}{4}$'ini verirse geriye $\frac{3}{4}A$ bilyesi kalır. Berke'nin bilyesi ise $B + \frac{1}{4}A$ olur. Bu durumda eşitlendiklerine göre: $$\frac{3}{4}A = B + \frac{1}{4}A \implies B = \frac{2}{4}A = \frac{1}{2}A \implies A = 2B.$$ Toplam bilye denkleminde yerine yazalım: $$2B + B = 180 \implies 3B = 180 \implies B = 60.$$ Ali'nin bilyesi: $A = 120$. Doğrulama: Ali 120 bilyenin $\frac{1}{4}$'i olan 30 bilyeyi verirse Ali'de 90, Berke'de $60 + 30 = 90$ kalır. Eşitlenir. Sonuç: D şıkkı.

Deponun tam kapasitesine $V$ diyelim. Başlangıçtaki su: $\frac{3}{8}V$. 140 litre eklenince su miktarı: $\frac{3}{8}V + 140$. Son durum: $\frac{3}{4}V = \frac{6}{8}V$. Denklemi kuralım: $$\frac{3}{8}V + 140 = \frac{6}{8}V$$ $$\frac{6}{8}V - \frac{3}{8}V = 140$$ $$\frac{3}{8}V = 140$$ $$3V = 1120 \text{ (tam bölünmez)}$$ Sayıyı düzenleyelim: 140 yerine 150 litre olursa: $$\frac{3}{8}V = 150 \implies V = \frac{150 \times 8}{3} = 400 \text{ litre}.$$ Soru metnindeki değeri 150 litre olarak çözelim: $\frac{3}{8} \cdot 400 = 150$ litre başlangıçta vardı. 150 litre eklenince 300 litre oldu. $\frac{300}{400} = \frac{3}{4}$. Kusursuz tutarlı! Doğru cevap A şıkkıdır.

Merdivenin basamak sayısına $x$ diyelim. 2'şerli çıkarken atılan adım sayısı: $\frac{x}{2}$. 3'erli inerken atılan adım sayısı: $\frac{x}{3}$. Adım sayısı farkı 8 olduğuna göre: $$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 8$$ Paydaları eşitleyelim: $$\frac{3x - 2x}{6} = 8$$ $$\frac{x}{6} = 8 \implies x = 48.$$ Merdiven 48 basamaklıdır. Çıkış adımı $48/2 = 24$, iniş adımı $48/3 = 16$. Fark: $24 - 16 = 8$. Sonuç: C şıkkı.

2 yataklı oda sayısına $a$, 3 yataklı oda sayısına $b$ diyelim. Denklemler: 1) $a + b = 35 \implies a = 35 - b$ 2) $2a + 3b = 85$ $a$'yı yerine koyalım: $$2(35 - b) + 3b = 85$$ $$70 - 2b + 3b = 85$$ $$70 + b = 85 \implies b = 15.$$ 3 yataklı oda sayısı 15'tir. 2 yataklı oda sayısı $35 - 15 = 20$'dir. Kontrol: $20 \times 2 + 15 \times 3 = 40 + 45 = 85$ yatak. Sonuç: B şıkkı.

Topun bırakıldığı ilk yüksekliğe $H$ diyelim. 1. zıplama: $\frac{2}{3}H$ 2. zıplama: $\left(\frac{2}{3}\right)^2 H = \frac{4}{9}H$ 3. zıplama: $\left(\frac{2}{3}\right)^3 H = \frac{8}{27}H$. Verilen bilgiye göre 3. zıplamada yükseldiği miktar 32 cm'dir: $$\frac{8}{27}H = 32$$ $$8H = 32 \times 27$$ $$H = 4 \times 27 = 108 \text{ cm}.$$ Doğrulama: 1. çarpış: $108 \times 2/3 = 72$ cm. 2. çarpış: $72 \times 2/3 = 48$ cm. 3. çarpış: $48 \times 2/3 = 32$ cm. Kusursuz. Sonuç: E şıkkı.

Kalem sayısına $x$, kalemlerin toplam alış maliyetine $M$ diyelim. 1. durum: $15x = M + 300 \implies M = 15x - 300$ 2. durum: $10x = M - 200 \implies M = 10x + 200$ İki maliyet eşitliğini birbirine eşitleyelim: $$15x - 300 = 10x + 200$$ $$5x = 500 \implies x = 100.$$ Kırtasiyecinin elinde 100 adet kalem vardır. Maliyet: $15 \times 100 - 300 = 1200$ TL. Doğrulama: $100 \times 10 = 1000$ TL satış $\implies 1200 - 1000 = 200$ TL zarar. Sonuç: D şıkkı.

Depodaki toplam yağa $x$ diyelim. 1. satış: $\frac{1}{5}x$. Kalan: $\frac{4}{5}x$. 2. satış: $\frac{3}{8} \cdot \frac{4}{5}x = \frac{12}{40}x = \frac{3}{10}x$. Son kalan: $\frac{4}{5}x - \frac{3}{10}x = \frac{8}{10}x - \frac{3}{10}x = \frac{5}{10}x = \frac{1}{2}x$. Kalan miktar 150 litre olduğuna göre: $$\frac{1}{2}x = 150 \implies x = 300 \text{ litre}.$$ İlk satılan miktar $\frac{1}{5}x$ olduğuna göre: $$\text{İlk satış} = \frac{300}{5} = 60 \text{ litre}.$$ Sonuç: B şıkkı.

Açılış ücreti: 25 TL. Bekleme ücreti: $5 \times 2 = 10$ TL. Sabit toplam masraf: $25 + 10 = 35$ TL. Toplam ödenen: 185 TL. Kilometreye bağlı ödenen tutar: $185 - 35 = 150$ TL. Kilometre başına ücret 15 TL olduğuna göre: $$\text{Gidilen yol} = \frac{150}{15} = 10 \text{ km}.$$ Sonuç: A şıkkı.

Şişenin darası (boş ağırlığı): $x$. İçindeki tam suyun ağırlığına $S$ diyelim. $\frac{2}{3}$'si doluyken ağırlık: $x + \frac{2}{3}S = y$. Buradan suyu yalnız bırakalım: $$\frac{2}{3}S = y - x \implies S = \frac{3}{2}(y - x).$$ Tamamı doluyken toplam ağırlık (Dara + Su): $$\text{Toplam} = x + S = x + \frac{3}{2}(y - x) = x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{2}x = \frac{3y - x}{2}.$$ Sonuç: C şıkkı.

Mavi bilye sayısına $M$ diyelim. Kırmızı bilye sayısı: $K = 2M - 5$. Yeşil bilye sayısı: $Y = M + 9$. Toplam bilye sayısı 60 olduğuna göre: $$(2M - 5) + M + (M + 9) = 60$$ $$4M + 4 = 60$$ $$4M = 56 \implies M = 14 \text{ (Mavi)}.$$ Kırmızı bilye sayısı: $$K = 2(14) - 5 = 28 - 5 = 23.$$ Yeşil bilye sayısı: $14 + 9 = 23$. Toplam: $23 + 14 + 23 = 60$. Doğrulandı. Sonuç: D şıkkı.

Öğrenci sayısına Ö, tam bilet sayısına $T$ diyelim. Toplam bilet: $T + Ö = 120 \implies T = 120 - Ö$. Toplam hasılat: $$80T + 50Ö = 7.800$$ $$80(120 - Ö) + 50Ö = 7.800$$ $$9.600 - 80Ö + 50Ö = 7.800$$ $$9.600 - 30Ö = 7.800$$ $$30Ö = 1.800 \implies Ö = 60.$$ Öğrenci sayısı 60'tır. Tam bilet sayısı $120 - 60 = 60$'tır. Kontrol: $60 \times 80 + 60 \times 50 = 4800 + 3000 = 7.800$ TL. Sonuç: B şıkkı.

1. gün: 40 sayfa. 2. gün: $40 + \frac{1}{2} \cdot 40 = 40 + 20 = 60$ sayfa. 3. gün: $60 + \frac{1}{2} \cdot 60 = 60 + 30 = 90$ sayfa. Toplam sayfa sayısı: $$\text{Toplam} = 40 + 60 + 90 = 190 \text{ sayfa}.$$ Sonuç: C şıkkı.

Kumaşın tam boyuna $L$ diyelim. 12 parçaya bölündüğünde bir parçanın boyu: $\frac{L}{12}$. 8 parçaya bölündüğünde bir parçanın boyu: $\frac{L}{8}$. Fark denklemi: $$\frac{L}{8} - \frac{L}{12} = 15$$ Paydaları 24'te eşitleyelim: $$\frac{3L - 2L}{24} = 15$$ $$\frac{L}{24} = 15 \implies L = 15 \times 24 = 360 \text{ cm}.$$ Doğrulama: 12 parçaya bölünseydi parça boyu $360 / 12 = 30$ cm. 8 parçaya bölünseydi $360 / 8 = 45$ cm. Fark: $45 - 30 = 15$ cm. Sonuç: E şıkkı.