ALES ALES Sayısal Üslü ve Köklü İfadeler Testi #5

1. Adım: Verilen ifadeyi $3^{x}$ cinsinden parçalayalım: $9^{x+1} = 9^{x} \cdot 9^{1} = (3^{2})^{x} \cdot 9 = (3^{x})^{2} \cdot 9$ $3^{x+2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 3^{x} \cdot 9$ 2. Adım: $3^{x} = 5$ değerini ifadelerde yerine yazalım: $(3^{x})^{2} \cdot 9 = 5^{2} \cdot 9 = 25 \cdot 9 = 225$ $3^{x} \cdot 9 = 5 \cdot 9 = 45$ 3. Adım: Fark işlemini yapalım: $225 - 45 = 180$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Kesrin payını $2^{x}$ parantezine alalım: $2^{x+3} + 2^{x+1} - 2^{x} = 2^{x}(2^{3} + 2^{1} - 1) = 2^{x}(8 + 2 - 1) = 2^{x} \cdot 9$ 2. Adım: Kesrin paydasını $2^{x}$ parantezine alalım: $2^{x+2} - 2^{x-1} = 2^{x}(2^{2} - 2^{-1}) = 2^{x}\left(4 - \frac{1}{2}\right) = 2^{x} \cdot \frac{7}{2}$ 3. Adım: Payı paydaya oranlayalım ($2^{x}$ terimleri sadeleşir): $\frac{2^{x} \cdot 9}{2^{x} \cdot \frac{7}{2}} = \frac{9}{\frac{7}{2}} = 9 \cdot \frac{2}{7} = \frac{18}{7}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Eşitliklerdeki tabanları 2 ve 3 asal tabanlarına dönüştürelim: $2^{a} = 3^{3}$ $3^{b} = 2^{4} \implies 2^{4} = 3^{b}$ 2. Adım: Aynı tabanlı üslü denklem kuralını uygulayalım ($x^{m} = y^{n}$ ve $x^{p} = y^{r}$ ise $\frac{m}{p} = \frac{n}{r}$): $\frac{a}{4} = \frac{3}{b}$ 3. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: $a \cdot b = 4 \cdot 3 = 12$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Üslerin en büyük ortak bölenini (EBOB) belirleyelim: $\text{EBOB}(60, 48, 24) = 12$ 2. Adım: Sayıları üssü 12 olacak biçimde düzenleyelim: $a = 2^{60} = (2^{5})^{12} = 32^{12}$ $b = 3^{48} = (3^{4})^{12} = 81^{12}$ $c = 5^{24} = (5^{2})^{12} = 25^{12}$ 3. Adım: Üsler pozitif ve eşit (12) olduğundan tabanı büyük olan sayı daha büyüktür: $25 < 32 < 81$ olduğundan $c < a < b$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: $x$ eşitliğinden $2^{a}$ ifadesini çekelim: $x = 2^{a} \cdot 2 \implies 2^{a} = \frac{x}{2}$ 2. Adım: $y$ ifadesini 2 tabanında açalım: $y = 4^{a-1} = \frac{4^{a}}{4^{1}} = \frac{(2^{2})^{a}}{4} = \frac{(2^{a})^{2}}{4}$ 3. Adım: $2^{a} = \frac{x}{2}$ değerini yerine yazalım: $y = \frac{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}{4} = \frac{\frac{x^{2}}{4}}{4} = \frac{x^{2}}{16}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: Bir üslü ifadenin 1'e eşit olması üç durumda gerçekleşir: Durum 1: Üs 0 olmalıdır ve taban 0'dan farklı olmalıdır. $x + 4 = 0 \implies x = -4$ Taban kontrolü: $2(-4) - 3 = -11 \neq 0$ (sağlar). Durum 2: Taban 1 olmalıdır. $2x - 3 = 1 \implies 2x = 4 \implies x = 2$ (sağlar). Durum 3: Taban -1 olmalıdır ve üs çift tam sayı olmalıdır. $2x - 3 = -1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$ Üs kontrolü: $x + 4 = 1 + 4 = 5$ (tek sayıdır, dolayısıyla $(-1)^{5} = -1 \neq 1$, bu değer sağlamaz). 2. Adım: Sağlayan $x$ değerlerini toplayalım: $x_{1} + x_{2} = (-4) + 2 = -2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Değişken değiştirme uygulayalım: $4^{x} = t$ diyelim ($t > 0$). $16^{x} = (4^{x})^{2} = t^{2}$ olur. 2. Adım: Denklemi $t$ cinsinden yazıp çarpanlarına ayıralım: $t^{2} - 5t + 4 = 0$ $(t - 1)(t - 4) = 0 \implies t_{1} = 1$ veya $t_{2} = 4$ 3. Adım: $x$ değerlerini bulalım: $4^{x} = 1 = 4^{0} \implies x_{1} = 0$ $4^{x} = 4 = 4^{1} \implies x_{2} = 1$ 4. Adım: Köklerin çarpımını hesaplayalım: $x_{1} \cdot x_{2} = 0 \cdot 1 = 0$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Kök içindeki sayıları $a\sqrt{b}$ biçiminde yazalım: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ 2. Adım: Terimleri toplayıp çıkaralım: $5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = (5 - 4 + 6)\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Paydaları eşlenikleriyle çarparak rasyonel yapalım veya ortak paydada birleştirelim: Ortak payda: $(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{2})^{2} = 5 - 2 = 3$ 2. Adım: Pay kısmını düzenleyelim: $6(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - 6(\sqrt{5} - \sqrt{2}) = 6\sqrt{5} + 6\sqrt{2} - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$ 3. Adım: Kesri sadeleştirelim: $\frac{12\sqrt{2}}{3} = 4\sqrt{2}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $\sqrt{A + 2\sqrt{B}}$ iç içe kök kuralını uygulamak için $4\sqrt{7}$ ifadesini düzenleyelim: $4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 2\sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{28}$ 2. Adım: $\sqrt{11 + 2\sqrt{28}}$ ifadesinde çarpımları 28, toplamları 11 olan iki pozitif tam sayı 7 ve 4'tür ($7 \cdot 4 = 28$, $7 + 4 = 11$): $\sqrt{11 + 2\sqrt{28}} = \sqrt{7} + \sqrt{4} = \sqrt{7} + 2$ 3. Adım: Bulunan ifadeden $\sqrt{7}$ çıkaralım: $(\sqrt{7} + 2) - \sqrt{7} = 2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Köklü ifadenin tanımlı ve sonucun reel olması için: $3x - 2 \ge 0 \implies x \ge \frac{2}{3}$ $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$ olmalıdır. Dolayısıyla $x \ge 2$ olmalıdır. 2. Adım: Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım: $3x - 2 = (x - 2)^{2}$ $3x - 2 = x^{2} - 4x + 4$ $x^{2} - 7x + 6 = 0$ 3. Adım: Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x - 6)(x - 1) = 0 \implies x = 6$ veya $x = 1$ 4. Adım: Köklerin geçerliliğini kontrol edelim: $x = 1$ için $x - 2 = 1 - 2 = -1 < 0$ olduğundan kök olamaz. $x = 6$ için $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$ ve $6 - 2 = 4$ eşitliği sağlar. Dolayısıyla çözüm kümesi $\{6\}$'dır. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Kök derecelerinin en küçük ortak katını bulalım: $\text{EKOK}(2, 3, 6) = 6$ 2. Adım: Tüm sayıların kök derecelerini 6'da eşitleyelim: $a = \sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^{3}} = \sqrt[6]{8}$ $b = \sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^{2}} = \sqrt[6]{9}$ $c = \sqrt[6]{6}$ 3. Adım: Kök dereceleri eşit olduğundan kök içi büyük olan daha büyüktür: $6 < 8 < 9 \implies \sqrt[6]{6} < \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9}$ Buradan $c < a < b$ sıralaması elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Çarpılan sayıların ortasındaki sayıyı değişken olarak belirleyelim: 120 ile 126'nın ortasındaki sayı $\frac{120 + 126}{2} = 123$'tür. 2. Adım: Sayıları 123 cinsinden yazalım: $120 = 123 - 3$ $126 = 123 + 3$ 3. Adım: İki kare farkı özdeşliğini kök içinde uygulayalım: $120 \cdot 126 = (123 - 3)(123 + 3) = 123^{2} - 3^{2} = 123^{2} - 9$ 4. Adım: İfadeyi kök içine yerleştirelim: $\sqrt{(123^{2} - 9) + 9} = \sqrt{123^{2}} = 123$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $72 = 8 \cdot 9 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ 2. Adım: $72^{a}$ ifadesini üs kurallarına göre açalım: $72^{a} = (2^{3} \cdot 3^{2})^{a} = (2^{3})^{a} \cdot (3^{2})^{a} = (2^{a})^{3} \cdot (3^{a})^{2}$ 3. Adım: $x = 2^{a}$ ve $y = 3^{a}$ değerlerini yerine yazalım: $(2^{a})^{3} \cdot (3^{a})^{2} = x^{3} \cdot y^{2}$ elde edilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Ondalıklı sayıları kesir biçiminde kök dışına çıkaralım: $\sqrt{0{,}49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{7}{10} = 0{,}7$ $\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1{,}2$ $\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ 2. Adım: İşlemi gerçekleştirelim: $0{,}7 + 1{,}2 - 0{,}3 = 1{,}9 - 0{,}3 = 1{,}6$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: $5^{x-1} = 2$ eşitliğini düzenleyelim: $\frac{5^{x}}{5} = 2 \implies 5^{x} = 10$ 2. Adım: İstenen ifadeyi $5^{x}$ cinsinden parçalayalım: $5^{2x-1} = \frac{5^{2x}}{5} = \frac{(5^{x})^{2}}{5}$ 3. Adım: $5^{x} = 10$ değerini yerine yazalım: $\frac{10^{2}}{5} = \frac{100}{5} = 20$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $x = \sqrt{5} - 1$ ise $x + 1 = \sqrt{5}$ ve $x + 2 = \sqrt{5} + 1$ olur. 2. Adım: Çarpılacak terimleri yerlerine yazalım: $x(x + 1)(x + 2) = (\sqrt{5} - 1) \cdot \sqrt{5} \cdot (\sqrt{5} + 1)$ 3. Adım: İki kare farkı oluşturan $(\sqrt{5} - 1)$ ile $(\sqrt{5} + 1)$ çarpanlarını önce çarpalım: $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) = (\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4$ 4. Adım: Kalan $\sqrt{5}$ çarpanı ile çarpalım: $4 \cdot \sqrt{5} = 4\sqrt{5}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Kök derecesi çift olan terimleri mutlak değer içinde çıkaralım: $\sqrt{x^{2}} = |x|$ $\sqrt{(x - y)^{2}} = |x - y|$ 2. Adım: Kök derecesi tek olan terimi doğrudan çıkaralım: $\sqrt[3]{y^{3}} = y$ 3. Adım: Mutlak değerlerin işaretlerini belirleyelim: $x < 0$ olduğundan $|x| = -x$ $x < y \implies x - y < 0$ olduğundan $|x - y| = -(x - y) = -x + y$ 4. Adım: İfadeleri birleştirelim: $|x| + y - |x - y| = (-x) + y - (-x + y) = -x + y + x - y = 0$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: 3 ve 5 aralarında asal sayılar olduğundan, $a$ ve $b$ tam sayıları için bu eşitlik ancak ve ancak üslerin sıfır olması durumunda sağlanır: $2a + b - 8 = 0 \implies 2a + b = 8$ $a - b + 2 = 0 \implies a - b = -2$ 2. Adım: İki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(2a + b) + (a - b) = 8 + (-2)$ $3a = 6 \implies a = 2$ 3. Adım: $b$ değerini bulalım: $2 - b = -2 \implies b = 4$ 4. Adım: $a \cdot b$ çarpımını hesaplayalım: $a \cdot b = 2 \cdot 4 = 8$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Köklü sayıları rasyonel üs biçiminde yazalım: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ $\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}$ $\sqrt[6]{2} = 2^{1/6}$ 2. Adım: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır: $2^{1/2} \cdot 2^{1/3} \cdot 2^{1/6} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}$ 3. Adım: Üsleri toplayalım (paydaları 6'da eşitleyerek): $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ 4. Adım: İfadenin değerini bulalım: $2^{1} = 2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.