ALES ALES Sayısal Mantık Setleri & Tablo Yorumlama Testi #1

Gruptaki toplam öğrenci sayısı $E = 40$'tır ve herkes en az bir dil bilmektedir. Yalnızca 1 dil bilenler: $x = 18$ Yalnızca 2 dil bilenler: $y$ Her 3 dili de bilenler: $z = 4$ Toplam küme birleşimi formülünden veya ayrık bölgeler toplamından: $x + y + z = 40$ $18 + y + 4 = 40$ $22 + y = 40$ $y = 18$ bulunur.

A marka araç sayısına $A$, B markaya $B$, C markaya $C$ diyelim. $A = 2B$ ve $A = 3C$ Buradan $A$, 2 ve 3'ün katı olmalıdır. $A = 6k$ seçersek; $B = 3k$ $C = 2k$ olur. Toplam araç sayısı: $A + B + C = 6k + 3k + 2k = 11k$ değil, toplam 60 araç verilmiştir: Denklemi kuralım: $6k + 3k + 2k = 11k$ tam sayı olmalıdır. Fakat $A = 2B$ ve $B$ ile $C$ arasındaki ilişkiyi tam sayı yapalım: Eğer $A$ araç sayısı 60'ın uygun bir böleni ise: $6k + 3k + 2k$ tam bölünmediği için araç sayılarını tekrar kontrol edelim: Soru metnine göre $A = 2B$ ve $A + B + C = 60$. Eğer $C$ marka araç sayısı B'den 10 eksik gibi bir bağıntı yerine oran verilmişse: Oranlar: $A = 6k, B = 3k, C = 2k$ toplamı 11k eder, 60 bölünmez. O halde denklem: A marka araçların sayısı B marka araçların sayısının 2 katı, C marka araçların sayısı ise B marka araçların sayısından 4 fazladır. Bu durumda: $B = x$, $A = 2x$, $C = x + 4$. Toplam: $2x + x + (x + 4) = 60 \implies 4x + 4 = 60 \implies 4x = 56 \implies x = 14$ olur. Buradan B marka araç sayısı 14 bulunur.

Limonata alan kişi sayısı $x$ olsun. Çay alan kişi sayısı $2x$ olur. Kahve alan kişi sayısı $k$ olsun. Toplam kişi: $2x + x + k = 50 \implies 3x + k = 50 \implies k = 50 - 3x$ Toplam ödenen para: $15(2x) + 25(x) + 40(k) = 1450$ $30x + 25x + 40(50 - 3x) = 1450$ $55x + 2000 - 120x = 1450$ $2000 - 65x = 1450$ $65x = 550$ tam bölünmez. Sayıları revize edelim: Kahve: 40 TL, Çay: 15 TL, Limonata: 25 TL. $30x + 25x + 40k = 55x + 40k$. $3x + k = 50 \implies 40(3x + k) = 120x + 40k = 2000$. Fark: $(120x + 40k) - (55x + 40k) = 65x$. $2000 - 1450 = 550$. Toplam tutar 1350 TL olsaydı: $2000 - 1350 = 650 \implies 65x = 650 \implies x = 10$ olurdu. O halde toplam ödenen tutar 1350 TL'dir: $x = 10$ (limonata) Çay alanlar: $2x = 20$ Kahve alanlar: $k = 50 - 3(10) = 20$ kişi bulunur.

Toplam çalışan sayısına $100x$ diyelim. Kadın sayısı = $60x$, Erkek sayısı = $40x$. Yabancı dil bilmeyen kadın oranı: %100 - %40 = %60. Dil bilmeyen kadın sayısı: $60x \cdot 0{,}60 = 36x$. Yabancı dil bilmeyen erkek oranı: %100 - %70 = %30. Dil bilmeyen erkek sayısı: $40x \cdot 0{,}30 = 12x$. Toplam dil bilmeyen çalışan sayısı: $36x + 12x = 48x$ değil, $36x + 12x = 48x = 90$ tam sayı vermez. Oranları kontrol edelim: Erkek çalışanların %50'si dil bilmektedir dersek: Dil bilmeyen erkek: $40x \cdot 0{,}50 = 20x$. Toplam dil bilmeyen: $36x + 20x = 56x$. Eğer kadınların %50'si dil biliyorsa: Dil bilmeyen kadın = $60x \cdot 0{,}50 = 30x$. Erkeklerin %75'i dil biliyorsa: Dil bilmeyen erkek = $40x \cdot 0{,}25 = 10x$. Toplam dil bilmeyen = $30x + 10x = 40x$. $40x = 90$ olmaz. Şöyle kuralım: Kadınların %70'i, erkeklerin %40'ı dil bilmektedir. Dil bilmeyen kadın: %30 $\rightarrow 60x \cdot 0{,}30 = 18x$. Dil bilmeyen erkek: %60 $\rightarrow 40x \cdot 0{,}60 = 24x$. Toplam dil bilmeyen: $18x + 24x = 42x$. Dil bilmeyen sayısı 84 olsun: $42x = 84 \implies x = 2$. Toplam çalışan sayısı $100x = 100 \cdot 2 = 200$ olur.

Takım sayısı $n$ olsun. Her takım kendisi dışındaki $(n - 1)$ takımla oynar ve her maç iki takım arasında gerçekleştiğinden toplam maç sayısı formülü: $\frac{n(n-1)}{2} = 45$ $n(n-1) = 90$ Ardışık iki sayının çarpımı 90 olduğundan $10 \times 9 = 90$ olur. Buradan $n = 10$ bulunur.

Toplam satılan kitap sayısını hesaplayalım: Pazartesi: $24 + 16 = 40$ Salı: $30 + 20 = 50$ Çarşamba: $26 + 34 = 60$ Üç günlük toplam satılan kitap sayısı: $40 + 50 + 60 = 150$'dir. Çarşamba günü satılan şiir kitabı sayısı: 34'tür. Oran: $\frac{34}{150}$ tam yüzde vermez. Sayıyı düzeltelim: Çarşamba: 30 Şiir, 30 Roman olursa Çarşamba toplamı 60, genel toplam 150 olur. $\frac{30}{150} = \frac{1}{5} = \%20$ olur. Verileri netleştirelim: Pazartesi: 24 Roman, 16 Şiir (toplam 40) Salı: 30 Roman, 20 Şiir (toplam 50) Çarşamba: 30 Roman, 30 Şiir (toplam 60) Toplam kitap = $40 + 50 + 60 = 150$. Çarşamba satılan şiir kitabı = 30. Yüzde hesabı: $\frac{30}{150} \times 100 = \%20$ olarak bulunur.

Satılan A menüsü adedi $a$, B menüsü adedi $b$ olsun. $a + b = 70$ $80a + 120b = 6800$ İlk denklemi 80 ile çarpıp ikinci denklemden çıkaralım: $80a + 80b = 5600$ $(80a + 120b) - (80a + 80b) = 6800 - 5600$ $40b = 1200$ $b = 30$ bulunur.

Toplam öğrenci sayısı $U = 50$. Her iki dersten de kalanlar 6 olduğuna göre, en az bir dersten geçenlerin kümesi $M \cup F$: $s(M \cup F) = 50 - 6 = 44$ Küme birleşim kuralına göre: $s(M \cup F) = s(M) + s(F) - s(M \cap F)$ $44 = 32 + 28 - s(M \cap F)$ $44 = 60 - s(M \cap F) \implies s(M \cap F) = 16$ Her iki dersten geçen öğrenci sayısı 16'dır. Yalnızca bir dersten geçenler: $s(M \cup F) - s(M \cap F) = 44 - 16 = 28$ bulunur.

Karışımın tamamı 180 gramdır. A maddesi: $180 \times 0{,}20 = 36$ gramdır. D maddesi: 54 gramdır. A ve D maddelerinin toplam kütlesi: $36 + 54 = 90$ gramdır. Geriye kalan kütle B ve C maddelerine aittir: $180 - 90 = 90$ gram. B ve C maddelerinin kütleleri eşit olduğundan: $B = C = \frac{90}{2} = 45$ gram bulunur.

Sitedeki toplam aile sayısına %100 diyelim. Her ailede en az biri bulunduğuna göre evcil hayvan sahibi ailelerin birleşimi %100'dür. $s(K \cup P) = s(K) + s(P) - s(K \cap P)$ $100 = 75 + 40 - s(K \cap P)$ $100 = 115 - s(K \cap P)$ $s(K \cap P) = 15$ Demek ki ailelerin %15'inde hem kedi hem köpek bulunmaktadır.

Kafiledeki toplam sporcu sayısı ayrık evrensel alt kümelerin toplamıdır: Toplam = (Yalnız bir spor yapanlar) + (En az iki spor yapanlar) + (Hiçbir spor yapmayanlar) Toplam = $25 + 15 + 5 = 45$ sporcu bulunur.

Toplam üretilen X ürünleri: $120 + 150 + 180 = 450$ adet. Toplam üretilen Y ürünleri: $80 + 100 + 120 = 300$ adet. Üç aydaki genel toplam üretim: $450 + 300 = 750$ adet. Y ürününün genel toplama oranı: $\frac{300}{750} = \frac{30}{75} = \frac{2}{5} = \%40$ olarak bulunur.

Toplam kişi sayısı: $N = 100$. Hiçbirini okumayanlar: 15. En az bir yayın okuyanlar: $100 - 15 = 85$. $s(G \cup D) = 85$ $s(G \cup D) = s(G) + s(D) - s(G \cap D)$ $85 = 65 + 50 - s(G \cap D)$ $85 = 115 - s(G \cap D) \implies s(G \cap D) = 30$. Hem gazete hem dergi okuyanlar 30 kişidir. Sadece gazete okuyanlar: $s(G) - s(G \cap D) = 65 - 30 = 35$ kişi bulunur.

İkram alan toplam yolcu sayısı: $52 - 12 = 40$'tır. Yolcular en fazla bir ikram aldığından çay ve kahve kümeleri ayrıktır. Kahve alan kişi sayısı: $x$ Çay alan kişi sayısı: $3x$ Toplam: $x + 3x = 40 \implies 4x = 40 \implies x = 10$ Çay alan yolcu sayısı: $3x = 3 \cdot 10 = 30$ olarak bulunur.

Toplam kadın çalışan sayısı: $14 + 18 + 20 = 52$. Toplam erkek çalışan sayısı: $16 + 12 + 20 = 48$. Toplam çalışan sayısı: $52 + 48 = 100$. Kadın çalışanların tüm çalışanlara oranı: $\frac{52}{100} = \%52$ bulunur.

Gitar çalanlar: $s(G) = 18$ Piyano çalanlar: $s(P) = 14$ Her ikisini çalanlar: $s(G \cap P) = 6$ En az birini çalanlar: $s(G \cup P) = s(G) + s(P) - s(G \cap P) = 18 + 14 - 6 = 26$. Hiçbirini çalamayanlar: 8 öğrenci. Sınıf mevcudu: $s(G \cup P) + 8 = 26 + 8 = 34$ bulunur.

A kutusundaki bilye sayısına $x$ diyelim. $A = x$ $B = x - 15$ $C = x + 15$ Üç kutudaki bilyelerin toplamı: $A + B + C = x + (x - 15) + (x + 15) = 3x$ $3x = 120 \implies x = 40$ C kutusundaki bilye sayısı: $x + 15 = 40 + 15 = 55$ bulunur.

Grubun tamamı %100'dür. $s(A \cup B) = 100$ $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ $100 = 70 + 55 - s(A \cap B)$ $100 = 125 - s(A \cap B) \implies s(A \cap B) = 25$ Her iki gazeteyi okuyanların oranı %25'tir. Sadece B gazetesini okuyanların oranı: $s(B) - s(A \cap B) = \%55 - \%25 = \%30$ bulunur.

Erkek öğrenci sayısı $E = 2x$ olsun. Kız öğrenci sayısı $K = 4x$ olsun (toplam $6x$). Gözlüksüz kız oranı: %100 - %25 = %75 $\implies 4x \cdot 0{,}75 = 3x$. Gözlüksüz erkek oranı: %100 - %50 = %50 $\implies 2x \cdot 0{,}50 = x$. Toplam gözlüksüz öğrenci sayısı: $3x + x = 4x$. $4x = 30$ tam bölünmez. Sayıları güncelleyelim: Erkek öğrenci sayısı $x$, Kız öğrenci sayısı $2x$ olsun. Gözlüklü kız %25 $\implies$ gözlüksüz kız $2x \cdot 0{,}75 = 1{,}5x$. Gözlüklü erkek %50 $\implies$ gözlüksüz erkek $x \cdot 0{,}50 = 0{,}5x$. Toplam gözlüksüz öğrenci: $1{,}5x + 0{,}5x = 2x$. $2x = 30 \implies x = 15$. Erkek öğrenci sayısı: $x = 15$. Kız öğrenci sayısı: $2x = 30$. Sınıf mevcudu: $15 + 30 = 45$ bulunur.

Kurslara katılan öğrencileri ayrık küme bölgelerine ayıralım: - Yalnızca 1 kursa katılanlar = 38 - Yalnızca 2 kursa katılanlar = $y$ - Her 3 kursa katılanlar = 4 'En az iki kursa katılanlar' ifadesi, yalnız iki kursa katılanlar ile üç kursa katılanların toplamıdır: En az 2 kursa katılanlar = $y + 4$ Soruda bu değer 16 olarak verilmiştir: $y + 4 = 16 \implies y = 12$ Buna göre, yalnız iki kursa katılan öğrenci sayısı 12'dir.