YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) Vektörler ve Bağıl Hareket #1

İki vektörün bileşkesinin alabileceği maksimum değer vektörlerin büyüklükleri toplamı ($6 + 8 = 14\text{ N}$), minimum değer ise büyüklükleri farkının mutlak değeridir ($|6 - 8| = 2\text{ N}$). Bileşke vektör bu iki değer arasında ($2\text{ N} \leq R \leq 14\text{ N}$) her değeri alabilir. Seçeneklerde bu aralıkta olmayan değer olamaz olamaz sorulduğu için 1 N bu aralıkta değildir. Sonuç: A şıkkı.

Büyüklükleri eşit ($F_1 = F_2 = F$) olan iki vektör arasındaki açı $\theta$ olduğunda bileşke $R = F \cdot \sqrt{2 + 2\cos(\theta)}$ veya aradaki açı $60^\circ$ olduğunda $R = F\sqrt{3}$ bağıntısıyla bulunur. Değerleri yerine koyarsak: $R = 10 \cdot \sqrt{3}\text{ N}$ elde edilir. Sonuç: B şıkkı.

Bağıl hız formülü $\vec{V}_{ba\u011f} = \vec{V}_{L} - \vec{V}_{K}$ şeklindedir. Doğu yönünü pozitif ($+$), batı yönünü negatif ($-$) seçelim. $\vec{V}_{K} = +20\text{ m/s}$, $\vec{V}_{ba\u011f} = -30\text{ m/s}$. $-30 = \vec{V}_{L} - (+20) \implies \vec{V}_{L} = -30 + 20 = -10\text{ m/s}$ bulunur. Negatif işaret batı yönünü gösterir; yani L aracı batı yönünde $10\text{ m/s}$ hızla hareket etmektedir. Sonuç: C şıkkı.

Yüzücünün suya göre hızı ile akıntı hızı birbirine diktir ($\vec{V}_y \perp \vec{V}_a$). Yere göre hız, bu iki vektörün bileşkesidir: $V_{yer} = \sqrt{V_y^2 + V_a^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\text{ m/s}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Kuvvetin yatay bileşeni $F_x = F \cdot \cos(\alpha)$ formülüyle bulunur. $F_x = 50 \cdot \cos(53^\circ) = 50 \cdot 0.6 = 30\text{ N}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Nehrin karşı kıyısına geçiş süresi, kıyıya dik olan hız bileşeni ile ilgilidir: $t = \frac{d}{V_y}$. Kıyıya dik hız suya göre hızın nehir genişliğine dik olan bileşenidir ($4\text{ m/s}$). $t = \frac{60}{4} = 15$ saniye bulunur. Sonuç: A şıkkı.

L aracındaki gözlemciye göre K aracının bağıl hızı $\vec{V}_{ba\u011f} = \vec{V}_K - \vec{V}_L$ vektörel çıkarma işlemi ile bulunur. Kuzey ($\vec{+y}$) ve Doğu ($\vec{+x}$) yönlerindedirler. $\vec{V}_K = 40\vec{j}$, $\vec{V}_L = 30\vec{i}$. $\vec{V}_{ba\u011f} = 40\vec{j} - 30\vec{i}$. Büyüklüğü: $V_{ba\u011f} = \sqrt{(-30)^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\text{ km/h}$. Yönü ise kuzey-batı yönündedir. Sonuç: B şıkkı.

Aralarındaki açı $120^\circ$ olan ve büyüklükleri eşit ($F$) olan iki vektörün bileşkesi, vektörlerden birinin büyüklüğüne tam olarak eşittir ($R = F$). Yani 1 katıdır. Sonuç: C şıkkı.

Karşı kıyıya varış süresi $t = \frac{d}{V_y} = \frac{40}{5} = 8$ saniyedir. Sürüklenme miktarı ($x$), akıntı hızı ile sürenin çarpımıdır: $x = V_a \cdot t = 4 \cdot 8 = 32$ metre sürüklenir. Sonuç: D şıkkı.

Skaler nicelikler sadece sayı ve birimle ifade edilirken, vektörel nicelikler yönü de olan büyüklüklerdir. Basınç, sıcaklık, kütle ve sürat skaler; ivme ise yönü olan vektörel bir büyüklüktür. Sonuç: E şıkkı.

Gözlemcinin hızı $\vec{V}_{göz} = 10\text{ m/s}$ (yatay). Yağmurun hızı $\vec{V}_{ya\u011f} = 10\text{ m/s}$ (düşey aşağı). Bağıl hız $\vec{V}_{ba\u011f} = \vec{V}_{ya\u011f} - \vec{V}_{göz}$'dür. Büyüklüğü $\sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\text{ m/s}$ olur ve yatayla $45^\circ$ lik açı yapacak şekilde düşeyle çapraz (arkaya doğru) yağıyor gibi görünür. Sonuç: A şıkkı.

İki vektörün farkının büyüklüğü, vektörler dik ($90^\circ$) olduğunda pisagor teoremine göre bileşke ile aynı büyüklüktedir: $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\text{ N}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Motorun tam karşı noktaya çıkabilmesi için suya göre hızının nehire paralel olan bileşeni akıntı hızını sıfırlamalıdır, yani nehre dik bileşen üzerinden süre hesaplanır. $V_y = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\text{ m/s}$'dir. Süre $t = \frac{d}{V_y} = \frac{40}{4} = 10$ saniye bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bağıl hız formülü $\vec{V}_{ba\u011f} = \vec{V}_{ara\u00e7} - \vec{V}_{tren}$ şeklindedir. $\vec{V}_{ara\u00e7} = \vec{V}_{ba\u011f} + \vec{V}_{tren}$. $\vec{V}_{ba\u011f} = 30\vec{j}$ (kuzey), $\vec{V}_{tren} = 40\vec{i}$ (doğu). Büyüklükleri birbirine dik olduğundan: $V_{ara\u00e7} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\text{ km/h}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Üç vektörün toplamı sıfır ise bu vektörler uç uca eklendiğinde başlangıç noktasına geri dönülür, yani bu vektörler kapalı bir üçgen oluştururlar. Sonuç: E şıkkı.

Karşı kıyıya varış süresi ($t = d / V_y$) akıntı hızına bağlı değildir, bu nedenle süre değişmez. Sürüklenme miktarı ise akıntı hızı ile doğru orantılı olduğundan artar. Sonuç: A şıkkı.

Maksimum bileşke $R_1 = 5 + 8 = 13$ birimdir. Minimum bileşke $R_2 = |5 - 8| = 3$ birimdir. Toplamları $13 + 3 = 16$ birim bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Yere göre hız, yolcunun hızı ile trenin hızının vektörel toplamıdır: $\vec{V}_{yer} = \vec{V}_{tren} + \vec{V}_{yolcu/tren} = 10\text{ (doğu)} + (-4)\text{ (batı)} = 6\text{ m/s}$ doğu yönünde bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Vektörün büyüklüğü bileşenlerinin kareleri toplamının kareköküne eşittir: $F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2 + F_z^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13$ birim bulunur. Sonuç: D şıkkı.

K sürücüsüne göre L aracının bağıl hızı $\vec{V}_{ba\u011f} = \vec{V}_L - \vec{V}_K$ formülüyle bulunur. Güney yönünü negatif, kuzeyi pozitif alırsak: $\vec{V}_L = -40$, $\vec{V}_K = +60$. $\vec{V}_{ba\u011f} = -40 - (+60) = -100\text{ km/h}$. Negatif işaret güney yönünü gösterir; yani güneye doğru $100\text{ km/h}$ olarak görülür. Sonuç: E şıkkı.