ALES ALES Sayısal Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık Testi #4

1. Adım: Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir. 2. Adım: Birler basamağının 0 olduğu durum: - Birler basamağı için 1 seçenek vardır: {0}. - Yüzler basamağına 0 ve birler basamağına konan rakam hariç kalan 5 rakamdan biri gelebilir: 5 seçenek. - Onlar basamağına kalan 4 rakamdan biri gelebilir: 4 seçenek. Toplam = $5 \times 4 \times 1 = 20$ sayı. 3. Adım: Birler basamağının 5 olduğu durum: - Birler basamağı için 1 seçenek vardır: {5}. - Yüzler basamağına 0 ve 5 hariç kalan 4 rakamdan biri gelebilir: 4 seçenek. - Onlar basamağına 0 tekrar kullanılabileceğinden kalan 4 rakam gelebilir: 4 seçenek. Toplam = $4 \times 4 \times 1 = 16$ sayı. 4. Adım: İki durumu toplayalım: Toplam = $20 + 16 = 36$ sayı yazılabilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Önce 4 erkek öğrenciyi düz bir sıraya yerleştirelim. 4 erkek kendi arasında: $4! = 24$ farklı şekilde sıralanır. 2. Adım: Erkekler sıralandığında kız öğrencilerin yan yana gelmemesi için yerleşebilecekleri boşluklar (baş, son ve aralar) belirlenir: _ E1 _ E2 _ E3 _ E4 _ Kızların oturabileceği toplam 5 farklı boşluk oluşur. 3. Adım: 3 kız öğrenci bu 5 boşluktan 3 tanesine sıralı olarak oturur: $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ farklı şekilde. 4. Adım: Toplam sıralama sayısını bulalım: $24 \times 60 = 1440$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: 'KELEBEK' kelimesindeki harf dağılımını belirleyelim: Toplam 7 harf vardır: K (2 adet), E (3 adet), L (1 adet), B (1 adet). 2. Adım: K harfi ile başlayan toplam kelime sayısını bulalım: İlk harf K olarak sabitlendiğinde geriye kalan 6 harf: {K, E, E, E, L, B} olur. Bu 6 harfin tekrarlı permütasyonu: $\frac{6!}{3! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{720}{6} = 120$ tanedir. 3. Adım: K ile başlayıp K ile biten kelime sayısını bulalım: İlk harf K ve son harf K olarak sabitlendiğinde geriye kalan ortadaki 5 harf: {E, E, E, L, B} olur. Bu 5 harfin tekrarlı permütasyonu: $\frac{5!}{3! \times 1! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$ tanedir. 4. Adım: K ile başlayıp K ile bitmeyen kelime sayısı: $120 - 20 = 100$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: İstenen durumlar ekipte 2, 3 veya 4 doktor bulunmasıdır. 2. Adım: 2 doktor ve 2 hemşire durumu: $\binom{5}{2} \times \binom{6}{2} = 10 \times 15 = 150$ 3. Adım: 3 doktor ve 1 hemşire durumu: $\binom{5}{3} \times \binom{6}{1} = 10 \times 6 = 60$ 4. Adım: 4 doktor ve 0 hemşire durumu: $\binom{5}{4} \times \binom{6}{0} = 5 \times 1 = 5$ 5. Adım: Tüm durumları toplayalım: Toplam = $150 + 60 + 5 = 215$ farklı şekilde kurulabilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Hiçbir kısıtlama olmasaydı 9 noktadan oluşturulabilecek üçgen sayısı: $\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ olurdu. 2. Adım: Doğrusal olan 4 nokta kendi arasında üçgen oluşturamaz. Bu geçersiz durumları çıkaralım: $\binom{4}{3} = 4$ 3. Adım: Çizilebilecek üçgen sayısı: $84 - 4 = 80$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Toplam 8 kişi vardır. Ali takıma alınacak (1 kişilik yer dolar), Burak ise takıma alınmayacak (seçeneklerden çıkarılır). 2. Adım: Geriye kalan kişi sayısı: $8 - 2 = 6$ kişidir. 3. Adım: Takım için kalan boş kontenjan: $4 - 1 = 3$ kişidir. 4. Adım: Kalan 6 kişiden 3 kişi seçilmelidir: $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ farklı takım oluşturulabilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Torbadaki toplam bilye sayısı: $4 + 5 = 9$'dur. 2. Adım: İkisinin de mavi olma olasılığı: $P(\text{Mavi, Mavi}) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{12}{72}$ 3. Adım: İkisinin de kırmızı olma olasılığı: $P(\text{Kırmızı, Kırmızı}) = \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{20}{72}$ 4. Adım: İki olayın toplam olasılığı: $P(\text{Aynı Renk}) = \frac{12}{72} + \frac{20}{72} = \frac{32}{72}$ 5. Adım: Kesri sadeleştirelim (8 ile): $\frac{32 \div 8}{72 \div 8} = \frac{4}{9}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: İki zar atıldığında toplam olası durum sayısı: $6 \times 6 = 36$'dır. 2. Adım: Toplamın 8, 9, 10, 11 veya 12 olduğu durumları listeleyelim: - Toplam 8 olanlar: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) $\rightarrow 5$ durum - Toplam 9 olanlar: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) $\rightarrow 4$ durum - Toplam 10 olanlar: (4,6), (5,5), (6,4) $\rightarrow 3$ durum - Toplam 11 olanlar: (5,6), (6,5) $\rightarrow 2$ durum - Toplam 12 olanlar: (6,6) $\rightarrow 1$ durum 3. Adım: İstenen durumların toplam sayısı: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ 4. Adım: Olasılığı hesaplayıp sadeleştirelim: $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Anne ve babayı ayrılmayacak şekilde tek bir eleman olarak düşünelim: (AB) 2. Adım: Bu durumda sıralanacak elemanlar: (AB) ve 3 çocuk olmak üzere toplam $1 + 3 = 4$ elemandır. 4 eleman kendi arasında $4! = 24$ farklı şekilde sıralanır. 3. Adım: Anne ve baba kendi aralarında yer değiştirebilir: $2! = 2$ farklı şekilde. 4. Adım: Toplam sıralama sayısı: $24 \times 2 = 48$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Soruları iki gruba ayıralım: İlk 4 soru grubu ve kalan 6 soru grubu. 2. Adım: Durum 1: İlk 4 sorudan 3 soru seçilirse; Toplam 7 soru olması için kalan 6 sorudan $7 - 3 = 4$ soru seçilmelidir: $\binom{4}{3} \times \binom{6}{4} = 4 \times 15 = 60$ 3. Adım: Durum 2: İlk 4 sorunun 4'ü de seçilirse; Toplam 7 soru olması için kalan 6 sorudan $7 - 4 = 3$ soru seçilmelidir: $\binom{4}{4} \times \binom{6}{3} = 1 \times 20 = 20$ 4. Adım: Toplam seçim sayısı: $60 + 20 = 80$ farklı şekilde yapılabilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Kutuların seçilme olasılıkları eşittir: $P(A) = \frac{1}{2}$ ve $P(B) = \frac{1}{2}$. 2. Adım: A kutusundan beyaz çekilme olasılığı: $P(B|A) = \frac{3}{3 + 4} = \frac{3}{7}$ 3. Adım: B kutusundan beyaz çekilme olasılığı: $P(B|B) = \frac{5}{5 + 3} = \frac{5}{8}$ 4. Adım: Toplam beyaz çekilme olasılığı: $P(\text{Beyaz}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{14} + \frac{5}{16}$ 5. Adım: Paydaları 112'de eşitleyelim: $\frac{3 \times 8}{112} + \frac{5 \times 7}{112} = \frac{24 + 35}{112} = \frac{59}{112}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: Bir paralelkenar oluşturabilmek için birinci gruptaki paralel doğrulardan 2 tanesine ve ikinci gruptaki paralel doğrulardan 2 tanesine ihtiyaç vardır. 2. Adım: 4 paralel doğrudan 2 tanesi: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ farklı şekilde seçilir. 3. Adım: 5 paralel doğrudan 2 tanesi: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ farklı şekilde seçilir. 4. Adım: Oluşacak toplam paralelkenar sayısı: $6 \times 10 = 60$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Hedefin en az bir kez vurulması olasılığı, 1'den hedefin hiç vurulmama olasılığının çıkarılmasıyla en kolay yoldan bulunur. 2. Adım: Hedefi vuramama olasılıklarını hesaplayalım: - Ahmet'in vuramama olasılığı: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ - Burak'ın vuramama olasılığı: $1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$ 3. Adım: İkisinin de vuramama olasılığı: $P(\text{Hiç Vurulmama}) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$ 4. Adım: En az birinin vurma olasılığı: $P(\text{En Az Bir}) = 1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Toplam 6 çift vardır. Seçilen 3 kişinin hiçbirinin birbiriyle evli olmaması için bu 3 kişi 6 farklı çiftten seçilmelidir. 2. Adım: Önce 3 kişinin geleceği 3 farklı çifti seçelim: $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ farklı çift üçlüsü seçilebilir. 3. Adım: Seçilen her çiftten ya kadın ya da erkek seçileceğinden (her çift için 2 seçenek vardır): $2 \times 2 \times 2 = 2^{3} = 8$ farklı durum oluşur. 4. Adım: Toplam seçim sayısı: $20 \times 8 = 160$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Madenî para 4 kez atıldığında toplam durum sayısı: $2^{4} = 16$'dır. 2. Adım: En az 3 kez tura gelmesi, 3 tura 1 yazı veya 4 tura gelmesi durumlarıdır. 3. Adım: Tam 3 tura gelme durum sayısı: $\binom{4}{3} = 4$ durum (TTTY, TTYT, TYTT, YTTT). 4. Adım: Tam 4 tura gelme durum sayısı: $\binom{4}{4} = 1$ durum (TTTT). 5. Adım: İstenen durumların toplam sayısı: $4 + 1 = 5$ durumdur. 6. Adım: Olasılık: $\frac{5}{16}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Masadaki 6 koltuğu 1, 2, 3, 4, 5, 6 olarak numaralandıralım. 2. Adım: Müdür (M) ile müdür yardımcısı (Y) arasında 2 kişi oturması için koltuk numaraları çiftleri: (1, 4), (2, 5) veya (3, 6) olmalıdır (toplam 3 farklı konum çifti). 3. Adım: Müdür ve müdür yardımcısı kendi aralarında yer değiştirebilir: $2! = 2$ durum. Dolayısıyla M ve Y $3 \times 2 = 6$ farklı şekilde yerleşebilir. 4. Adım: Kalan 4 üye boşta kalan 4 koltuğa $4! = 24$ farklı şekilde oturur. 5. Adım: Toplam sıralama sayısı: $6 \times 24 = 144$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: 12 öğrenci arasından 5 kişilik grubu seçtiğimizde, geriye kalan 7 öğrenci otomatik olarak 7 kişilik grubu oluşturur. 2. Adım: Grup büyüklükleri farklı (5 ve 7) olduğundan gruplar birbirinden ayırt edilebilir durumdadır; dolayısıyla fazladan bölme işlemi yapılmaz. 3. Adım: Seçim sayısını hesaplayalım: $\binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$ Paydadaki $5 \times 4 = 20$ ile paydaki $10 \times 8 = 80$ sadeleşirse 4 kalır. Paydadaki $3 \times 2 = 6$ ile paydaki $12$ sadeleşirse 2 kalır. Sonuç: $2 \times 11 \times 9 \times 4 = 792$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Hareketi tamamlamak için 4 birim sağa (S) ve 3 birim yukarı (Y) adım atılmalıdır. 2. Adım: Toplam atılacak adım sayısı: $4 + 3 = 7$'dir. 3. Adım: Bu durum 4 tane S ve 3 tane Y harfinin tekrarlı permütasyonudur: $\frac{7!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ farklı yol bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Kümedeki elemanları tek ve çift olarak ayıralım: Tek sayılar = {1, 3, 5, 7} (4 adet) Çift sayılar = {2, 4, 6, 8} (4 adet) Toplam 8 eleman vardır. 2. Adım: 8 elemandan 2 farklı eleman seçme sayısı (tüm durumlar): $\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 3. Adım: Seçilen iki sayının toplamının tek sayı olması için sayılardan birinin tek, diğerinin çift olması gerekir: $\binom{4}{1} \times \binom{4}{1} = 4 \times 4 = 16$ istenen durum vardır. 4. Adım: Olasılığı hesaplayalım: $\frac{16}{28} = \frac{4}{7}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Örnek uzay $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ olup eleman sayısı 10'dur. 2. Adım: Asal sayıların kümesi: $A = \{2, 3, 5, 7\} \implies s(A) = 4$ 3. Adım: Çift sayıların kümesi: $B = \{2, 4, 6, 8, 10\} \implies s(B) = 5$ 4. Adım: Hem asal hem çift olan sayıların kümesi (kesişim): $A \cap B = \{2\} \implies s(A \cap B) = 1$ 5. Adım: Asal veya çift olma durumu (birleşim): $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B) = 4 + 5 - 1 = 8$ (Elemanlar: {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}) 6. Adım: Olasılığı hesaplayalım: $P(A \cup B) = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.