DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Limit, Türev ve İntegral Testi #3

$x = 3$ yazıldığında $\frac{3^2 - 3 - 6}{3^2 - 9} = \frac{0}{0}$ belirsizliği elde edilir. Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ İfadeyi sadeleştirelim: $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 2)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 2}{x + 3}$ $x = 3$ yazarsak: $\frac{3 + 2}{3 + 3} = \frac{5}{6}$ Doğru cevap C seçeneğidir.

$x = 4$ için $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. Paydadaki $x - 4$ ifadesini iki kare farkı olarak $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$ biçiminde yazabiliriz: $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ $x = 4$ için: $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$f(x)$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve o noktadaki değer birbirine eşit olmalıdır: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5$ 1) Sol limit: $\lim_{x \to 2^-} (2x + a) = 2(2) + a = 4 + a$ $4 + a = 5 \implies a = 1$ 2) Sağ limit: $\lim_{x \to 2^+} (x^2 - b) = 2^2 - b = 4 - b$ $4 - b = 5 \implies b = -1$ İstenen çarpım: $a \cdot b = 1 \cdot (-1) = -1$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Verilen limit ifadesi türevin limit tanımıdır: $\lim_{h \to 0} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = f'(2)$ $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım: $f'(x) = 3x^2 - 4$ $x = 2$ noktasındaki türev değeri: $f'(2) = 3(2)^2 - 4 = 3(4) - 4 = 12 - 4 = 8$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Çarpımın türevi kuralını uygulayalım: $f'(x) = (x^2 + 1)' \cdot (2x - 3) + (x^2 + 1) \cdot (2x - 3)'$ $f'(x) = (2x)(2x - 3) + (x^2 + 1)(2)$ $x = 1$ değerini yerine yazalım: $f'(1) = [2(1)][2(1) - 3] + (1^2 + 1)(2)$ $f'(1) = (2)(-1) + (2)(2) = -2 + 4 = 2$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Bölümün türevi kuralı: $f'(x) = \frac{(3x - 1)' \cdot (x + 2) - (3x - 1) \cdot (x + 2)'}{(x + 2)^2}$ $f'(x) = \frac{3(x + 2) - (3x - 1)(1)}{(x + 2)^2}$ $f'(x) = \frac{3x + 6 - 3x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{7}{(x + 2)^2}$ $x = 1$ için: $f'(1) = \frac{7}{(1 + 2)^2} = \frac{7}{3^2} = \frac{7}{9}$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Bileşke fonksiyonun (zincir kuralı) türevini alalım: $f'(x) = 3(2x^2 - 1)^2 \cdot (2x^2 - 1)'$ $f'(x) = 3(2x^2 - 1)^2 \cdot (4x)$ $x = 1$ için: $f'(1) = 3(2(1)^2 - 1)^2 \cdot 4(1)$ $f'(1) = 3(1)^2 \cdot 4 = 12$ Doğru cevap D seçeneğidir.

1) Teğetin değme noktasının koordinatlarını bulalım: $x = 2 \implies y = 2^2 - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$ Nokta $P(2, 3)$'tür. 2) Teğetin eğimini bulmak için türev alalım: $y' = 2x - 3$ $m = y'(2) = 2(2) - 3 = 1$ 3) Eğimi $m = 1$ olan ve $P(2, 3)$ noktasından geçen doğru denklemi: $y - y_1 = m(x - x_1)$ $y - 3 = 1(x - 2) \implies y = x + 1$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Sayılar $x$ ve $y$ olsun. $x + y = 12 \implies y = 12 - x$ Kareleri toplamını tek değişkene bağlı bir fonksiyon olarak yazalım: $f(x) = x^2 + y^2 = x^2 + (12 - x)^2$ $f(x) = x^2 + 144 - 24x + x^2 = 2x^2 - 24x + 144$ Fonksiyonun en küçük değerini bulmak için türevini sıfıra eşitleyelim: $f'(x) = 4x - 24 = 0 \implies x = 6$ $x = 6$ ise $y = 12 - 6 = 6$ olur. Kareleri toplamının en küçük değeri: $f(6) = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Bir fonksiyon türevinin negatif olduğu aralıkta azalandır: $f'(x) = x^2 - 2x - 8$ $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözelim: $x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) = 0$ Kökler $x_1 = -2$ ve $x_2 = 4$'tür. İşaret tablosu incelendiğinde: $x < -2$ için $f'(x) > 0$ $-2 < x < 4$ için $f'(x) < 0$ $x > 4$ için $f'(x) > 0$ Dolayısıyla fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık $[-2, 4]$ (veya $(-2, 4)$)'tür. Doğru cevap B seçeneğidir.

Terim terim integral alalım: $\int 6x^2 \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3$ $\int (-4x) \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$ $\int 3 \, dx = 3x$ İfadeyi toparlayıp integrasyon sabitini ekleyelim: $2x^3 - 2x^2 + 3x + c$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Öncelikle belirsiz integrali bulalım: $\int (3x^2 - 2x) \, dx = x^3 - x^2$ Sınırları uygulayalım: $\left[ x^3 - x^2 \right]_{1}^{3} = (3^3 - 3^2) - (1^3 - 1^2)$ $=(27 - 9) - (1 - 1) = 18 - 0 = 18$ Doğru cevap C seçeneğidir.

$f(x)$ fonksiyonunu bulmak için türevin integralini alalım: $f(x) = \int (4x + 1) \, dx = 2x^2 + x + c$ $f(1) = 5$ bilgisini kullanarak $c$ sabitini bulalım: $f(1) = 2(1)^2 + 1 + c = 5$ $3 + c = 5 \implies c = 2$ O halde fonksiyon $f(x) = 2x^2 + x + 2$'dir. $f(2)$ değerini hesaplayalım: $f(2) = 2(2)^2 + 2 + 2 = 2(4) + 4 = 8 + 4 = 12$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Değişken değiştirme yöntemini uygulayalım: $u = x^2 + 3$ olsun. Her iki tarafın diferansiyelini alırsak: $du = 2x \, dx$ İntegralde yerine yazalım: $\int u^4 \, du = \frac{u^5}{5} + c$ $u$ yerine $x^2 + 3$ yazalım: $\frac{(x^2 + 3)^5}{5} + c$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Eğrinin $x$ eksenini kestiği noktaları bulalım: $4 - x^2 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = -2$ ve $x = 2$ $[-2, 2]$ aralığında parabol $x$ ekseninin üstündedir ($y \geq 0$). Alan integrali: $A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) \, dx$ Fonksiyon çift fonksiyon olduğundan: $A = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) \, dx = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$ $A = 2 \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevi alıp sıfıra eşitleyelim: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0$ Her tarafı 6'ya bölelim: $x^2 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x - 2) = 0$ Kökler $x = 1$ ve $x = 2$'dir. Türev işaret tablosu: $x < 1$ için $f'(x) > 0$ (artan) $1 < x < 2$ için $f'(x) < 0$ (azalan) $x > 2$ için $f'(x) > 0$ (artan) Fonksiyon $x = 1$ noktasında artanlıktan azalanlığa geçtiğinden burada yerel maksimuma ulaşır. Yerel maksimum değeri $f(1)$'dir: $f(1) = 2(1)^3 - 9(1)^2 + 12(1) - 1 = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ biçiminde yazılır. İntegral kuralı: $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ $\int x^{-\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$ Sınırları uygulayalım: $\left[ 2\sqrt{x} \right]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$y = x + 3$ doğrusunun eğimi $m = 1$'dir. Paralel teğetlerin eğimleri de 1 olmalıdır. Eğrinin türevini teğetin eğimine eşitleyelim: $y' = 3x^2 - 2$ $3x^2 - 2 = 1$ $3x^2 = 3 \implies x^2 = 1$ Buradan apsisler $x_1 = 1$ ve $x_2 = -1$ bulunur. Apsislerin çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-1) = -1$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Limitlerin özellikleri gereği toplama, çarpma ve bölme limitleri ayrı ayrı hesaplanabilir: Pay kısmı: $\lim_{x \to 2} [f^2(x) - 2g(x)] = (\lim_{x \to 2} f(x))^2 - 2(\lim_{x \to 2} g(x)) = 3^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$ Payda kısmı: $\lim_{x \to 2} [f(x) + g(x)] = 3 + (-1) = 2$ Payda sıfırdan farklı olduğundan oran: $\frac{11}{2}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Eğrilerin kesişim noktalarını bulalım: $x^2 = 2x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$ Kesişim noktalarının apsisleri $x = 0$ ve $x = 2$'dir. $[0, 2]$ aralığında doğru parabolün üstündedir ($2x \geq x^2$). İki eğri arasındaki alan integrali: $A = \int_{0}^{2} (2x - x^2) \, dx$ İntegrali hesaplayalım: $A = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$ $A = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - 0 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$ birimkare bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.