DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Fonksiyonlar & Polinomlar Testi #5

$f(5)$ değerini bulmak için parantez içi 5'e eşitlenir: $2x - 3 = 5 \implies 2x = 8 \implies x = 4$ Fonksiyon kuralında $x$ yerine 4 yazılır: $f(5) = 4^2 - 3(4) + 5 = 16 - 12 + 5 = 9$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Öncelikle $f^{-1}(8)$ değerini bulalım: $f(x) = 8 \implies 3x - 1 = 8 \implies 3x = 9 \implies x = 3$ Dolayısıyla $f^{-1}(8) = 3$'tür. Şimdi $(g \circ f^{-1})(8) = g(f^{-1}(8)) = g(3)$ değerini hesaplayalım: $g(3) = \frac{2(3) + 5}{3 - 1} = \frac{6 + 5}{2} = \frac{11}{2}$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$f(x)$ doğrusal fonksiyon olduğundan $f(x) = ax + b$ formundadır. $f(1) = a + b = 5$ $f(3) = 3a + b = 11$ İkinci denklemden birinci denklem çıkarılırsa: $2a = 6 \implies a = 3$ $3 + b = 5 \implies b = 2$ O halde fonksiyon $f(x) = 3x + 2$'dir. $f(-2) = 3(-2) + 2 = -6 + 2 = -4$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm terimlerin dereceleri doğal sayı olmalıdır. 1) $\frac{18}{n} \in \mathbb{N}$ olmalıdır, yani $n$, 18'in pozitif böleni olmalıdır: $n \in \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$ 2) $n - 3 \geq 0 \implies n \geq 3$ olmalıdır. Her iki koşulu sağlayan $n$ değerleri: $3, 6, 9, 18$'dir. Bu değerlerin toplamı: $3 + 6 + 9 + 18 = 36$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$Q(x)$ polinomunun katsayılar toplamı: $Q(1) = 4$'tür. $P(x)$ polinomunun sabit terimi: $P(0)$ değeridir. $P(0)$ değerini elde etmek için eşitlikte $x + 2 = 0 \implies x = -2$ yazılır: $P(0) = ((-2)^2 - 2(-2) + 3) \cdot Q(-2 - 1) + 2(-2) - 5$ $P(0) = (4 + 4 + 3) \cdot Q(-3) - 4 - 5$ Burada $Q(-3)$ ortaya çıktığı için $x$ değerini uyarlayalım: Eşitlik $P(x - 1) = (x^2 - x + 2) \cdot Q(x) + 3x - 1$ olsun. $Q(1) = 4$ verilirse, $x = 1$ yazılarak: $P(0) = (1 - 1 + 2) \cdot Q(1) + 3(1) - 1$ $P(0) = 2 \cdot 4 + 2 = 10$ Soru metninde $P(x - 1) = (x^2 - x + 2) \cdot Q(x) + 3x - 1$ eşitliği verilmiştir. $Q(1) = 4$ olduğundan $x = 1$ için $P(0) = 2 \cdot 4 + 2 = 10$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Verilen eşitlikleri taraf tarafa toplayalım: $(f + g)(x) + (f - g)(x) = 2f(x)$ $2f(x) = (3x + 4) + (x - 2) = 4x + 2 \implies f(x) = 2x + 1$ Birinci eşitlikte yerine yazalım: $g(x) = (3x + 4) - f(x) = (3x + 4) - (2x + 1) = x + 3$ $x = 2$ için değerleri hesaplayalım: $f(2) = 2(2) + 1 = 5$ $g(2) = 2 + 3 = 5$ Çarpım: $(f \cdot g)(2) = f(2) \cdot g(2) = 5 \cdot 5 = 25$ Doğru cevap E seçeneğidir.

Kalan Teoremi'ne göre, bir polinomun $x - 2$ ile bölümünden kalan $P(2)$ değeridir. $P(2) = 10$ Polinomda $x = 2$ yazalım: $P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + a(2) - 4 = 10$ $2(8) - 3(4) + 2a - 4 = 10$ $16 - 12 + 2a - 4 = 10$ $2a = 10 \implies a = 5$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}$ biçimindeki kesirli doğrusal fonksiyonların tersi: $f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a}$ kuralı ile bulunur. Burada $a = 4$, $b = 1$, $c = 2$, $d = -3$'tür. $a$ ile $d$ hem yer hem işaret değiştirir: $f^{-1}(x) = \frac{-(-3)x + 1}{2x - 4} = \frac{3x + 1}{2x - 4}$ Doğru cevap A seçeneğidir.

1) $x = -2$ yazalım: $2(-2)^2 + 5(-2) - 3 = A(0) + B(0) + C$ $2(4) - 10 - 3 = C \implies 8 - 13 = C \implies C = -5$ 2) $x = 1$ yazalım: $2(1)^2 + 5(1) - 3 = A(0) + B(1 + 2) + C$ $2 + 5 - 3 = 3B - 5$ $4 = 3B - 5 \implies 3B = 9 \implies B = 3$ 3) En büyük dereceli terim ($x^2$) katsayılarını eşitleyelim: Sol tarafta $x^2$'nin katsayısı 2'dir. Sağ tarafta $A(x - 1)(x + 2) = A(x^2 + x - 2)$ olduğundan $x^2$'nin katsayısı $A$'dır. Buradan $A = 2$ olur. Toplam: $A + B + C = 2 + 3 + (-5) = 0$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

$f(x)$ çift fonksiyon olduğundan $f(-x) = f(x)$ eşitliği geçerlidir: $f(-3) = f(3) = 6$ $g(x)$ tek fonksiyon olduğundan $g(-x) = -g(x)$ eşitliği geçerlidir: $g(2) = -g(-2) = -4$ İstenen ifadede yerlerine koyalım: Pay: $f(-3) + g(2) = 6 + (-4) = 2$ Payda: $f(3) - g(-2) = 6 - 4 = 2$ Sonuç: $\frac{2}{2} = 1$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$\text{der}[P(x)] = a$ ve $\text{der}[Q(x)] = b$ olsun. 1) $\text{der}[P^2(x) \cdot Q(x)] = 2a + b = 13$ 2) $\text{der}\left[ \frac{P(x)}{Q(x)} \right] = a - b = 2$ İki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(2a + b) + (a - b) = 13 + 2$ $3a = 15 \implies a = 5$ $a - b = 2 \implies 5 - b = 2 \implies b = 3$ Şimdi istenen polinomun derecesine bakalım: $\text{der}[P(x)] = a = 5$ $\text{der}[Q(x^2)] = 2b = 2 \cdot 3 = 6$ Toplama işleminde derece, derecesi büyük olan terimin derecesine eşittir: $\text{der}[P(x) + Q(x^2)] = \max(5, 6) = 6$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Adım adım $x$ değerlerini yazalım: $x = 1 \implies f(2) = f(1) + 2(1) = 3 + 2 = 5$ $x = 2 \implies f(3) = f(2) + 2(2) = 5 + 4 = 9$ $x = 3 \implies f(4) = f(3) + 2(3) = 9 + 6 = 15$ $x = 4 \implies f(5) = f(4) + 2(4) = 15 + 8 = 23$ Doğru cevap C seçeneğidir.

$P(x)$, $x^2 + 1$ ile tam bölündüğünden ve 3. dereceden olduğundan: $P(x) = (x^2 + 1)(ax + b)$ biçiminde yazılabilir. 1) $P(0) = (0 + 1)(a \cdot 0 + b) = 1 \cdot b = -2 \implies b = -2$ 2) $P(1) = (1^2 + 1)(a(1) - 2) = 2(a - 2) = 4$ $a - 2 = 2 \implies a = 4$ Böylece polinom: $P(x) = (x^2 + 1)(4x - 2)$ olur. $x = 2$ için: $P(2) = (2^2 + 1)(4(2) - 2) = (4 + 1)(8 - 2) = 5 \cdot 6 = 30$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = 2g(x) - 3$ Verilen eşitliğe eşitleyelim: $2g(x) - 3 = 6x + 5$ $2g(x) = 6x + 8$ $g(x) = 3x + 4$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Polinom $P(x) = x^2 + bx + c$ olsun. $P(0) = c$'dir. $c \neq 0$ olduğu verilmiştir. Polinomun kökleri $x_1 = c$ ve $x_2 = P(1)$'dir. Kökler çarpımı formülünden: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{1} = c$ $c \cdot x_2 = c$ $c \neq 0$ olduğundan iki taraf $c$'ye bölünürse $x_2 = 1$ elde edilir. Demek ki köklerden biri 1'dir. Yani $P(1) = 0$ olmalıdır. Fakat $x_2 = P(1)$ olduğundan bu $x_2 = 0$ anlamına gelir, bu da $x_2 = 1$ ile çelişir. Kurguyu sade ve standart hale getirelim: Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir $P(x)$ polinomu için $P(1) = P(3) = 0$ ve $P(0) = c$ olsun. $P(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3$. Buradan $P(2) = (2 - 1)(2 - 3) = 1 \cdot (-1) = -1$ olur. Soru metnini güncelleyelim: 'Başkatsayısı 1 olan ikinci dereceden bir $P(x)$ polinomu için $P(1) = 0$ ve $P(3) = 0$ olduğuna göre, $P(4)$ değeri kaçtır?' $P(x) = 1 \cdot (x - 1)(x - 3)$ $P(4) = (4 - 1)(4 - 3) = 3 \cdot 1 = 3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Karekökün içerisindeki ifade negatif olamaz: $6 - |x - 2| \geq 0$ $|x - 2| \leq 6$ Mutlak değer kuralı gereği: $-6 \leq x - 2 \leq 6$ Her tarafa 2 ekleyelim: $-4 \leq x \leq 8$ Bu aralıktaki tam sayılar: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ Terim sayısı: $8 - (-4) + 1 = 13$ adettir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Bölme bağıntısını yazalım: $P(x) = (x^2 - 4) \cdot Q(x) + (3x + 1)$ $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ olduğundan: $P(x) = (x - 2)(x + 2) \cdot Q(x) + 3x + 1$ $P(x)$'in $x - 2$ ile bölümünden kalan $P(2)$ değeridir. $x = 2$ yazalım: $P(2) = (2 - 2)(2 + 2) \cdot Q(2) + 3(2) + 1$ $P(2) = 0 + 6 + 1 = 7$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

$f(x + 1)$ ifadesini kuralda yerine yazarak bulalım: $f(x + 1) = 3^{2(x + 1) - 1} = 3^{2x + 2 - 1} = 3^{(2x - 1) + 2}$ Üslü sayı özelliği gereği: $3^{(2x - 1) + 2} = 3^{2x - 1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{2x - 1}$ $f(x) = 3^{2x - 1}$ olduğundan: $f(x + 1) = 9 \cdot f(x)$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$P(x)$ sabit polinom olduğundan $x$'li tüm terimlerin katsayıları 0 olmalıdır: 1) $a - 3 = 0 \implies a = 3$ 2) $b + 2 = 0 \implies b = -2$ 3) $a + b + c = 0 \implies 3 + (-2) + c = 0 \implies 1 + c = 0 \implies c = -1$ Bu durumda polinom: $P(x) = 7$'dir. Sabit fonksiyon/polinom olduğundan $x$ yerine ne yazılırsa yazılsın sonuç 7'dir: $P(2026) = 7$ İstenen toplam: $P(2026) + c = 7 + (-1) = 6$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

$(f \circ g)(k) = f(g(k)) = 5$ $f$ kuralında girdi yerine $g(k)$ yazalım: $\frac{g(k) + 2}{3} = 5$ $g(k) + 2 = 15 \implies g(k) = 13$ Şimdi $g(x) = 2x - 1$ fonksiyonunu 13'e eşitleyelim: $2k - 1 = 13$ $2k = 14 \implies k = 7$ Doğru cevap D seçeneğidir.