DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Üslü ve Köklü İfadeler Testi #6

Pay kısmını $2^{12}$ parantezine alalım: $2^{12} \cdot (2^2 + 2^1 + 1) = 2^{12} \cdot (4 + 2 + 1) = 2^{12} \cdot 7$ Payda kısmını $2^9$ parantezine alalım: $2^9 \cdot (2^2 - 1) = 2^9 \cdot (4 - 1) = 2^9 \cdot 3$ İfadeyi oranlayalım: $\frac{2^{12} \cdot 7}{2^9 \cdot 3} = \frac{2^{12-9} \cdot 7}{3} = \frac{2^3 \cdot 7}{3} = \frac{8 \cdot 7}{3} = \frac{56}{3}$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Kök içindeki sayıları tam kare çarpanları dışarı çıkararak yazalım: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ İfadeyi toparlayalım: $5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (5 + 4 - 6)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Tabanları 3'ün kuvveti biçiminde yazalım: $9 = 3^2 \implies 9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}$ $27 = 3^3 \implies 27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3x-3}$ Tabanlar eşit olduğundan üsler birbirine eşittir: $2x + 2 = 3x - 3$ $3x - 2x = 2 + 3$ $x = 5$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Her iki kesrin paydasını eşlenikleri ile genişletelim: Birinci kesri $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ ile çarpalım: $\frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$ İkinci kesri $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ ile çarpalım: $\frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$ İki ifadeyi birbirinden çıkaralım: $(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ Doğru cevap C seçeneğidir.

72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ Buradan $72^x$ ifadesini yazalım: $72^x = (2^3 \cdot 3^2)^x = (2^3)^x \cdot (3^2)^x = (2^x)^3 \cdot (3^x)^2$ Verilen $2^x = a$ ve $3^x = b$ değerlerini yerine koyalım: $72^x = a^3 \cdot b^2$ Doğru cevap B seçeneğidir.

İfadeyi $\sqrt{A - 2\sqrt{B}}$ kalıbına getirelim: $\sqrt{72} = \sqrt{4 \cdot 18} = 2\sqrt{18}$ İfade $\sqrt{11 - 2\sqrt{18}}$ haline gelir. Çarpımları 18, toplamları 11 olan iki pozitif tam sayı bulalım: $m \cdot n = 18$ ve $m + n = 11 \implies m = 9, n = 2$ Formül gereği $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ yazılır ($m > n$ olduğundan): $\sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}$ Doğru cevap A seçeneğidir.

Tabanları aynı yapalım. $\frac{5}{2} = \left( \frac{2}{5} \right)^{-1}$ olduğundan: $\left( \frac{5}{2} \right)^{x - 7} = \left( \left( \frac{2}{5} \right)^{-1} \right)^{x - 7} = \left( \frac{2}{5} \right)^{-x + 7}$ Eşitsizlik: $\left( \frac{2}{5} \right)^{3x - 1} \geq \left( \frac{2}{5} \right)^{-x + 7}$ Taban $0 < \frac{2}{5} < 1$ (basit kesir) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir: $3x - 1 \leq -x + 7$ $4x \leq 8 \implies x \leq 2$ $x$ bir doğal sayı olduğuna göre alabileceği değerler $0, 1, 2$'dir. Bu değerlerin toplamı: $0 + 1 + 2 = 3$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Ondalık sayıların kareköklerini rasyonel olarak hesaplayalım: $\sqrt{0{,}64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0{,}8$ $\sqrt{0{,}36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{6}{10} = 0{,}6$ $\sqrt{0{,}04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = 0{,}2$ Pay kısmı: $0{,}8 + 0{,}6 = 1{,}4$ Payda kısmı: $0{,}2$ Oranlayalım: $\frac{1{,}4}{0{,}2} = \frac{14}{2} = 7$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Kök dereceleri 2, 3 ve 6'dır. EKOK(2, 3, 6) = 6 olduğundan tüm sayıları 6. dereceden kök içinde yazalım: $a = \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$ $b = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$ $c = \sqrt[6]{7}$ Kök dereceleri eşitken kök içi büyük olan sayı daha büyüktür: $7 < 8 < 9 \implies \sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$ Buradan $c < a < b$ sıralaması elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

Verilen ifadeleri $5^x$ cinsinden açalım: $5^{2x+1} = 5^{2x} \cdot 5^1 = (5^x)^2 \cdot 5$ $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2$ $5^x = 3$ değerini yerine yazalım: $5^{2x+1} = 3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$ $25^x = 3^2 = 9$ Farkı alalım: $45 - 9 = 36$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Öncelikle köklü ifadeyi yalnız bırakalım: $\sqrt{3x + 1} = 3 + 2$ $\sqrt{3x + 1} = 5$ Her iki tarafın karesini alalım: $(\sqrt{3x + 1})^2 = 5^2$ $3x + 1 = 25$ $3x = 24$ $x = 8$ Doğrulama: $\sqrt{3(8) + 1} - 2 = \sqrt{25} - 2 = 5 - 2 = 3$ (sağlar). Doğru cevap B seçeneğidir.

Verilen eşitlikleri 2 ve 3 tabanlarının kuvvetleri olarak yazalım: $2^a = 3^3$ $3^b = 2^3 \implies 2^3 = 3^b$ Tabanları aynı olan üslü eşitliklerin oran kuralından: $\frac{a}{3} = \frac{3}{b}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $a \cdot b = 3 \cdot 3 = 9$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Pay kısmını gruplandırarak ortak çarpan parantezine alalım: Pay: $(\sqrt{15} - \sqrt{10}) + (\sqrt{6} - 2)$ İlk iki terimi $\sqrt{5}$ parantezine alalım: $\sqrt{5}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ Son iki terimi inceleyelim: $\sqrt{6} - 2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ Şimdi tüm payı $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ parantezine alalım: $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ Kesri yazalım: $\frac{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ terimleri sadeleşir: Sonuç: $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Sayıyı 10'un kuvveti ($2 \cdot 5 = 10$) biçiminde düzenleyelim: $8^4 = (2^3)^4 = 2^{12}$ $25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}$ $A = 2^{12} \cdot 5^{10} = 2^2 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10} = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^{10} = 4 \cdot 10^{10}$ $4 \cdot 10^{10}$ sayısı, 4 rakamının sağına 10 tane sıfır yazılmasıyla oluşur. Toplam basamak sayısı: $1 + 10 = 11$ basamaklıdır. Doğru cevap C seçeneğidir.

Kareköklü bir ifadenin gerçel sayı belirtmesi için kök içi sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olmalıdır: 1) $x - 3 \geq 0 \implies x \geq 3$ 2) $9 - 3x \geq 0 \implies 9 \geq 3x \implies x \leq 3$ Her iki koşulu aynı anda sağlayan tek bir $x$ gerçel sayısı vardır, o da $x = 3$'tür. $x = 3$ değerini $A$ ifadesinde yerine yazalım: $A = \sqrt{3 - 3} + \sqrt{9 - 9} + 2(3) + 1$ $A = 0 + 0 + 6 + 1 = 7$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Tabanları asal sayıların kuvvetleri biçiminde yazalım: $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$ $32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot \frac{1}{5}} = 2^1 = 2$ İşlemi yapalım: $8 + 9 - 2 = 17 - 2 = 15$ Doğru cevap C seçeneğidir.

Tam kare açılımını yapalım: $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$ $= 7 + 2\sqrt{21} + 3 = 10 + 2\sqrt{21}$ Şimdi $\sqrt{84}$ ifadesini düzenleyelim: $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ İki ifadeyi birbirinden çıkaralım: $(10 + 2\sqrt{21}) - 2\sqrt{21} = 10$ Doğru cevap B seçeneğidir.

$A^B = 1$ eşitliği üç durumda sağlanır: 1. Durum: Üs sıfır ve taban sıfırdan farklı olmalıdır ($B = 0$ ve $A \neq 0$). $x^2 - 9 = 0 \implies x = 3$ veya $x = -3$. $x = 3$ için taban $3 - 2 = 1 \neq 0$ (sağlar). $x = -3$ için taban $-3 - 2 = -5 \neq 0$ (sağlar). 2. Durum: Taban 1 olmalıdır ($A = 1$). $x - 2 = 1 \implies x = 3$ (bu değer 1. durumda zaten bulundu). 3. Durum: Taban -1 ve üs çift tam sayı olmalıdır ($A = -1$ ve $B$ çift). $x - 2 = -1 \implies x = 1$. $x = 1$ için üssü kontrol edelim: $1^2 - 9 = 1 - 9 = -8$ (çift tam sayıdır, sağlar). Eşitliği sağlayan farklı $x$ değerleri: $-3, 1, 3$'tür. Bu değerlerin toplamı: $(-3) + 1 + 3 = 1$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Tam kare sayıları inceleyelim: $8^2 = 64$ ve $9^2 = 81$ $64 < 70 < 81$ 70 sayısı 64'e 6 birim, 81'e 11 birim uzaklıktadır. Dolayısıyla $\sqrt{70}$ sayısı 8'e daha yakındır: $a = 8$. $11^2 = 121$ ve $12^2 = 144$ $121 < 130 < 144$ 130 sayısı 121'e 9 birim, 144'e 14 birim uzaklıktadır. Dolayısıyla $\sqrt{130}$ sayısı 11'e daha yakındır: $b = 11$. Toplam: $a + b = 8 + 11 = 19$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

İstenen ifadeye $y$ diyelim: $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1}$ $x$ ile $y$ ifadelerini taraf tarafa çarpalım: $x \cdot y = \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1} \right)$ Pay kısımlarının çarpımı: $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{7} + \sqrt{3})$ Payda kısımlarının çarpımı: $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{5} - 1)$ Çarpanları uygun şekilde eşleştirelim: $x \cdot y = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)^{-1} \dots}{}$ yerine: $x \cdot y = \frac{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{7} - \sqrt{3})}$ Burada pay ve paydaları eşlenikleriyle çarpacak şekilde $x \div y$ veya $x \cdot y$ yerine $x \cdot y$ eşlenik çarpımı vermez. İfadeleri düzenleyelim: $x = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$ $y = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} - 1}$ $x \cdot \frac{1}{y} = \frac{x}{y} = \left( \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} \right)$ Pay kısmı: $(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$ Payda kısmı: $(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3}) = (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2 = 7 - 3 = 4$ Böylece: $\frac{x}{y} = \frac{4}{4} = 1$ $x = y$ elde edilir. Dolayısıyla istenen ifadenin $x$ türünden eşiti doğrudan $x$'tir. Doğru cevap A seçeneğidir.