ALES ALES Sayısal Çokgenler ve Özel Dörtgenler Testi #2

1. Düzgün çokgenin kenar sayısı $n$ olsun. Dış açılar toplamı $360^\circ$ olduğundan bir dış açısı $\frac{360^\circ}{n} = 30^\circ$ formülüyle bulunur. 2. Buradan $n = \frac{360}{30} = 12$ kenarlı bir çokgen olduğu elde edilir. 3. $n$ kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $(n - 2) \cdot 180^\circ$ formülü ile hesaplanır. 4. $n = 12$ için: $(12 - 2) \cdot 180^\circ = 10 \cdot 180^\circ = 1800^\circ$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. $n$ kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı $(n - 3)$ bağıntısı ile hesaplanır. 2. $(n - 3) = 9 \implies n = 12$ kenarlı bir çokgendir. 3. Düzgün çokgenin bir dış açısı $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$'dir. 4. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı $180^\circ$ olduğundan, iç açı $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$ olarak bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Düzgün beşgenin bir iç açısı $\frac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$'dir. 2. $ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB| = |BC|$ olduğundan $m(\widehat{BAC}) = m(\widehat{BCA}) = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$'dir. 3. Benzer şekilde $ABE$ ikizkenar üçgeninde $m(\widehat{ABE}) = 36^\circ$'dir. 4. $ABK$ üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$ olduğundan $m(\widehat{AKB}) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Düzgün altıgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren en kısa köşegen, altıgeni iki eşit parçaya bölen ve iki kenar arasında kalan özel köşegendir. 2. Bu köşegen, altıgenin merkezinden geçen ve kenar uzunluğunun $\sqrt{3}$ katı olan uzunluktur: $k = a\sqrt{3}$. 3. Kenar uzunluğu $a = 6\text{ cm}$ olduğundan, en kısa köşegen uzunluğu $6\sqrt{3}\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Dörtgende iç açıortayların oluşturduğu açılardan biri dik kesişiyorsa, bu iki açının toplamının yarısı $90^\circ$'dir, yani $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ$. 2. Dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$ olduğundan: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 360^\circ \implies 180^\circ + 70^\circ + 110^\circ = 360^\circ$ olup veriler tutarlıdır. 3. $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ$ bağıntısı dışında ek bir oran verilmesi gerekebilir; ancak soru kökünde eksiklik olmaması için $m(\widehat{A}) - m(\widehat{B})$ için ek bilgi verilmediğinden bu soru tipini netleştirelim: Düzeltme: Bir konveks dörtgende $m(\widehat{C}) + m(\widehat{D}) = 140^\circ$ ise $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 220^\circ$ olur. Açıortaylar arasındaki dar açı $\frac{|m(\widehat{A}) - m(\widehat{B})|}{2}$ formülüyle bulunur. Açıortaylar dik kesiştiğine göre bu açı $90^\circ$'dir, yani $\frac{|m(\widehat{A}) - m(\widehat{B})|}{2} = 90^\circ$ olamaz çünkü toplamları 220 iken fark 180 olamaz. Yeniden Düzenleme: Dörtgende komşu iki iç açıortay arasındaki dar açı $\frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}$ veya benzeri kurallarla bulunur. Soruyu netleştirelim: "Konveks bir $ABCD$ dörtgeninde $m(\widehat{C}) = 70^\circ$ ve $m(\widehat{D}) = 110^\circ$'dir. $A$ ve $B$ köşelerine ait iç açıortayların oluşturduğu dar açının ölçüsü kaç derecedir?" Çözüm: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 360^\circ - (70^\circ + 110^\circ) = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$. Açıortayların oluşturduğu dar açı: $90^\circ$ veya $\frac{m(\widehat{C}) + m(\widehat{D})}{2}$ kuralı ile: $\frac{70^\circ + 110^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Yamukta tabanlar paralel olduğundan, aynı yan kenar üzerindeki iç açılar birbirini bütünler ($180^\circ$'ye tamamlarlar). 2. $m(\widehat{A}) + m(\widehat{D}) = 180^\circ$. 3. Verilenleri yerine yazalım: $(3x - 20^\circ) + (2x + 10^\circ) = 180^\circ$. 4. $5x - 10^\circ = 180^\circ \implies 5x = 190^\circ \implies x = 38^\circ$ bulunur. 5. $m(\widehat{A}) = 3(38^\circ) - 20^\circ = 114^\circ - 20^\circ = 94^\circ$ olarak hesaplanır. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Yamuğun alanı $\text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h$ formülüyle hesaplanır. 2. Alt taban $a = 16\text{ cm}$, üst taban $c = 10\text{ cm}$ ve $\text{Alan} = 130\text{ cm}^2$'dir. 3. $\frac{16 + 10}{2} \cdot h = 130 \implies \frac{26}{2} \cdot h = 130 \implies 13h = 130 \implies h = 10\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. İkizkenar yamukta köşegenler dik kesişiyorsa, yükseklik orta tabana eşittir: $h = \frac{a + c}{2} = 8\text{ cm}$. 2. Yamuğun alanı $\text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h$ formülü ile bulunur. 3. Alan = $8 \cdot 8 = 64\text{ cm}^2$ olarak hesaplanır. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Paralelkenarda komşu iki açının toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ$. 2. $m(\widehat{B}) = 3m(\widehat{A})$ olduğundan yerine yazalım: $m(\widehat{A}) + 3m(\widehat{A}) = 180^\circ \implies 4m(\widehat{A}) = 180^\circ$. 3. $m(\widehat{A}) = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Paralelkenarın çevre formülü: $2(a + b) = 56 \implies a + b = 28\text{ cm}$. 2. Uzun kenar kısa kenardan $4\text{ cm}$ fazla olduğundan $a - b = 4\text{ cm}$. 3. Taraf tarafa çözersek: $2a = 32 \implies a = 16\text{ cm}$ (uzun kenar) ve $b = 12\text{ cm}$ (kısa kenar) bulunur. 4. Kısa kenar taban alındığında yükseklik $10\text{ cm}$'dir. Alan = $\text{taban} \cdot \text{yükseklik} = 12 \cdot 10 = 120\text{ cm}^2$ elde edilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar. Kenar $a = 10\text{ cm}$'dir. 2. Köşegenlerden biri $e = 16\text{ cm}$ ise yarısı $\frac{e}{2} = 8\text{ cm}$'dir. 3. Dik üçgende Pisagor teoreminden diğer köşegenin yarısı: $8^2 + x^2 = 10^2 \implies 64 + x^2 = 100 \implies x^2 = 36 \implies x = 6\text{ cm}$ bulunur. 4. Diğer köşegen $f = 2 \cdot 6 = 12\text{ cm}$ olur. 5. Alan = $\frac{e \cdot f}{2} = \frac{16 \cdot 12}{2} = 16 \cdot 6 = 96\text{ cm}^2$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Dikdörtgenin kenarları $a$ ve $b$ olsun. Çevre $2(a + b) = 42 \implies a + b = 21\text{ cm}$'dir. 2. Köşegen uzunluğu $k = \sqrt{a^2 + b^2} = 15 \implies a^2 + b^2 = 225$'tir. 3. $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 21^2 = 225 + 2ab \implies 441 = 225 + 2ab$. 4. $2ab = 216 \implies ab = 108\text{ cm}^2$ (dikdörtgenin alanı). Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Dikdörtgenin köşegenlerinin kesim noktası dikdörtgenin merkezidir. 2. Merkezden karşılıklı kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları kenarların yarılarına eşittir. 3. Kısa kenarlara uzaklıklar toplamı: $\frac{9}{2} + \frac{9}{2} = 9\text{ cm}$. 4. Uzun kenarlara uzaklıklar toplamı: $\frac{12}{2} + \frac{12}{2} = 12\text{ cm}$. 5. Toplam uzaklık: $9 + 12 = 21\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Karelerin kenarları $a$ ve $b$ ($a > b$) olsun. 2. Çevreleri farkı: $4a - 4b = 16 \implies a - b = 4 \implies a = b + 4$. 3. Alanları toplamı: $a^2 + b^2 = 200$. 4. $a$ yerine $b+4$ yazalım: $(b + 4)^2 + b^2 = 200 \implies b^2 + 8b + 16 + b^2 = 200$. 5. $2b^2 + 8b - 184 = 0 \implies b^2 + 4b - 92 = 0$ (Kökler tam sayı çıkmıyor, değerleri kontrol edelim). Düzeltme: Çevreler farkı 16 ise kenarlar farkı 4'tür. 10 ve 6 seçsek; alanlar $100 + 36 = 136$ olur. 12 ve 8 seçsek; alanlar $144 + 64 = 208$ olur. 10 ve 6 değil, başka tam sayı deneyelim: Eğer $a = 12, b = 8$ ise $a-b=4$ (çevreler farkı $48-32=16$). Alanlar toplamı $144 + 64 = 208 \approx 200$. Daha temiz değerler için soruyu güncelleyelim: Alanları toplamı $130\text{ cm}^2$, çevreler farkı $8\text{ cm}$ olan... $a - b = 2$. $a=9, b=7 \implies 81+49=130$. Soruyu güncelleyelim: "Alanları toplamı $130\text{ cm}^2$ olan iki karenin çevreleri farkı $8\text{ cm}$ olduğuna göre, büyük karenin bir kenar uzunluğu kaç $\text{cm}$'dir?" Çözüm: $a - b = 2 \implies a = b + 2$. $(b+2)^2 + b^2 = 130 \implies 2b^2 + 4b + 4 = 130 \implies 2b^2 + 4b - 126 = 0 \implies b^2 + 2b - 63 = 0$. $(b + 9)(b - 7) = 0 \implies b = 7$. Büyük kare $a = b + 2 = 9\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Karenin köşegeni $k = a\sqrt{2}$ formülü ile verilir. 2. $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies a = 6\text{ cm}$ (karenin bir kenarı). 3. Karenin alanı $A = a^2 = 6^2 = 36\text{ cm}^2$ olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Deltoidin köşegenleri dik kesişir ve simetri ekseni olan köşegen diğerini ortalar. 2. Köşegenler $e = 10$ ve $f = 24$ ise yarıları $5$ ve $12$'dir. 3. Deltoidin kenarları $5-12-13$ özel dik üçgeninden oluşur. Kısa kenar $13\text{ cm}$, uzun kenar ise diğer yarılar ile hesaplanır (örneğin $5$ ve $?$ ile). 4. Çevre $52\text{ cm}$ olduğundan iki eş kısa ve iki eş uzun kenarın toplamı 52'dir. Kısa kenarlar $13+13=26$ ise uzun kenarların toplamı $52-26=26$ olup her biri $13\text{ cm}$'dir (eşkenar dörtgen özelliği de taşıyan özel bir deltoid veya klasik deltoid). 5. Kısa kenar uzunluğu $13\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Köşegenleri dik kesişen dörtgenlerde ve deltoidde alan $\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2}$ formülü ile hesaplanır. 2. $120 = \frac{15 \cdot f}{2} \implies 240 = 15f \implies f = \frac{240}{15} = 16\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel olarak çizilen ve yan kenarlar arasında kalan parça uzunluğu (orta parça) $x = \frac{2 \cdot a \cdot c}{a + c}$ formülü ile hesaplanır. 2. Değerleri yerine yazalım: $x = \frac{2 \cdot 18 \cdot 6}{18 + 6} = \frac{216}{24} = 9\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Paralelkenarda açıortay çizildiğinde ikizkenar üçgen oluşur. $AEB$ açısı ile $DAE$ açısı iç ters açılar olduğundan $AEB$ ikizkenar üçgendir ($|AB| = |BE| = 5\text{ cm}$).- 2. Paralelkenarın kısa kenarı $|AB| = 5\text{ cm}$'dir. 3. Uzun kenar $|BC| = |BE| + |EC| = 5 + 4 = 9\text{ cm}$'dir. 4. Çevre = $2(5 + 9) = 2 \cdot 14 = 28\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı daima $360^\circ$'dir. 2. İç açılarının ölçüleri toplamı $360^\circ$'nin 4 katı olduğundan: $4 \cdot 360^\circ = 1440^\circ$'dir. 3. İç açılar formülü: $(n - 2) \cdot 180^\circ = 1440^\circ$. 4. Her iki tarafı $180^\circ$'ye bölelim: $n - 2 = \frac{1440}{180} = 8$. 5. $n = 8 + 2 = 10$ kenarlı bir çokgendir. Doğru cevap C seçeneğidir.