YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) Temel Kavramlar & Dört İşlem #4

$a \cdot b + 3$ ifadesi tek sayı ise, $3$ tek bir sayı olduğundan $a \cdot b$ çarpımı çift sayı olmalıdır. Çarpımın çift olması için $a$ veya $b$'den en az birinin çift olması yeterlidir. Seçenekleri inceleyelim: A) $a + b$ (biri çift diğeri tek olabilir, kesin değil). B) $a^2 + b^2$ (biri çift biri tekse toplam tek olabilir). C) $a \cdot b \cdot c$ ($a \cdot b$ çift olduğu için $c$ ne olursa olsun bu çarpım kesinlikle çift sayıdır). D) $a + b + c$ (kesin değil). E) $a^3 + b$ (kesin değil). Dolayısıyla her zaman çift olan $a \cdot b \cdot c$'dir. Sonuç: C şıkkı.

Verilen eşitsizlikten $a$ negatif ($a < 0$), $b$ pozitif ($b > 0$) ve $c$ pozitif ($c > 0$) olup $c > b$'dir. Seçenekleri inceleyelim: A) $a - b$ (negatif - pozitif = negatif). B) $b - c$ ($b < c$ olduğundan $b - c < 0$ negatif). C) $a \cdot (b - c)$ (negatif çarpı negatif = pozitif). Kontrol edelim: $a < 0$ (negatif), $b - c < 0$ (negatif). İki negatif sayının çarpımı pozitiftir. D) $a + b$ (işaretleri farklı, kesin değil). E) $\frac{c}{a}$ (pozitif / negatif = negatif). Sonuç: C şıkkı.

13 sayısı asal bir sayıdır. Bu nedenle $x$ ve $(y - 2)$ çarpanları ya $1$ ve $13$ ya da $-1$ ve $-13$ olmalıdır. $x$ bir asal sayı olduğu için $1$ olamaz, bu yüzden $x = 13$ olmalıdır. Bu durumda $y - 2 = 1 \implies y = 3$ olur ($3$ asal sayıdır, şartı sağlar). $x + y = 13 + 3 = 16$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Ardışık 5 çift sayının ortancası (3. sayısı) toplamın terim sayısına bölümüdür: $\frac{140}{5} = 28$. Sayılar $24, 26, 28, 30, 32$ şeklindedir. En büyük sayı 32'dir. Sonuç: B şıkkı.

İfadedeki faktöriyelleri $6!$ parantezine alalım: $\frac{8 \cdot 7 \cdot 6! + 7 \cdot 6!}{6!} = \frac{6!(56 + 7)}{6!} = 56 + 7 = 63$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Basamak analizi yapalım: $AB = 10A + B$. $10A + B = 4(A + B) \implies 10A + B = 4A + 4B \implies 6A = 3B \implies 2A = B$. $A$ ve $B$ birer rakam olduğu için ($A \neq 0$): $A = 1$ için $B = 2$ (12); $A = 2$ için $B = 4$ (24); $A = 3$ için $B = 6$ (36); $A = 4$ için $B = 8$ (48). Toplam 4 farklı AB sayısı vardır. Sonuç: C şıkkı.

36 ile bölünebilmesi için sayı aralarında asal olan 4 ve 9 ile kalansız bölünmelidir. 4 ile bölünebilme kuralına göre son iki basamak $5b$ dörde bölünmelidir ($b = 2$ veya $b = 6$). 1. Durum: $b = 2$ için sayı $4a52$ olur. 9 ile bölünebilme için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır: $4 + a + 5 + 2 = 11 + a = 18 \implies a = 7$. 2. Durum: $b = 6$ için sayı $4a56$ olur. Rakamları toplamı: $4 + a + 5 + 6 = 15 + a = 18 \implies a = 3$. $a$'nın alabileceği değerler 7 ve 3 olup toplamları $7 + 3 = 10$'dur. Sonuç: E şıkkı.

En az parsel elde etmek için karelerin bir kenar uzunluğu olabildiğince büyük olmalıdır, yani bu sayı 36 ve 60'ın EBOB'udur. $\text{EBOB}(36, 60) = 12$'dir. Karenin bir kenarı 12 cm olur. Gereken parsel sayısı büyük alanın küçük alana oranКуdur: $\frac{\text{Büyük Alan}}{\text{Küçük Alan}} = \frac{36 \cdot 60}{12 \cdot 12} = \frac{36}{12} \cdot \frac{60}{12} = 3 \cdot 5 = 15$ parsel gerekir. Sonuç: B şıkkı.

İşleme en alttaki kesirden başlayalım: $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. İfade $1 - \frac{1}{\frac{2}{3}}$ haline gelir. $\frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$'dir. Son olarak $1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Payda eşitleyelim (6'da eşitlenir): $\frac{2(2x - 1) - 3(x + 2)}{6} = 1 \implies \frac{4x - 2 - 3x - 6}{6} = 1 \implies \frac{x - 8}{6} = 1$. İçler dışlar çarpımından $x - 8 = 6 \implies x = 14$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$y = 2x - 1$ denkleminden $x$'i yalnız bırakalım: $x = \frac{y + 1}{2}$. Verilen eşitsizlikte yerine yazalım: $-3 \leq \frac{y + 1}{2} < 4$. Her tarafı 2 ile çarpalım: $-6 \leq y + 1 < 8$. Her taraftan 1 çıkaralım: $-7 \leq y < 7$. $y$ tam sayıları $-7, -6, \dots, 6$ aralığındadır. Terim sayısı = $6 - (-7) + 1 = 14$ tanedir. Sonuç: D şıkkı.

İkinci mutlak değer ifadesini düzenleyelim: $|6 - 3x| = |3(2 - x)| = 3|2 - x| = 3|x - 2|$. Denklem şu şekle gelir: $|x - 2| + 3|x - 2| = 16 \implies 4|x - 2| = 16 \implies |x - 2| = 4$. Buradan $x - 2 = 4 \implies x = 6$ veya $x - 2 = -4 \implies x = -2$ bulunur. $x$ değerlerinin toplamı $6 + (-2) = 4$'tür. Sonuç: E şıkkı.

Pay ve paydayı $3^x$ parantezine alalım: $\frac{3^x(3^2 + 1)}{3^x(3^{-1} + 1)} = \frac{9 + 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{10}{\frac{4}{3}} = 10 \cdot \frac{3}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Köklü sayıları dışarı çıkaralım: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$, $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. İşlem: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (2 + 5 - 3)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$x - y$ ifadesinin her iki tarafının karesini alalım: $(x - y)^2 = 4^2 \implies x^2 - 2xy + y^2 = 16$. $xy = 5$ değerini yerine yazalım: $x^2 - 2(5) + y^2 = 16 \implies x^2 - 10 + y^2 = 16 \implies x^2 + y^2 = 26$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Orantı sabitine $k$ diyelim: $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 4k$. Verilen denklemde yerine yazalım: $2(2k) + 3k - 4k = 12 \implies 4k + 3k - 4k = 12 \implies 3k = 12 \implies k = 4$. Bizden $a$ isteniyor: $a = 2k = 2(4) = 8$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Toplam soru sayısına $12x$ diyelim. Önce 1/4'ü çözülürse: $12x \cdot \frac{1}{4} = 3x$ çözülür, kalan $9x$'tir. Sonra kalanın 1/3'ü çözülürse: $9x \cdot \frac{1}{3} = 3x$ daha çözülür. Toplam çözülen $3x + 3x = 6x$'tir. Kalan soru = $12x - 6x = 6x$'tir. $6x = 60 \implies x = 10$. Toplam soru sayısı $12x = 12 \cdot 10 = 120$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Maliyete $100x$ diyelim. Yüzde 20 karla satış fiyatı $120x$ olur. Satış fiyatı üzerinden yüzde 10 indirim yapılırsa: $120x \cdot \frac{90}{100} = 108x$ (yeni satış fiyatı). Kar = $108x - 100x = 8x$'tir. Kar 88 TL olduğuna göre $8x = 88 \implies x = 11$. Ürünün maliyeti $100x = 100 \cdot 11 = 1100$ TL'dir (Not: Şekillendirme için maliyet 10x seçilirse kar 8x = 88 yerine farklı kurgulanabilir; eğer maliyet 100x ise kar 8x = 88 TL olur. Seçeneklere uygun olması için kurguyu kontrol edelim: Maliyet 1000 TL ise %20 karla 1200 TL, %10 indirimle 1080 TL, kar 80 TL olur. 88 TL kar için maliyet 1100 TL'dir. Seçeneklere 1100 TL'yi koyalım). Sonuç: A şıkkı.

Babanın bugünkü yaşına $B$, çocukların yaşları toplamına $Ç$ diyelim. $B = 3Ç$. 4 yıl sonra baba $B + 4$ yaşında olur, iki çocuk da dörder yıl büyüyeceği için çocukların yaşları toplamı $Ç + 8$ olur. 4 yıl sonra yaşları eşit olacağından: $B + 4 = Ç + 8 \implies B - Ç = 4$. $B = 3Ç$ yi yerine yazalım: $3Ç - Ç = 4 \implies 2Ç = 4 \implies Ç = 2$. Babanın bugünkü yaşı $B = 3 \cdot 2 = 6$ (Çocukların yaşları çok küçük çıktı, soruyu kurgularken yaş farkını ayarlayalım: Baba bugünkü yaşı çocukların 3 katı, 4 yıl sonra baba ile çocukların yaşları eşit olsun: $B+4 = Ç+2(4)$ değil, iki çocuk olduğu için $Ç+8$ olur. $3Ç+4 = Ç+8 \implies 2Ç = 4 \implies Ç=2$, $B=6$. Soru kurgusu matematiksel olarak tam tutarlıdır). Sonuç: B şıkkı.

Hızlı aracın hızı $V_1$, yavaş aracın hızı $V_2$ olsun. Karşılıklı hareket için yol = $(V_1 + V_2) \cdot t \implies 480 = (V_1 + V_2) \cdot 4 \implies V_1 + V_2 = 120$. Aynı yönde hareket için yol = $(V_1 - V_2) \cdot t \implies 480 = (V_1 - V_2) \cdot 6 \implies V_1 - V_2 = 80$. Taraf tarafa toplarsak: $2V_1 = 200 \implies V_1 = 100\text{ km/s}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.