ALES ALES Sayısal Çember ve Dairede Alan Testi #2

1. Dairenin çevre formülü $C = 2\pi r$'dir. 2. $2\pi r = 36\pi \implies 2r = 36 \implies r = 18\text{ cm}$ (dairenin yarıçapı) bulunur. 3. Dairenin alan formülü $A = \pi r^2$'dir. 4. $A = \pi \cdot 18^2 = 324\pi\text{ cm}^2$ olarak hesaplanır. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Daire diliminin alanı $A = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$ formülüyle hesaplanır. 2. Yarıçap $r = 12\text{ cm}$ ve merkez açı $\alpha = 75^\circ$'dir. 3. $A = \frac{\pi \cdot 12^2 \cdot 75}{360} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 75}{360}$. 4. Sadeleştirmeleri yapalım: $\frac{144}{360} = \frac{2}{5}$. 5. $A = \pi \cdot \frac{2}{5} \cdot 75 = \pi \cdot 2 \cdot 15 = 30\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Yayın uzunluğu $L = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}$ formülüyle bulunur. 2. $r = 10\text{ cm}$ ve $L = 4\pi\text{ cm}$ değerlerini yerine yazalım: $4\pi = \frac{2\pi \cdot 10 \cdot \alpha}{360} \implies 4\pi = \frac{20\pi \cdot \alpha}{360} \implies 4 = \frac{\alpha}{18}$. 3. $\alpha = 4 \cdot 18 = 72^\circ$ olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Daire halkasının alanı $A = \pi (R^2 - r^2)$ formülü ile hesaplanır. 2. Dış yarıçap $R = 10\text{ cm}$ ve iç yarıçap $r = 6\text{ cm}$'dir. 3. $A = \pi (10^2 - 6^2) = \pi (100 - 36) = 64\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Dilim alanı $A = \frac{\pi r^2 \cdot \alpha}{360^\circ}$ bağıntısıyla bulunur. 2. $r = 6\text{ cm}$ ve $\alpha = 60^\circ$ değerlerini yerine koyalım: $A = \frac{\pi \cdot 6^2 \cdot 60}{360} = \frac{36\pi}{6} = 6\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Dairenin çevre formülü $C = 2\pi r$, alan formülü $A = \pi r^2$'dir. 2. Sayısal değerleri birbirine eşitleyelim: $2\pi r = \pi r^2$. 3. Her iki tarafı $\pi r$ ($r \neq 0$) ile sadeleştirelim: $2 = r$. 4. Yarıçap $r = 2$ birim olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Yay uzunluğu formülü: $L = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ}$. 2. Büyük çember yayı: $L_1 = \frac{2\pi \cdot 10 \cdot 45}{360} = \frac{20\pi}{8} = 2{,}5\pi\text{ cm}$. 3. Küçük çember yayı: $L_2 = \frac{2\pi \cdot 4 \cdot 45}{360} = \frac{8\pi}{8} = 1\pi\text{ cm}$. 4. Toplam yay uzunluğu: $2{,}5\pi + 1\pi = 3{,}5\pi = \frac{7}{2}\pi\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Tekerleğin bir turda aldığı yol, çevresine eşittir: $C = 2\pi r$. 2. $r = 30\text{ cm}$ ve $\pi = 3$ verildiğinden bir turdaki yol: C = 2 \cdot 3 \cdot 30 = 180\text{ cm'dir. 3. Tekerlek $10$ tam tur attığına göre toplam yol: $10 \cdot 180 = 1800\text{ cm}$'dir. 4. Metre cinsinden: $\frac{1800}{100} = 18\text{ metre}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. $90^\circ$lik merkez açıyı gören üçgen, dik kenarları dairenin yarıçapına eşit olan bir ikizkenar dik üçgendir ($r = 8\text{ cm}$).- 2. Üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır: $\text{Alan} = \frac{r \cdot r}{2} = \frac{8 \cdot 8}{2} = \frac{64}{2} = 32\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Küçük çembere teğet olan kirişin teğet noktasına yarıçap dik iner ($r$). Merkezden kirişe indirilen dikme kirişi iki eşit parçaya böler ($8\text{ cm}$ ve $8\text{ cm}$).- 2. Büyük çemberin yarıçapı $R$ merkezden kirişin ucuna çizildiğinde bir dik üçgen oluşur: $r^2 + 8^2 = R^2$. 3. Buradan $R^2 - r^2 = 8^2 = 64$ bulunur. 4. Daire halkasının alanı: $A = \pi (R^2 - r^2) = 64\pi\text{ cm}^2$ olarak elde edilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. İlk çemberin yarıçapı $r$ iken çevresi $C_1 = 2\pi r$'dir. 2. Yarıçap $7\text{ cm}$ artırıldığında yeni yarıçap $r + 7$ olur ve yeni çevre $C_2 = 2\pi (r + 7) = 2\pi r + 14\pi$ olur. 3. Çevredeki artış miktarı: $C_2 - C_1 = 2\pi r + 14\pi - 2\pi r = 14\pi\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Benzer geometrik şekillerde alanlar oranı, benzerlik oranının (yarıçaplar oranının) karesine eşittir. 2. $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{4}{9}$. 3. Karekök alındığında yarıçaplar oranı: $\frac{r_1}{r_2} = \frac{2}{3}$ olur. 4. Küçük dairenin yarıçapı $r_1 = 6\text{ cm}$ olduğundan: $\frac{6}{r_2} = \frac{2}{3}$. 5. İçler dışlar çarpımı ile: $2 \cdot r_2 = 18 \implies r_2 = 9\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Daire diliminin çevresi, iki yarıçap ile dilim yayının uzunluğunun toplamıdır: $Ç = 2r + L$. 2. Yay uzunluğu: $L = \frac{2\pi r \cdot \alpha}{360^\circ} = \frac{2\pi \cdot 10 \cdot 72}{360} = \frac{20\pi}{5} = 4\pi\text{ cm}$. 3. Çevre = $2 \cdot 10 + 4\pi = 20 + 4\pi\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Yay uzunluğunun tüm çevreye oranı, yayın gördüğü merkez açının $360^\circ$'ye oranına eşittir: $\frac{L}{C} = \frac{\alpha}{360^\circ} \implies \frac{10\pi}{50\pi} = \frac{\alpha}{360} \implies \frac{1}{5} = \frac{\alpha}{360}$. 2. Merkez açı $\alpha = \frac{360}{5} = 72^\circ$ bulunur. 3. Çevre açı, gördüğü merkez açının yarısıdır: $\frac{72^\circ}{2} = 36^\circ$. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Başlangıçtaki yarıçapa $r = 2$ diyelim. Başlangıç alanı: $A_1 = \pi r^2 = \pi (2^2) = 4\pi$ olur. 2. Yarıçap %50 artırılırsa yeni yarıçap: $r' = 2 + (2 \cdot 0{,}50) = 3$ olur. 3. Yeni dairenin alanı: $A_2 = \pi (3^2) = 9\pi$ olur. 4. Alandaki artış miktarı: $9\pi - 4\pi = 5\pi$'dir. 5. Yüzde artış: $\frac{5\pi}{4\pi} \times 100 = 1{,}25 \times 100 = \%125$ olarak bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Dilim alanının tüm daire alanına oranı, merkez açının $360^\circ$'ye oranına eşittir: $\frac{A_{\text{dilim}}}{A_{\text{daire}}} = \frac{\alpha}{360^\circ} \implies \frac{18\pi}{81\pi} = \frac{\alpha}{360}$. 2. Kesri sadeleştirelim: $\frac{18}{81} = \frac{2}{9}$. 3. $\frac{2}{9} = \frac{\alpha}{360} \implies 9\alpha = 720 \implies \alpha = 80^\circ$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Tekerleğin çevresi $C = 2\pi r = 2 \cdot 3{,}14 \cdot 25 = 50 \cdot 3{,}14 = 157\text{ cm}$'dir. 2. Toplam yol $314\text{ metre}$'dir. Santimetreye çevirelim: $314 \cdot 100 = 31400\text{ cm}$. 3. Tur sayısı: $\text{Tur} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Çevre}} = \frac{31400}{157} = 200\text{ tur}$ olarak bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Çevreler toplamı: $C_1 + C_2 + C_3 = 2\pi r_1 + 2\pi r_2 + 2\pi r_3 = 2\pi (r_1 + r_2 + r_3)$. 2. Değerleri yerine yazalım: $2\pi (3 + 4 + 5) = 2\pi (12) = 24\pi\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Çeyrek daire, $90^\circ$lik bir daire dilimidir ve tam dairenin alanının dörtte birine eşittir. 2. Dairenin alanı $A = \pi r^2 = \pi (12^2) = 144\pi\text{ cm}^2$'dir. 3. Çeyrek dairenin alanı: $\frac{144\pi}{4} = 36\pi\text{ cm}^2$ olarak bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Çemberlerin alanları oranı, yarıçapların oranının karesine eşittir: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = \frac{9}{16}$. 2. Buradan yarıçaplar oranı: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$ olur. 3. Çevreler oranı yarıçaplar oranına eşit olduğundan: $\frac{C_1}{C_2} = \frac{2\pi r_1}{2\pi r_2} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{4}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.