ALES ALES Sayısal Limit, Türev ve İntegral Testi #2

1. Adım: $x = 3$ değerini doğrudan yerine yazdığımızda $\frac{3^2 - 2(3) - 3}{3^2 - 9} = \frac{0}{0}$ belirsizliği elde edilir. 2. Adım: Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: Pay: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$ Payda: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ 3. Adım: Ortak çarpan olan $(x - 3)$ terimini sadeleştirelim: $\lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x + 1}{x + 3}$ 4. Adım: $x = 3$ değerini yerine yazalım: $\frac{3 + 1}{3 + 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Bir fonksiyonun $x = 2$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve o noktadaki fonksiyon değerinin birbirine eşit olması gerekir: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$ 2. Adım: Sol limiti hesaplayalım ($x < 2$ için): $\lim_{x \to 2^-} (2x + a) = 2(2) + a = 4 + a$ 3. Adım: Sağ limit ve fonksiyon değerini hesaplayalım ($x \ge 2$ için): $\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = f(2) = 2^2 - 1 = 3$ 4. Adım: Eşitliği kuralım: $4 + a = 3 \implies a = -1$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $x = 4$ yazıldığında $\frac{\sqrt{4} - 2}{4 - 4} = \frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. 2. Adım: Paydaki ifadenin eşleniği olan $(\sqrt{x} + 2)$ ile pay ve paydayı çarpalım ya da paydadaki $x - 4$ ifadesini $(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$ olarak çarpanlara ayıralım: $\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$ 3. Adım: $x = 4$ için limiti hesaplayalım: $\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Çarpımın türevi kuralını uygulayalım: $f'(x) = (2x - 1)' \cdot (x^2 + 3) + (2x - 1) \cdot (x^2 + 3)'$ 2. Adım: Parantez içindeki ifadelerin türevlerini alalım: $(2x - 1)' = 2$ $(x^2 + 3)' = 2x$ 3. Adım: Türev ifadesini yazalım: $f'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1)(2x)$ 4. Adım: $x = 1$ değerini yerine yazalım: $f'(1) = 2(1^2 + 3) + (2(1) - 1)(2(1)) = 2(4) + (1)(2) = 8 + 2 = 10$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: Bölümün türevi kuralını uygulayalım: $f'(x) = \frac{(3x + 1)'(x - 2) - (3x + 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2}$ 2. Adım: Türevleri hesaplayalım: $(3x + 1)' = 3$ $(x - 2)' = 1$ 3. Adım: İfadeleri yerine koyalım: $f'(x) = \frac{3(x - 2) - (3x + 1)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{3x - 6 - 3x - 1}{(x - 2)^2} = \frac{-7}{(x - 2)^2}$ 4. Adım: $x = 3$ değerini yazalım: $f'(3) = \frac{-7}{(3 - 2)^2} = \frac{-7}{1^2} = -7$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Bileşke fonksiyon (zincir kuralı) türevini uygulayalım: $y = [u(x)]^n \implies y' = n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$ 2. Adım: $u(x) = 3x^2 - 2x + 1$ için $u'(x) = 6x - 2$'dir. $f'(x) = 3(3x^2 - 2x + 1)^2 \cdot (6x - 2)$ 3. Adım: $x = 1$ değerini yerine yazalım: $u(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2$ $u'(1) = 6(1) - 2 = 4$ $f'(1) = 3 \cdot (2)^2 \cdot 4 = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi, fonksiyonun o noktadaki birinci türevine eşittir: $m = f'(3)$ 2. Adım: $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım: $f'(x) = 2x - 4$ 3. Adım: $x = 3$ değerini yazalım: $f'(3) = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Teğet noktasının koordinatlarını bulalım: $x = 1$ için $y = 1^3 - 3(1) + 4 = 2$. Nokta: $(1, 2)$ 2. Adım: Teğetin eğimini bulalım: $y' = 3x^2 - 3$ $m = y'(1) = 3(1)^2 - 3 = 0$ 3. Adım: Eğimi 0 olan ve $(1, 2)$ noktasından geçen doğrunun denklemini kuralım: $y - y_0 = m(x - x_0)$ $y - 2 = 0 \cdot (x - 1) \implies y = 2$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Yerel ekstremum noktalarını bulmak için birinci türevi alıp sıfıra eşitleyelim: $f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 0$ 2. Adım: Denklemi 6 ile sadeleştirelim: $x^2 - 3x + 2 = 0$ $(x - 1)(x - 2) = 0 \implies x_1 = 1$ ve $x_2 = 2$ 3. Adım: İşaret tablosu incelendiğinde: $x < 1$ için $f'(x) > 0$ (artan) $1 < x < 2$ için $f'(x) < 0$ (azalan) $x > 2$ için $f'(x) > 0$ (artan) Dolayısıyla $x = 1$ yerel maksimum noktası, $x = 2$ ise yerel minimum noktasıdır. Apsis $x = 2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Sayılara $x$ ve $y$ diyelim. $x + y = 24 \implies y = 24 - x$ 2. Adım: Çarpım fonksiyonunu oluşturalım: $C(x) = x \cdot y = x(24 - x) = 24x - x^2$ 3. Adım: En büyük değeri bulmak için türev alıp sıfıra eşitleyelim: $C'(x) = 24 - 2x = 0 \implies 2x = 24 \implies x = 12$ 4. Adım: $x = 12$ ise $y = 24 - 12 = 12$ olur. Çarpımın en büyük değeri: $C(12) = 12 \cdot 12 = 144$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Verilen limit ifadesi, türevin limit tanımıdır: $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$ Burada $x = 2$ olduğundan bizden istenen $f'(2)$ değeridir. 2. Adım: $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım: $f'(x) = 3x^2 - 2$ 3. Adım: $x = 2$ değerini yerine yazalım: $f'(2) = 3(2^2) - 2 = 3(4) - 2 = 12 - 2 = 10$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: İfadenin belirsiz integralini (ters türevini) bulalım: $\int (3x^2 - 2x + 4) \, dx = x^3 - x^2 + 4x$ 2. Adım: Belirli integral sınırlarını (1 ve 3) uygulayalım: $\left[ x^3 - x^2 + 4x \right]_{1}^{3}$ 3. Adım: Üst ve alt sınır değerlerini hesaplayalım: Üst sınır ($x = 3$): $3^3 - 3^2 + 4(3) = 27 - 9 + 12 = 30$ Alt sınır ($x = 1$): $1^3 - 1^2 + 4(1) = 1 - 1 + 4 = 4$ 4. Adım: Farkı alalım: $30 - 4 = 26$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $f'(x)$ fonksiyonunun integralini alarak $f(x)$'i bulalım: $f(x) = \int (4x - 3) \, dx = 2x^2 - 3x + C$ 2. Adım: $f(2) = 7$ koşulunu kullanarak integrasyon sabiti $C$'yi bulalım: $f(2) = 2(2^2) - 3(2) + C = 7$ $2(4) - 6 + C = 7 \implies 8 - 6 + C = 7 \implies 2 + C = 7 \implies C = 5$ 3. Adım: Fonksiyon $f(x) = 2x^2 - 3x + 5$ olur. 4. Adım: $f(1)$ değerini hesaplayalım: $f(1) = 2(1^2) - 3(1) + 5 = 2 - 3 + 5 = 4$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Değişken değiştirme uygulayalım: $u = x^2 + 1$ olsun. Buradan $du = 2x \, dx$ olur. 2. Adım: İntegral sınırlarını $u$ değişkenine göre güncelleyelim: $x = 0 \implies u = 0^2 + 1 = 1$ $x = 1 \implies u = 1^2 + 1 = 2$ 3. Adım: İntegrali yeni değişkenle yazalım: $\int_{1}^{2} u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{2}$ 4. Adım: Sınırları yerine yazıp hesaplayalım: $\frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Eğrinin $x$ eksenini kestiği noktaları bulalım: $6x - 3x^2 = 0 \implies 3x(2 - x) = 0 \implies x_1 = 0$ ve $x_2 = 2$ 2. Adım: $[0, 2]$ aralığında parabol $x$ ekseninin üstündedir ($y \ge 0$). Alan integrali: $\text{Alan} = \int_{0}^{2} (6x - 3x^2) \, dx$ 3. Adım: İntegrali alalım: $\left[ 3x^2 - x^3 \right]_{0}^{2}$ 4. Adım: Sınırları yerine yazalım: $(3(2^2) - 2^3) - 0 = (3 \cdot 4 - 8) = 12 - 8 = 4$ birimkare bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: Belirli integralin parçalanma özelliğini kullanalım: $\int_{1}^{5} f(x) \, dx = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{3}^{5} f(x) \, dx$ $11 = \int_{1}^{3} f(x) \, dx + 4 \implies \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 7$ 2. Adım: İstenen integrali parçalayarak hesaplayalım: $\int_{1}^{3} [2f(x) + 3] \, dx = 2 \int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 3 \, dx$ 3. Adım: Terimleri yerlerine yazalım: $2 \cdot (7) + [3x]_{1}^{3} = 14 + (3(3) - 3(1)) = 14 + (9 - 3) = 14 + 6 = 20$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: Birinci türevi alalım: $f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 5$ 2. Adım: İkinci türevi almak için $f'(x)$'in türevini alalım: $f''(x) = 12x^2 - 12x$ 3. Adım: $x = 2$ değerini yerine yazalım: $f''(2) = 12(2^2) - 12(2) = 12(4) - 24 = 48 - 24 = 24$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Fonksiyonun azalan olduğu aralık, birinci türevinin sıfırdan küçük ya da eşit ($f'(x) \le 0$) olduğu aralıktır. 2. Adım: $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım: $f'(x) = x^2 - 4x - 5$ 3. Adım: Kökleri bulmak için $f'(x) = 0$ yapalım: $(x - 5)(x + 1) = 0 \implies x_1 = -1$ ve $x_2 = 5$ 4. Adım: İkinci derece ifadenin işaretini inceleyelim: $x^2 - 4x - 5 \le 0$ eşitsizliği kökler arasında sağlanır: $[-1, 5]$ Dolayısıyla fonksiyon $[-1, 5]$ aralığında azalandır. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: İntegral Hesabının Temel Teoremi'ne göre, eğer $f(x) = \int_{a}^{x} g(t) \, dt$ ise, bu fonksiyonun türevi doğrudan integrand fonksiyonuna eşittir: $f'(x) = g(x)$ 2. Adım: Buradan $f'(x) = 3x^2 - 4x + 5$ olur. 3. Adım: $x = 2$ değerini yazalım: $f'(2) = 3(2^2) - 4(2) + 5 = 3(4) - 8 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $x = 1$ yazıldığında $\frac{1^3 - 1}{1^2 + 2(1) - 3} = \frac{0}{0}$ belirsizliği elde edilir. 2. Adım: Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: Pay (küp açılımı): $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ Payda: $x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)$ 3. Adım: Ortak çarpan olan $(x - 1)$ terimini sadeleştirelim: $\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 + x + 1}{x + 3}$ 4. Adım: $x = 1$ değerini yerine yazalım: $\frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 3} = \frac{3}{4}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.