ALES ALES Sayısal Fonksiyonlar & Polinomlar Testi #4

1. Adım: $f(7)$ değerini bulalım: $2x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ $f(7) = 3(3) - 4 = 9 - 4 = 5$ 2. Adım: $f^{-1}(5)$ değerini bulalım: $f(2x + 1) = 5 \implies 3x - 4 = 5 \implies 3x = 9 \implies x = 3$ Buradan $f(2 \cdot 3 + 1) = 5 \implies f(7) = 5 \implies f^{-1}(5) = 7$ 3. Adım: İstenen toplamı hesaplayalım: $f(7) + f^{-1}(5) = 5 + 7 = 12$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Bileşke fonksiyonu yazalım: $(f \circ g)(k) = f(g(k))$ $g(k) = k^{2} + 1$ $f(g(k)) = 2(k^{2} + 1) - 3 = 2k^{2} + 2 - 3 = 2k^{2} - 1$ 2. Adım: Değeri 17'ye eşitleyelim: $2k^{2} - 1 = 17 \implies 2k^{2} = 18 \implies k^{2} = 9$ 3. Adım: $k$ pozitif olduğundan: $k = 3$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Doğrusal fonksiyon $f(x) = ax + b$ formundadır. 2. Adım: Verilenleri yerine yazalım: $f(1) = a + b = 5$ $f(3) = 3a + b = 11$ 3. Adım: Denklemleri birbirinden çıkaralım: $(3a + b) - (a + b) = 11 - 5 \implies 2a = 6 \implies a = 3$ $3 + b = 5 \implies b = 2$ Fonksiyon: $f(x) = 3x + 2$ olur. 4. Adım: $f(5)$ değerini hesaplayalım: $f(5) = 3(5) + 2 = 15 + 2 = 17$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $f^{-1}(2) = k$ olsun. Buradan $f(k) = 2$ olur. 2. Adım: Fonksiyon ifadesini 2'ye eşitleyelim: $\frac{3k + 4}{2k - 5} = 2$ 3. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: $3k + 4 = 2(2k - 5)$ $3k + 4 = 4k - 10$ $4k - 3k = 4 + 10 \implies k = 14$ Sonuç olarak $f^{-1}(2) = 14$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: Eşitliği $x = 1, 2, 3, 4$ için yazalım: $x = 1 \implies f(2) = f(1) + 2(1)$ $x = 2 \implies f(3) = f(2) + 2(2)$ $x = 3 \implies f(4) = f(3) + 2(3)$ $x = 4 \implies f(5) = f(4) + 2(4)$ 2. Adım: Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayalım: $f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + 2(1 + 2 + 3 + 4)$ 3. Adım: Ortak terimleri sadeleştirelim: $f(5) = f(1) + 2(10)$ $f(5) = 4 + 20 = 24$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $f(x) = y$ diyerek $x$'i $y$ cinsinden çekelim: $y = \frac{2x - 1}{x + 3} \implies y(x + 3) = 2x - 1 \implies xy + 3y = 2x - 1$ $3y + 1 = 2x - xy = x(2 - y) \implies x = \frac{3y + 1}{2 - y} = \frac{3f(x) + 1}{2 - f(x)}$ 2. Adım: $f(x + 1)$ ifadesini hesaplayalım: $f(x + 1) = \frac{2(x + 1) - 1}{(x + 1) + 3} = \frac{2x + 1}{x + 4}$ 3. Adım: $x = \frac{3y + 1}{2 - y}$ ifadesini $f(x + 1)$'de yerine yazalım: Pay: $2\left(\frac{3y + 1}{2 - y}\right) + 1 = \frac{6y + 2 + 2 - y}{2 - y} = \frac{5y + 4}{2 - y}$ Payda: $\frac{3y + 1}{2 - y} + 4 = \frac{3y + 1 + 8 - 4y}{2 - y} = \frac{-y + 9}{2 - y}$ 4. Adım: Oranlayalım: $\frac{5y + 4}{9 - y} = \frac{5f(x) + 4}{9 - f(x)}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Bileşke fonksiyon tanımını yazalım: $(f \circ f)(1) = f(f(1))$ 2. Adım: $f(1)$ değerini bulalım: $1 < 2$ olduğundan parçalı fonksiyonun ilk satırı kullanılır: $f(1) = 2(1) + 3 = 5$ 3. Adım: $f(5)$ değerini bulalım: $5 \ge 2$ olduğundan parçalı fonksiyonun ikinci satırı kullanılır: $f(5) = 5^{2} - 1 = 25 - 1 = 24$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Çift ve tek fonksiyon kurallarını hatırlayalım: - Çift fonksiyonlar için: $f(-x) = f(x)$ - Tek fonksiyonlar için: $g(-x) = -g(x)$ 2. Adım: Değerleri hesaplayalım: $f$ çift fonksiyon olduğundan $f(-3) = f(3) = 8$ $g$ tek fonksiyon olduğundan $g(2) = -g(-2) = -5$ 3. Adım: Toplamı bulalım: $f(-3) + g(2) = 8 + (-5) = 3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ denklemini sağlayan fonksiyonlar orijinden geçen doğrusal fonksiyonlar olup $f(x) = c \cdot x$ biçimindedir. 2. Adım: $f(3) = 12$ bilgisini kullanalım: $c \cdot 3 = 12 \implies c = 4$ Fonksiyon $f(x) = 4x$ olur. 3. Adım: $f(7)$ değerini bulalım: $f(7) = 4 \cdot 7 = 28$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $g^{-1}(x) = t$ dönüşümü yapalım. Buradan $x = g(t)$ olur. $(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = f(t)$ Dolayısıyla $f(t) = 4 \cdot g(t) + 3$ olur. 2. Adım: $g(t) = 2t - 1$ eşitliğini yerine yazalım: $f(t) = 4(2t - 1) + 3 = 8t - 4 + 3 = 8t - 1$ 3. Adım: $f(5)$ değerini hesaplayalım: $f(5) = 8(5) - 1 = 40 - 1 = 39$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Bir ifadenin polinom belirtmesi için tüm terimlerdeki $x$'in üslerinin doğal sayı ($\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$) olması gerekir. 2. Adım: Şartları belirleyelim: 1) $\frac{24}{n} \in \mathbb{N} \implies n$, 24'ün pozitif tam sayı böleni olmalıdır. 2) $n - 3 \ge 0 \implies n \ge 3$ 3. Adım: 24'ün pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24'tür. $n \ge 3$ koşulunu sağlayan bölenler: $n \in \{3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ 4. Adım: Bu değerlerin sayısı: Toplam 6 farklı değer vardır. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: $P(x)$ polinomunun katsayılar toplamı $P(1)$'dir: $2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$ $P(1) = 3(1)^{2} - 5(1) + 4 = 3 - 5 + 4 = 2$ 2. Adım: $P(x)$ polinomunun sabit terimi $P(0)$'dır: $2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$ $P(0) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} - 5\left(\frac{1}{2}\right) + 4 = 3\left(\frac{1}{4}\right) - \frac{5}{2} + 4 = \frac{3}{4} - \frac{10}{4} + \frac{16}{4} = \frac{9}{4}$ 3. Adım: İki değerin toplamını bulalım: $P(1) + P(0) = 2 + \frac{9}{4} = \frac{8 + 9}{4} = \frac{17}{4}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: $P(x)$ polinomu $(x - 1)(x + 2)$ ile tam bölünüyorsa hem $x = 1$ hem de $x = -2$ polinomun birer köküdür: $P(1) = 0$ ve $P(-2) = 0$ 2. Adım: Eşitlikleri kuralım: $P(1) = 1^{3} - 2(1)^{2} + a(1) + b = 1 - 2 + a + b = a + b - 1 = 0 \implies a + b = 1$ $P(-2) = (-2)^{3} - 2(-2)^{2} + a(-2) + b = -8 - 8 - 2a + b = -16 - 2a + b = 0 \implies -2a + b = 16$ 3. Adım: Denklem sistemini çözelim: $(a + b) - (-2a + b) = 1 - 16 \implies 3a = -15 \implies a = -5$ $-5 + b = 1 \implies b = 6$ 4. Adım: Çarpımı hesaplayalım: $a \cdot b = (-5) \cdot 6 = -30$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Kalanı bulmak için bölen ifadeyi sıfıra eşitleyelim: $x^{2} - 2 = 0 \implies x^{2} = 2$ 2. Adım: $P(x)$ polinomunu $x^{2}$ cinsinden ifade edelim: $P(x) = (x^{2})^{2} - 3(x^{2}) + 5x - 7$ 3. Adım: $x^{2}$ yerine 2 yazalım: $\text{Kalan} = (2)^{2} - 3(2) + 5x - 7 = 4 - 6 + 5x - 7 = 5x - 9$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Polinomların derecelerine isim verelim: $\operatorname{der}[P(x)] = a$ ve $\operatorname{der}[Q(x)] = b$ 2. Adım: Verilen derece denklemlerini kuralım: $\operatorname{der}[P(x) \cdot Q(x)] = a + b = 9$ $\operatorname{der}[P(x^{2})] = 2a$ $\operatorname{der}\left[\frac{P(x^{2})}{Q(x)}\right] = 2a - b = 6$ 3. Adım: Taraf tarafa toplayalım: $(a + b) + (2a - b) = 9 + 6 \implies 3a = 15 \implies a = 5$ $5 + b = 9 \implies b = 4$ 4. Adım: Toplam polinomunun derecesi büyük olan dereceye eşittir: $\operatorname{der}[P(x) + Q(x)] = \max(a, b) = \max(5, 4) = 5$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: $P(x)$ polinomunun $x - 3$ ile bölümünden kalan $P(3)$'tür. 2. Adım: $P(x + 1)$ ifadesinde $P(3)$'ü elde etmek için: $x + 1 = 3 \implies x = 2$ yazılmalıdır. 3. Adım: $x = 2$ değerini eşitliğin sağında yerine yazalım: $P(3) = 2^{2} - 3(2) + 5 = 4 - 6 + 5 = 3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: $P(x)$ ile $P(x + 1)$ toplamı 1. dereceden olduğundan $P(x)$ doğrusal bir polinomdur: $P(x) = ax + b$ $P(x + 1) = a(x + 1) + b = ax + a + b$ 2. Adım: Toplamı eşitleyelim: $P(x) + P(x + 1) = 2ax + a + 2b = 4x + 8$ 3. Adım: Katsayıları eşitleyelim: $2a = 4 \implies a = 2$ $a + 2b = 8 \implies 2 + 2b = 8 \implies 2b = 6 \implies b = 3$ Polinom: $P(x) = 2x + 3$ 4. Adım: $P(3)$ değerini bulalım: $P(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Bir polinomun çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı formülü: $\text{Çift Toplam} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$ 2. Adım: $P(1)$ değerini hesaplayalım: $P(1) = (1^{2} - 3(1) + 1)^{3} = (1 - 3 + 1)^{3} = (-1)^{3} = -1$ 3. Adım: $P(-1)$ değerini hesaplayalım: $P(-1) = [(-1)^{2} - 3(-1) + 1]^{3} = (1 + 3 + 1)^{3} = 5^{3} = 125$ 4. Adım: Formülde yerine koyalım: $\text{Çift Toplam} = \frac{-1 + 125}{2} = \frac{124}{2} = 62$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Baş katsayısı 2 olan ve kökleri 1, 2 ve -3 olan üçüncü dereceden polinomu yazalım: $P(x) = 2(x - 1)(x - 2)(x + 3)$ 2. Adım: Sabit terimi bulmak için $x = 0$ yazalım: $P(0) = 2(0 - 1)(0 - 2)(0 + 3)$ $P(0) = 2(-1)(-2)(3) = 12$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Verilen kalan bilgilerini yazalım: $P(2) = 5$ $P(-3) = -5$ 2. Adım: Bölen ifadeyi çarpanlarına ayıralım: $x^{2} + x - 6 = (x - 2)(x + 3)$ Bölen 2. dereceden olduğundan kalan en fazla 1. dereceden bir ifadedir: $K(x) = mx + n$ 3. Adım: $P(x) = (x - 2)(x + 3) \cdot Q(x) + (mx + n)$ eşitliğini kuralım: $x = 2 \implies P(2) = 2m + n = 5$ $x = -3 \implies P(-3) = -3m + n = -5$ 4. Adım: İki denklemi birbirinden çıkaralım: $(2m + n) - (-3m + n) = 5 - (-5)$ $5m = 10 \implies m = 2$ $2(2) + n = 5 \implies n = 1$ 5. Adım: Kalan polinomunu yazalım: $K(x) = 2x + 1$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.