ALES ALES Sayısal Katı Cisimler ve Analitik Geometri Testi #2

1. İki nokta arasındaki uzaklık formülü: $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$'dir. 2. Değerleri yerine yazalım: $\sqrt{(6 - 2)^2 + (k - (-3))^2} = 5$. 3. $\sqrt{4^2 + (k + 3)^2} = 5 \implies \sqrt{16 + (k + 3)^2} = 5$. 4. Her iki tarafın karesini alalım: $16 + (k + 3)^2 = 25 \implies (k + 3)^2 = 9$. 5. Buradan $k + 3 = 3$ veya $k + 3 = -3$ olur. 6. $k = 0$ veya $k = -6$ bulunur. Pozitif değer sorulduğu için $k = 0$ pozitif değildir, ancak soru pozitif değer istediğinden tekrar kontrol edelim: $k+3=3 \implies k=0$. Pozitif değer yoksa seçenekleri veya k değerini düzenleyelim: Düzeltme: $A(1, 2)$ ve $B(4, k)$ uzaklık $5$ olsun. $\sqrt{(4-1)^2 + (k-2)^2} = 5 \implies \sqrt{9 + (k-2)^2} = 5 \implies 9 + (k-2)^2 = 25 \implies (k-2)^2 = 16$. $k-2 = 4 \implies k = 6$ veya $k-2 = -4 \implies k = -2$. Pozitif değer $k = 6$ olur. Soru metnini güncelleyelim: $A(1, 2)$ ve $B(4, k)$ noktaları arasındaki uzaklık $5\text{ birim}$ olduğuna göre, $k$'nin alabileceği pozitif değer kaçtır? $k = 6$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Noktanın koordinatları $(x, y)$ olsun. Şart gereği $x = 2y$'dir. 2. Bu noktayı doğru denkleminde yerine yazalım: $3(2y) - 4y + 12 = 0$. 3. $6y - 4y + 12 = 0 \implies 2y + 12 = 0 \implies 2y = -12 \implies y = -6$ bulunur. 4. Ordinat $y$'dir, dolayısıyla ordinat $-6$'dır. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Nokta-eğim doğru denklemi: $y - y_1 = m(x - x_1)$. 2. Değerleri yerine yazalım: $y - 3 = 2(x - (-1)) \implies y - 3 = 2(x + 1)$. 3. Denklemi düzenleyelim: $y - 3 = 2x + 2 \implies 2x - y + 5 = 0$. 4. Doğrunun $x$ eksenini kestiği noktada $y = 0$ olur: $2x - 0 + 5 = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -2{,}5$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Noktanın doğruya uzaklık formülü: $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$'dir. 2. Verilenler: $A = 5$, $B = -12$, $C = 10$, $x_1 = 1$, $y_1 = 2$. 3. Pay kısmını hesaplayalım: $|5(1) - 12(2) + 10| = |5 - 24 + 10| = |-9| = 9$. 4. Payda kısmını hesaplayalım: $\sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. 5. Uzaklık $d = \frac{9}{13}$ birim olarak bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Taban uzunluğu $x$ ekseni üzerinde olan $AB$ kenarıdır ve uzunluğu $|AB| = 4 - 0 = 4$ birimdir. 2. Bu tabana ait yükseklik, $C$ noktasının ordinatına eşittir: $h = 6$ birim. 3. Üçgenin alanı: $\text{Alan} = \frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2} = \frac{4 \cdot 6}{2} = 12$ birimkare bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. İki doğru birbirine dik ise eğimlerinin çarpımı $-1$'dir ($m_1 \cdot m_2 = -1$). 2. Birinci doğrunun eğimi: $m_1 = -\frac{A_1}{B_1} = -\frac{2}{a - 1}$. 3. İkinci doğrunun eğimi: $m_2 = -\frac{A_2}{B_2} = -\frac{4}{3}$. 4. Eğitler çarpımı: $\left(-\frac{2}{a - 1}\right) \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = -1 \implies \frac{8}{3(a - 1)} = -1$. 5. $8 = -3(a - 1) \implies 8 = -3a + 3 \implies 3a = -5 \implies a = -\frac{5}{3}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Orta nokta $C(x_0, y_0)$ koordinatları: $x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2}$ ve $y_0 = \frac{y_1 + y_2}{2}$. 2. $x_0 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$, $y_0 = \frac{5 + (-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. 3. Orta nokta $C(1, 2)$'dir. 4. Orijine $(0, 0)$ olan uzaklık: $\sqrt{(1 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ birim bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Çember orijinden geçtiğine göre çember üzerindeki $(0, 0)$ noktası denklemi sağlar, yani yarıçap $r$, merkez ile orijin arasındaki uzaklıktır. 2. $r = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ birimdir. 3. Çemberin standart denklemi: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklindedir. 4. Merkez $(3, -4)$ ve $r = 5$ için: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 5^2 \implies (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Küpün toplam yüzey alanı $A = 6a^2$ formülü ile hesaplanır. 2. $6a^2 = 216 \implies a^2 = 36 \implies a = 6\text{ cm}$ (küpün bir ayrıtı). 3. Küpün hacmi $V = a^3$ formülü ile bulunur. 4. $V = 6^3 = 216\text{ cm}^3$ olarak elde edilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni $k = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ bağıntısı ile hesaplanır. 2. Değerleri yerine yazalım: $k = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Dik dairesel silindirin yanal alanı $Y = 2\pi rh$ formülü ile hesaplanır. 2. $r = 5\text{ cm}$ ve $h = 10\text{ cm}$ değerlerini yazalım: $Y = 2 \cdot \pi \cdot 5 \cdot 10 = 100\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Koninin ana doğru uzunluğu $l$, taban yarıçapı $r$ ve yükseklik $h$ arasında $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ bağıntısı vardır. 2. $r = 6$ ve $h = 8$ için $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. 3. Tüm yüzey alanı $A = \pi r^2 + \pi r l$ formülüyle bulunur. 4. Taban alanı: $\pi \cdot 6^2 = 36\pi$. Yanal alan: $\pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$. 5. Toplam alan: $36\pi + 60\pi = 96\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Kürenin hacmi $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ formülü ile hesaplanır. 2. $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{500\pi}{3} \implies 4r^3 = 500 \implies r^3 = 125 \implies r = 5\text{ cm}$. 3. Kürenğin yüzey alanı $A = 4\pi r^2$ formülü ile bulunur. 4. $A = 4 \cdot \pi \cdot 5^2 = 4 \cdot \pi \cdot 25 = 100\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Kare piramidin taban alanı $A_t = 8^2 = 64\text{ cm}^2$'dir. 2. Piramidin hacmi $V = \frac{1}{3} \cdot A_t \cdot h$ formülü ile hesaplanır. 3. $V = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3 = 64\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Kısa kenar ($3\text{ cm}$) etrafında döndürüldüğünde, bu kenar silindirin yüksekliği olur ($h = 3\text{ cm}$). Uzun kenar ($5\text{ cm}$) ise yarıçap olur ($r = 5\text{ cm}$). 2. Silindirin hacmi $V = \pi r^2 h$ formülüyle hesaplanır. 3. $V = \pi \cdot 5^2 \cdot 3 = \pi \cdot 25 \cdot 3 = 75\pi\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Silindirin yüksekliği $12\text{ cm}$'dir. 2. Suyun yarısı boşaltıldığında, kaptaki su yüksekliği de başlangıçtaki yüksekliğin yarısı olur. 3. $h_{\text{kalan}} = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}$ olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. $A(-3, 4)$ noktasının $x$ eksenine göre simetriği $B(-3, -4)$'tür (ordinat işaret değiştirir). 2. $A(-3, 4)$ noktasının $y$ eksenine göre simetriği $C(3, 4)$'tür (apsis işaret değiştirir). 3. $B(-3, -4)$ ve $C(3, 4)$ arasındaki uzaklık formülü: $\sqrt{(3 - (-3))^2 + (4 - (-4))^2}$. 4. $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ birim bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Benzer cisimlerde hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$. 2. Benzerlik oranı $k = \frac{1}{3}$ olduğuna göre $k^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$. 3. $\frac{8}{V_2} = \frac{1}{27} \implies V_2 = 8 \cdot 27 = 216\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Doğrunun $x$ eksenini kestiği noktayı bulmak için $y = 0$ yazılır: $2x + 12 = 0 \implies x = -6$ (Apsis: $-6$, uzaklık $6$ birim). 2. Doğrunun $y$ eksenini kestiği noktayı bulmak için $x = 0$ yazılır: $-3y + 12 = 0 \implies y = 4$ (Ordinat: $4$, uzaklık $4$ birim). 3. Eksenlerle oluşan üçgenin dik kenarları $6$ ve $4$ birimdir. 4. Alan = $\frac{6 \cdot 4}{2} = 12$ birimkare bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Tabanı kare olan prizmada taban kenarları $3\text{ cm}$ ve yükseklik $h = 12\text{ cm}$'dir. 2. Karınca iki yan yüzey üzerinden çapraz ilerlediğinde, açınım yapıldığında taban çevrelerinin birleşimi yatay kenar olur: $3 + 3 = 6\text{ cm}$. 3. Yükseklik dikey kenar olur: $12\text{ cm}$. 4. Pisagor teoreminden en kısa yol: $\sqrt{6^2 + 12^2} = \sqrt{36 + 144} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.