DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Sayı Dizileri ve Örüntüler Testi #1

Dizideki ardışık terimler arasındaki ilişkiyi inceleyelim: $7 = 3 \cdot 2 + 1$ $15 = 7 \cdot 2 + 1$ $31 = 15 \cdot 2 + 1$ $63 = 31 \cdot 2 + 1$ Kural: Her terim, kendinden önceki terimin 2 katının 1 fazlasıdır ($a_n = 2a_{n-1} + 1$). Bu kurala göre $x$ değerini bulalım: $x = 63 \cdot 2 + 1 = 126 + 1 = 127$ Sonuç: C şıkkı.

Dizinin terimlerini incelediğimizde her terimin bir tam karenin 1 fazlası olduğunu görebiliriz: 1. terim: $1^2 + 1 = 2$ 2. terim: $2^2 + 1 = 5$ 3. terim: $3^2 + 1 = 10$ 4. terim: $4^2 + 1 = 17$ 5. terim: $5^2 + 1 = 26$ Buna göre 6. terim olan $x$, $6^2 + 1$ olmalıdır. $x = 36 + 1 = 37$ bulunur. (Alternatif olarak aradaki farklar incelendiğinde sırasıyla $+3, +5, +7, +9$ olduğu görülür. Bir sonraki fark $+11$ olacağından $26 + 11 = 37$ elde edilir.) Sonuç: C şıkkı.

Diziyi tek ve çift sıradaki terimler olarak ikiye ayıralım: Tek sıradaki terimler (1., 3., 5., 7., 9. terimler): $1, 3, 5, 7, x$ Bu dizi 2'şer artarak ilerlemektedir. Buna göre $x = 7 + 2 = 9$ olmalıdır. Çift sıradaki terimler (2., 4., 6., 8., 10. terimler): $10, 9, 8, 7, y$ Bu dizi 1'er azalarak ilerlemektedir. Buna göre $y = 7 - 1 = 6$ olmalıdır. Bizden istenen $x + y$ toplamı: $x + y = 9 + 6 = 15$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Dizideki ardışık terimler arasındaki geçiş kuralını bulalım: $5 \cdot 2 + 3 = 10 + 3 = 13$ $13 \cdot 2 + 3 = 26 + 3 = 29$ $29 \cdot 2 + 3 = 58 + 3 = 61$ $61 \cdot 2 + 3 = 122 + 3 = 125$ Görüldüğü gibi her terim, bir önceki terimin 2 katının 3 fazlasına eşittir. Buna göre $x$ değerini bulalım: $x = 125 \cdot 2 + 3 = 250 + 3 = 253$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Kurala göre dizinin terimlerini adım adım oluşturalım: 1. terim: $3$ 2. terim: $3 \cdot 2 = 6$ 3. terim: $6 + 3 = 9$ 4. terim: $9 \cdot 2 = 18$ 5. terim: $18 + 3 = 21$ 6. terim: $21 \cdot 2 = 42$ 7. terim: $42 + 3 = 45$ 8. terim: $45 \cdot 2 = 90$ Bizden 8. terim ile 7. terim arasındaki fark isteniyor: $90 - 45 = 45$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Üçgensel sayılar dizisi kuralı $a_n = \frac{n(n+1)}{2}$ ile bulunur. 1. adım: $\frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ 2. adım: $\frac{2 \cdot 3}{2} = 3$ 3. adım: $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ Bu kurala göre 12. adımda kullanılacak nokta sayısı: $a_{12} = \frac{12 \cdot 13}{2} = 6 \cdot 13 = 78$ olarak hesaplanır. Sonuç: C şıkkı.

Verilen kural, Fibonacci dizisine benzer bir kuraldır (her terim kendinden önceki iki terimin toplamıdır). Terimleri sırasıyla bulalım: $a_1 = 2$ $a_2 = 3$ $a_3 = a_2 + a_1 = 3 + 2 = 5$ $a_4 = a_3 + a_2 = 5 + 3 = 8$ $a_5 = a_4 + a_3 = 8 + 5 = 13$ $a_6 = a_5 + a_4 = 13 + 8 = 21$ $a_7 = a_6 + a_5 = 21 + 13 = 34$ Bizden $a_7 + a_5$ toplamı isteniyor: $34 + 13 = 47$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Harflerin alfabedeki sırası ile verilen sayılar arasındaki ilişkiyi inceleyelim. A 1. harf $\rightarrow$ 1 B 2. harf $\rightarrow$ 3 C 3. harf $\rightarrow$ 6 D 4. harf $\rightarrow$ 10 E 5. harf $\rightarrow$ 15 Görüldüğü gibi sayılar ardışık sayıların toplamıdır (Üçgensel sayılar). Formül $n(n+1)/2$'dir. 'H' harfinin alfabedeki sırasını bulalım: A(1), B(2), C(3), Ç(4), D(5), E(6), F(7), G(8), Ğ(9), H(10). Dikkat: Türk alfabesinde Ç ve Ğ harfleri de bulunur ancak örnekte A, B, C, D, E peş peşe verilerek İngiliz alfabesi veya sadece o harflerin sırası (Ç atlanmış gibi) düşünülmüş olabilir. Ancak soruda 'Türk alfabesinde yer alan' ibaresi geçiyor. Fakat verilen örnekte: A=1 B=3 C=6 D=10 E=15 Türk alfabesinde harfler A, B, C, Ç, D, E şeklindedir. Örnek dizilimi A(1), B(2), C(3), D(4), E(5) şeklindedir. Yani Ç atlanmıştır. Bu bir İngiliz/Latin alfabesi sıralamasıdır. Sorunun kendi mantığı içinde A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8 şeklinde ilerlediği açıktır. (ÖSYM tarzında da örüntü mantığı ön plandadır). Harf sırasını 8 olarak alırsak: $n = 8$ için sayı: $\frac{8 \cdot 9}{2} = 36$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Dizinin terimlerini sırasıyla bulalım: $2^1 = 2 \equiv 2 \pmod 7$ (1. terim: 2) $2^2 = 4 \equiv 4 \pmod 7$ (2. terim: 4) $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ (3. terim: 1) $2^4 = 16 \equiv 2 \pmod 7$ (4. terim: 2) $2^5 = 32 \equiv 4 \pmod 7$ (5. terim: 4) $2^6 = 64 \equiv 1 \pmod 7$ (6. terim: 1) Görüldüğü gibi kalanlar (2, 4, 1) şeklinde 3 terimde bir kendini tekrar etmektedir. 50. terimi bulmak için 50'yi periyot olan 3'e bölmeliyiz: $50 \div 3 = 16$ (kalan 2) Kalan 2 olduğu için örüntünün 2. terimi cevaptır. 2. terim 4'tür. Sonuç: D şıkkı.

Dizinin pay ve payda örüntülerini ayrı ayrı inceleyelim. Pay kısmı: $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ şeklinde ardışık tek sayılardır. Kuralı $2n-1$'dir. Payda kısmı: $2, 5, 10, 17, 26, \dots$ şeklinde ilerlemektedir. Kuralı $n^2+1$'dir. (Çünkü $1^2+1=2$, $2^2+1=5$, $3^2+1=10$ vs.) Buna göre 10. terimin payı: $2 \cdot 10 - 1 = 19$ olur. 10. terimin paydası: $10^2 + 1 = 101$ olur. Sonuç: $\frac{19}{101}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Verilen kurala göre dizinin terimlerini adım adım hesaplayalım: $a_1 = 14$ $a_2 = 14 + (1 + 4) = 14 + 5 = 19$ $a_3 = 19 + (1 + 9) = 19 + 10 = 29$ $a_4 = 29 + (2 + 9) = 29 + 11 = 40$ $a_5 = 40 + (4 + 0) = 40 + 4 = 44$ $a_6 = 44 + (4 + 4) = 44 + 8 = 52$ Aranan 6. terim 52 olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Öncelikle ilk 8 asal sayıyı yazalım: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$. $a_6$ değerini bulmak için 6. asal sayıyı almalıyız: $p_6 = 13 \Rightarrow a_6 = 13 + 6 = 19$ $a_8$ değerini bulmak için 8. asal sayıyı almalıyız: $p_8 = 19 \Rightarrow a_8 = 19 + 8 = 27$ Bizden istenen $a_6 + a_8$ toplamı: $19 + 27 = 46$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

'MATEMATİK' kelimesi 9 harflidir ve her 9 harfte bir örüntü kendini tekrar etmektedir. 2026. harfi bulmak için 2026 sayısını 9'a bölüp kalana bakmalıyız. 2026 sayısının rakamları toplamı $2 + 0 + 2 + 6 = 10$'dur. 10'un 9'a bölümünden kalan 1'dir. Buna göre, örüntünün 1. harfi aranan cevaptır. 1. harf 'M' harfidir. Sonuç: A şıkkı.

Dizideki ardışık terimler arasındaki farkları (birinci farklar) bulalım: $4 - 1 = 3$ $11 - 4 = 7$ $26 - 11 = 15$ $57 - 26 = 31$ $120 - 57 = 63$ Farklar dizisine baktığımızda: $3, 7, 15, 31, 63$ sayılarını görüyoruz. Bu sayılar $2^2-1, 2^3-1, 2^4-1, 2^5-1, 2^6-1$ kuralıyla gitmektedir. Buna göre bir sonraki fark $2^7-1 = 128 - 1 = 127$ olmalıdır. $x = 120 + 127 = 247$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Aritmetik dizilerde $a_x + a_y = a_z + a_t$ özelliği ($x+y = z+t$ iken) geçerlidir. $a_3 + a_7 = 40$ verilmiş. İndisler toplamı $3+7=10$'dur. Buna göre $2a_5 = 40 \Rightarrow a_5 = 20$ olur. İkinci eşitlikte yerine yazalım: $a_5 + a_8 = 49 \Rightarrow 20 + a_8 = 49 \Rightarrow a_8 = 29$. Dizinin ortak farkına $d$ diyelim: $a_8 - a_5 = 3d \Rightarrow 29 - 20 = 3d \Rightarrow 9 = 3d \Rightarrow d = 3$. Dizinin 10. terimini bulalım: $a_{10} = a_8 + 2d = 29 + 2(3) = 29 + 6 = 35$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Geometrik dizilerde, indisi ortada olan terimin karesi, eşit uzaklıktaki iki terimin çarpımına eşittir. 2 ve 6 indislerinin tam ortasında 4 indisi vardır. $(2+6)/2 = 4$. Bu kurala göre: $g_2 \cdot g_6 = (g_4)^2$ olmalıdır. Verilenlere göre: $(g_4)^2 = 144$. Dizi pozitif terimli olduğundan $g_4 = \sqrt{144} = 12$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1'den 9'a kadar olan sayılar için 9 adet rakam kullanılır. Geriye $45 - 9 = 36$ adet rakam kalır. 10'dan itibaren her sayı 2 basamaklıdır. Bu nedenle kalan 36 rakam ile $36 \div 2 = 18$ adet iki basamaklı sayı yazılır. 10'dan başlayarak 18. sayı: $10 + 18 - 1 = 27$'dir. Yani dizi $1234567891011\dots2627$ şeklinde devam eder. 45. rakam, 27 sayısının son rakamı olan 7'dir. Sonuç: D şıkkı.

Dizinin terimlerini kurala uygun olarak sırasıyla bulalım: 1. terim: 2 2. terim (+5): $2 + 5 = 7$ 3. terim (x2): $7 \cdot 2 = 14$ 4. terim (+5): $14 + 5 = 19$ 5. terim (x2): $19 \cdot 2 = 38$ 6. terim (+5): $38 + 5 = 43$ 7. terim (x2): $43 \cdot 2 = 86$ 8. terim (+5): $86 + 5 = 91$ 9. terim (x2): $91 \cdot 2 = 182$ Bizden 9. terim ile 8. terim arasındaki fark istenmektedir: $182 - 91 = 91$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Adımlarda eklenen YENİ kare sayılarını takip edelim: Başlangıç: 1 kare 1. adımda eklenen yeni kare sayısı: 4 2. adımda eklenen yeni kare sayısı: 4 karenin her birinden 3 yeni kare doğuyor $\Rightarrow 4 \cdot 3 = 12$ 3. adımda eklenen yeni kare sayısı: 12 karenin her birinden 3 yeni kare doğuyor $\Rightarrow 12 \cdot 3 = 36$ 4. adımda eklenen yeni kare sayısı: 36 karenin her birinden 3 yeni kare doğuyor $\Rightarrow 36 \cdot 3 = 108$ Dördüncü adımda 108 yeni kare eklenmiş olur. Sonuç: C şıkkı.

Örüntüyü dikkatle incelediğimizde her satırın sonundaki sayının bir tam kare olduğunu görürüz. 1. satırın son sayısı: $1^2 = 1$ 2. satırın son sayısı: $2^2 = 4$ 3. satırın son sayısı: $3^2 = 9$ 4. satırın son sayısı: $4^2 = 16$ Bu kurala göre, 9. satırın sonundaki sayı $9^2 = 81$ olacaktır. 10. satır, 9. satırın bittiği sayının bir fazlası ile başlayacaktır. Buna göre 10. satırın ilk elemanı $81 + 1 = 82$ olur. Sonuç: C şıkkı.