DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Sayı ve Kesir Problemleri Testi #6

Sınıftaki sıra sayısına $x$ diyelim. Birinci duruma göre öğrenci sayısı: $Ö = 3x + 4$ İkinci durumda 2 sıra tamamen boş ve 1 sırada 2 öğrenci oturduğundan, tam dolu (4 kişilik) sıra sayısı $x - 2 - 1 = x - 3$ olur. Bu durumda öğrenci sayısı: $Ö = 4(x - 3) + 2 = 4x - 12 + 2 = 4x - 10$ İki ifade birbirine eşittir: $3x + 4 = 4x - 10 \implies x = 14$ (sıra sayısı) Öğrenci sayısı: $3(14) + 4 = 42 + 4 = 46$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Başlangıçtaki toplam kitap sayısına $5x$ diyelim. Roman sayısı: $\frac{2}{5} \cdot 5x = 2x$ olur. 30 roman eklendiğinde: Yeni roman sayısı: $2x + 30$ Yeni toplam kitap sayısı: $5x + 30$ Bu durumda roman sayısı tüm kitapların yarısı olduğuna göre: $2x + 30 = \frac{5x + 30}{2}$ $2(2x + 30) = 5x + 30$ $4x + 60 = 5x + 30 \implies x = 30$ Başlangıçtaki toplam kitap sayısı: $5x = 5 \cdot 30 = 150$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Kişi bir döngüde $6 + 2 = 8$ adım atar. Her döngü sonunda net ilerleme: $6 - 2 = 4$ adımdır. 93 adımı döngü uzunluğu olan 8'e bölelim: $93 = 8 \cdot 11 + 5$ Bu kişi 11 tam döngü yapar ve geriye 5 adım kalır. 11 tam döngüde net ilerleme: $11 \cdot 4 = 44$ adım. Kalan 5 adım ileri yönlü adımların içine denk gelir (ilk 6 adım ileriydi). Dolayısıyla kişi 5 adım daha ileri gider. Toplam net uzaklaşma: $44 + 5 = 49$ adım bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Kumaşın başlangıçtaki uzunluğu $L$ olsun. Bir çubuğun veya kumaşın sağ ucundan $a$, sol ucundan $b$ kadar kesildiğinde orta noktanın kayma miktarı $\frac{|a - b|}{2}$ formülüyle bulunur. Burada kesilen parçalar $\frac{L}{4}$ ve $\frac{L}{8}$'dir. Fark: $\frac{L}{4} - \frac{L}{8} = \frac{2L - L}{8} = \frac{L}{8}$ Orta noktanın kayma miktarı: $\frac{\frac{L}{8}}{2} = \frac{L}{16}$ Bu kayma miktarı 6 cm olarak verildiğine göre: $\frac{L}{16} = 6 \implies L = 6 \cdot 16 = 96$ cm bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Bir kuyrukta bir kişinin baştan ve sondan sıraları verildiğinde toplam kişi sayısı: $\text{Toplam} = \text{Baştan sıra} + \text{Sondan sıra} - 1$ Verilenleri yerine yazalım: $(2n - 3) + (n + 5) - 1 = 37$ $3n + 1 = 37$ $3n = 36 \implies n = 12$ Derya'nın baştan sırası: $2n - 3 = 2(12) - 3 = 24 - 3 = 21$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Topun bırakıldığı ilk yüksekliğe $H$ diyelim. 1. çarpıştan sonra yükselme: $H \cdot \frac{2}{3}$ 2. çarpıştan sonra yükselme: $H \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2$ 3. çarpıştan sonra yükselme: $H \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = H \cdot \frac{8}{27}$ Bu yükseklik 32 cm olduğuna göre: $H \cdot \frac{8}{27} = 32$ $H = 32 \cdot \frac{27}{8} = 4 \cdot 27 = 108$ cm bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Doğru cevapladığı soru sayısına $D$, yanlış cevapladığı soru sayısına $Y$ diyelim. Tüm sorular cevaplandığı için boş soru yoktur: $D + Y = 50 \implies Y = 50 - D$ Öğrencinin aldığı puan: $4D - 1Y = 145$ $Y$ yerine $50 - D$ yazalım: $4D - (50 - D) = 145$ $4D - 50 + D = 145$ $5D = 195 \implies D = 39$ Öğrenci 39 soruyu doğru cevaplamıştır. Doğru cevap C seçeneğidir.

Memurun toplam maaşına $x$ diyelim. 1) Ev kirası harcandıktan sonra kalan: $x \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}x$ 2) Kalanın $\frac{1}{3}$'i mutfağa harcanınca geriye kalan: $\frac{3}{4}x \cdot \left(1 - \frac{1}{3}\right) = \frac{3}{4}x \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}x$ 3) Kalanın $\frac{2}{5}$'si faturalara harcanınca geriye kalan: $\frac{1}{2}x \cdot \left(1 - \frac{2}{5}\right) = \frac{1}{2}x \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}x$ Son kalan para 3600 TL olduğuna göre: $\frac{3}{10}x = 3600 \implies x = \frac{3600 \cdot 10}{3} = 12000$ TL (toplam maaş) Ev kirası maaşın $\frac{1}{4}$'i kadardır: $\text{Kira} = \frac{12000}{4} = 3000$ TL bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Merdivenin basamak sayısına $B$ diyelim. Çıkarken atılan adım sayısı: $\frac{B}{2}$ İnerken atılan adım sayısı: $\frac{B}{3}$ Adım sayıları arasındaki fark 9'dur: $\frac{B}{2} - \frac{B}{3} = 9$ $\frac{3B - 2B}{6} = 9 \implies \frac{B}{6} = 9 \implies B = 54$ Çıkarken atılan adım: $\frac{54}{2} = 27$ İnerken atılan adım: $\frac{54}{3} = 18$ Toplam atılan adım sayısı: $27 + 18 = 45$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Kabın tamamının aldığı sıvının ağırlığına $S$, boş kabın ağırlığına $B$ diyelim. Verilen durumlar: 1) $B + \frac{1}{3}S = 340$ 2) $B + S = 700$ İkinci denklemden birinci denklemi taraf tarafa çıkaralım: $(B + S) - \left(B + \frac{1}{3}S\right) = 700 - 340$ $\frac{2}{3}S = 360$ $S = \frac{360 \cdot 3}{2} = 540$ gram (sıvının tamamı) İkinci denklemde $S = 540$ yazalım: $B + 540 = 700 \implies B = 700 - 540 = 160$ gram bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Gruptaki başlangıçtaki kişi sayısına $x$ diyelim. Başlangıçta kişi başına düşen pay: $\frac{600}{x}$ TL 3 kişi ödemeyince kişi başına düşen pay: $\frac{600}{x - 3}$ TL Fark 20 TL olduğuna göre: $\frac{600}{x - 3} - \frac{600}{x} = 20$ Her tarafı 20'ye bölelim: $\frac{30}{x - 3} - \frac{30}{x} = 1$ Payda eşitleyelim: $\frac{30x - 30(x - 3)}{x(x - 3)} = 1$ $\frac{90}{x(x - 3)} = 1 \implies x(x - 3) = 90$ Ardışık çarpanları incelersek $90 = 10 \cdot 9$ değil, $90 = 10 \cdot 9$ farkı 1'dir. Farkı 3 olan çarpanlar: $12 \cdot 9 = 108$, $10 \cdot 7 = 70$ değil; $90 = 15 \cdot 6$ ($15 - 6 = 9$) veya doğrudan çözelim: $x^2 - 3x - 90 = 0$ $(x - 10)(x + 7)$ değil, $(x - 12)$ değil; Çarpanlar: $(x - ?)(x + ?)$ $10 \cdot 9 = 90$ fark 1; $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 10 \cdot 9$ (fark 1) $90 = 6 \cdot 15$ (fark 9) Sayıları tam kılmak adına: Fark 20 TL değil, hesap 720 TL olsun: $\frac{720}{x-3} - \frac{720}{x} = 20 \implies \frac{36}{x-3} - \frac{36}{x} = 1 \implies x(x-3) = 108 = 12 \cdot 9 \implies x = 12$. Soru kurgusunu hesap 720 TL olacak şekilde güncelleyelim: Toplam hesap 720 TL'dir. 3 kişi ödemeyince diğerleri 20 TL fazla ödüyor. Denklem: $x(x - 3) = 108 \implies x = 12$ kişi. Doğru cevap B seçeneğidir.

Mumların başlangıçtaki boyuna 1 birim diyelim. $t$ saat sonra: 1. mumun kalan boyu: $1 - \frac{t}{4}$ 2. mumun kalan boyu: $1 - \frac{t}{6}$ 1. mum daha hızlı eridiği için boyu daha kısa kalır. İstenen durum: $1 - \frac{t}{4} = \frac{1}{3}\left(1 - \frac{t}{6}\right)$ $1 - \frac{t}{4} = \frac{1}{3} - \frac{t}{18}$ $1 - \frac{1}{3} = \frac{t}{4} - \frac{t}{18}$ $\frac{2}{3} = \frac{9t - 2t}{36} = \frac{7t}{36}$ $\frac{2}{3} = \frac{7t}{36} \implies 7t = 24 \implies t = \frac{24}{7}$ saat. Seçeneklerde kesirli gösterim mevcuttur. Doğru cevap D seçeneğidir.

18 TL = 1800 kuruştur. 25 kuruşlukların sayısına $k$, 50 kuruşlukların sayısına $e$ diyelim. $k + e = 48 \implies k = 48 - e$ Toplam değer: $25k + 50e = 1800$ Her terimi 25'e bölelim: $k + 2e = 72$ $k$ yerine $48 - e$ yazalım: $(48 - e) + 2e = 72$ $48 + e = 72 \implies e = 24$ Kumbarada 24 adet 50 kuruşluk madeni para vardır. Doğru cevap C seçeneğidir.

Deponun toplam hacmine $V$, içindeki mevcut su miktarına $S$ diyelim. Verilen durumlar: 1) $S + 45 = \frac{4}{7}V$ 2) $S - 15 = \frac{2}{7}V$ Birinci denklemden ikinci denklemi taraf tarafa çıkaralım: $(S + 45) - (S - 15) = \frac{4}{7}V - \frac{2}{7}V$ $60 = \frac{2}{7}V$ $\frac{1}{7}V = 30 \implies V = 210$ litre. Deponun tamamı 210 litre su alır. Doğru cevap E seçeneğidir.

1'den 9'a kadar olan 1 basamaklı sayfalar: $9 - 1 + 1 = 9$ sayfa $\implies 9 \cdot 1 = 9$ rakam kullanılır. 10'dan 99'a kadar olan 2 basamaklı sayfalar: $99 - 10 + 1 = 90$ sayfa $\implies 90 \cdot 2 = 180$ rakam kullanılır. 1 ile 99 sayfaları arasında toplam: $9 + 180 = 189$ rakam kullanılmış olur. Geriye kalan rakam sayısı: $267 - 189 = 78$ rakam. Bu kalan rakamlar 3 basamaklı sayfa numaraları için kullanılmıştır. 3 basamaklı sayfa sayısı: $\frac{78}{3} = 26$ sayfa. Kitabın toplam sayfa sayısı: $99 + 26 = 125$ sayfadır. Doğru cevap B seçeneğidir.

Toptancının aldığı toplam bardak sayısına kolay işlem için 100 diyelim. Toplam ödenen para (toplam maliyet): $100 \cdot 6 = 600$ TL. Bardakların $\frac{1}{5}$'i kırılmıştır: Kırılan bardak sayısı: $100 \cdot \frac{1}{5} = 20$ Kalan sağlam bardak sayısı: $100 - 20 = 80$ 600 TL maliyet artık bu 80 sağlam bardak üzerinden karşılanacaktır: Yeni birim maliyet: $\frac{600}{80} = \frac{60}{8} = 7{,}5$ TL bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Kesrin sadeleşmemiş haline ortak bir $k$ katsayısı ile $\frac{3k}{5k}$ diyelim. Payına 4 eklenip paydasından 2 çıkarıldığında: $\frac{3k + 4}{5k - 2} = \frac{5}{6}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $6(3k + 4) = 5(5k - 2)$ $18k + 24 = 25k - 10$ $24 + 10 = 25k - 18k$ $34 = 7k$ (tam bölünmez!). Katsayıları düzenleyelim: Kesrin payına 2 eklenip paydasından 4 çıkarılırsa: $\frac{3k + 2}{5k - 4} = \frac{5}{7}$ olsun. $7(3k + 2) = 5(5k - 4) \implies 21k + 14 = 25k - 20 \implies 4k = 34$ yine tam çıkmaz. Soru kurgusunu tam sayılı yapalım: Başlangıçtaki kesir $\frac{2}{3}$ olsun. Payına 5 eklenip paydasından 1 çıkarıldığında $\frac{2k + 5}{3k - 1} = \frac{3}{2}$ olsun: $2(2k + 5) = 3(3k - 1) \implies 4k + 10 = 9k - 3 \implies 5k = 13$ olmaz. $k = 3$ olacak şekilde kurgulayalım: Kesir $\frac{3}{4}$ olsun, $3k$ ve $4k$. Payına 5 eklenip paydasından 2 çıkarıldığında: $\frac{3k + 5}{4k - 2} = \frac{7}{5}$: $5(3k + 5) = 7(4k - 2) \implies 15k + 25 = 28k - 14 \implies 13k = 39 \implies k = 3$. Harika! Şimdi soru metnini bu verilerle oluşturalım: 'Değeri $\frac{3}{4}$ olan bir kesrin payına 5 eklenip, paydasından 2 çıkarıldığında kesrin değeri $\frac{7}{5}$ olmaktadır. Buna göre, başlangıçtaki kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır?' $k = 3$ olduğuna göre: Başlangıçtaki pay: $3k = 3(3) = 9$ Başlangıçtaki payda: $4k = 4(3) = 12$ Toplam: $9 + 12 = 21$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

2 yataklı oda sayısına $x$, 3 yataklı oda sayısına $y$ diyelim. Toplam oda sayısı: $x + y = 35 \implies x = 35 - y$ Toplam yatak kapasitesi: $2x + 3y = 88$ $x$ yerine $35 - y$ yazalım: $2(35 - y) + 3y = 88$ $70 - 2y + 3y = 88$ $70 + y = 88 \implies y = 18$ 3 yataklı oda sayısı 18 olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Can'ın parasına $C$, Ece'nin parasına $E$ diyelim. Can parasının $\frac{2}{7}$'sini verirse elinde $C - \frac{2}{7}C = \frac{5}{7}C$ kalır. Ece ise bu parayı alınca $E + \frac{2}{7}C$ paraya sahip olur. Bu durumda paralar eşitlendiğine göre: $E + \frac{2}{7}C = \frac{5}{7}C$ $E = \frac{5}{7}C - \frac{2}{7}C$ $E = \frac{3}{7}C$ Buradan Ece'nin parasının Can'ın parasına oranı $\frac{E}{C} = \frac{3}{7}$ olarak bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Başlangıçtaki portakalların ağırlığına $P$ diyelim. Elmaların ağırlığı: $E = 3P - 20$ Satışlar gerçekleştikten sonra kalan miktarlar: Kalan elma: $(3P - 20) - 50 = 3P - 70$ Kalan portakal: $P - 10$ Son durumda elmalar portakalların 2 katı olduğuna göre: $3P - 70 = 2(P - 10)$ $3P - 70 = 2P - 20$ $3P - 2P = 70 - 20$ $P = 50$ kg bulunur. Başlangıçta 50 kg portakal vardır. Doğru cevap D seçeneğidir.