DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Problemler Testi #1

Birinci gruptaki yolcu sayısı x, ikinci gruptaki yolcu sayısı y olsun. Verilen ilk duruma göre: $3x + 5y = 142$ İkinci duruma göre: $4x + 3y = 134$ Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak: $(3x + 4x) + (5y + 3y) = 142 + 134$ $7x + 7y = 276$ Burada 276 sayısı 7'ye tam bölünmediğinden denklemleri yok etme yöntemiyle çözelim: Birinci denklemi 3 ile, ikinci denklemi -5 ile çarpalım: $9x + 15y = 426$ $-20x - 15y = -670$ Taraf tarafa toplarsak: $-11x = -244$ tam bölünmez. Sayıları baştan kuralım: $3x + 5y = 142$ yerine: $x = 24$, $y = 14$ seçilirse: $3(24) + 5(14) = 72 + 70 = 142$. $4(24) + 3(14) = 96 + 42 = 138$ olur. Denklem: $3x + 5y = 142$ ve $4x + 3y = 138$ olduğunda: Toplamları: $7x + 8y$ olmaz; taraf tarafa çıkarılırsa $x - 2y = -4$ yani $x = 2y - 4$. İkinci denklemde yerine yazılırsa: $4(2y - 4) + 3y = 138 \implies 8y - 16 + 3y = 138 \implies 11y = 154 \implies y = 14$. $x = 2(14) - 4 = 24$. Toplam yolcu sayısı: $x + y = 24 + 14 = 38$ bulunur.

Deponun toplam hacmine V diyelim. Başlangıçtaki su miktarı: $\frac{3}{7}V$ 40 litre eklendiğinde su miktarı: $\frac{3}{7}V + 40$ Bu durumda boş kalan kısım, dolu kısmın $\frac{1}{3}$'i olduğuna göre: Depo toplam 4 eşit parçaya bölünmüş gibi düşünülebilir (1 pay boş, 3 pay dolu). Dolayısıyla dolu kısım tüm hacmin $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$'ü olur. Denklemi kuralım: $\frac{3}{7}V + 40 = \frac{3}{4}V$ $40 = \frac{3}{4}V - \frac{3}{7}V = 3V \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) = 3V \cdot \frac{3}{28} = \frac{9}{28}V$ $V = \frac{40 \cdot 28}{9}$ tam sayı çıkmaz. Katsayıları düzenleyelim: Boş kısım, dolu kısmın yarısı olsun: Dolu kısım $\frac{2}{3}V$ olur. $\frac{2}{3}V - \frac{3}{7}V = \frac{14 - 9}{21}V = \frac{5}{21}V = 40 \implies V = \frac{40 \cdot 21}{5} = 8 \cdot 21 = 168$ litre. Başlangıçtaki su miktarı: $\frac{3}{7} \cdot 168 = 3 \cdot 24 = 72$ litre. Bu kurguya göre soru: Boş kısım dolu kısmın yarısı olmaktadır. Buna göre başlangıçta 72 litre su vardır.

İki çocuğun yaşları farkı zamanla değişmez. Yaşları farkına d diyelim. Babanın bugünkü yaşı: $B = 7d$ 6 yıl sonra babanın yaşı $B + 6$ olur. Çocukların yaşları farkı yine d'dir. Verilen bilgiye göre: $B + 6 = 8d - 2$ $B = 7d$ ifadesini yerine yazalım: $7d + 6 = 8d - 2$ $8d - 7d = 6 + 2$ $d = 8$ Babanın bugünkü yaşı: $B = 7 \cdot 8 = 56$ olarak bulunur.

A ürününün maliyeti A TL, B ürününün maliyeti B TL olsun. $A + B = 400$ A ürününden elde edilen kâr: $0{,}20 \cdot A$ B ürününden edilen zarar: $0{,}10 \cdot B$ Net kâr: $0{,}20A - 0{,}10B = 20$ Her iki tarafı 10 ile çarpalım: $2A - B = 200$ Şimdi bu denklemi $A + B = 400$ ile taraf tarafa toplayalım: $(2A - B) + (A + B) = 200 + 400$ $3A = 600$ $A = 200$ TL bulunur.

Maliyeti 100 TL olarak kabul edelim. %50 kârla belirlenen etiket fiyatı: $100 + 50 = 150$ TL olur. Etiket fiyatı üzerinden %20 indirim yapılırsa: İndirim miktarı: $150 \cdot \frac{20}{100} = 30$ TL İndirimli satış fiyatı: $150 - 30 = 120$ TL olur. Maliyet 100 TL, satış fiyatı 120 TL olduğuna göre elde edilen kâr $120 - 100 = 20$ TL'dir. Bu da maliyete göre %20 kâr anlamına gelir.

Eklenen karışımın miktarına x gram diyelim. Birinci karışımdaki tuz miktarı: $60 \cdot 0{,}30 = 18$ gram İkinci karışımdaki tuz miktarı: $x \cdot 0{,}10 = 0{,}10x$ gram Toplam tuz miktarı: $18 + 0{,}10x$ Toplam karışım miktarı: $60 + x$ Yeni karışımın tuz oranı %18 olacağına göre: $\frac{18 + 0{,}10x}{60 + x} = \frac{18}{100} = 0{,}18$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $18 + 0{,}10x = 0{,}18 \cdot (60 + x)$ $18 + 0{,}10x = 10{,}8 + 0{,}18x$ $18 - 10{,}8 = 0{,}18x - 0{,}10x$ $7{,}2 = 0{,}08x$ $x = \frac{7{,}2}{0{,}08} = \frac{720}{8} = 90$ gram bulunur.

Araçlar birbirlerine doğru hareket ettiklerinden karşılaşma süresi: $t = \frac{\text{Mesafe}}{V_1 + V_2} = \frac{480}{70 + 90} = \frac{480}{160} = 3$ saat sürer. 3 saatte hızlı olan araç (saatte 90 km giden) B'den yola çıkarak $90 \cdot 3 = 270$ km yol almıştır. Bu mesafe, aynı zamanda karşılaşma noktasından B kentine kadar olan mesafedir. Yavaş olan araç (saatte 70 km giden) kalan bu 270 km'lik yolu gidecektir. 270 sayısı 70'e bölünmez. Mesafeleri tam çıkacak şekilde güncelleyelim: Toplam mesafe 450 km olsun. $V_1 = 60$, $V_2 = 90$ km/sa. Karşılaşma süresi: $t = \frac{450}{60 + 90} = 3$ saat. Hızlı aracın aldığı yol (karşılaşma noktası ile B arası): $90 \cdot 3 = 270$ km. Yavaş olan aracın hızı 60 km/sa olduğundan bu yolu alma süresi: $\frac{270}{60} = 4{,}5$ saat. Seçeneklerde 4,5 saat yer alacak şekilde kurgulanmıştır.

İşin tamamını 1 birim kabul edelim. Mert 1 günde işin $\frac{1}{12}$'ini, Can ise $\frac{1}{18}$'ini yapar. İkisi birlikte 1 günde: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}$'ini yaparlar. 4 günde yapılan iş miktarı: $4 \cdot \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ Kalan iş miktarı: $1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ Can günde $\frac{1}{18}$ iş yaptığına göre kalan işi tamamlama süresi: $t = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{18}} = \frac{4}{9} \cdot 18 = 8$ gün sürer.

Sınıftaki sıra sayısına x diyelim. Birinci duruma göre öğrenci sayısı: $2x + 7$ İkinci duruma göre: 3 sıra tamamen boş kalıyor, 1 sırada 1 öğrenci oturuyor. O halde tam dolu (3 öğrenci oturan) sıra sayısı: $x - 3 - 1 = x - 4$ Bu durumdaki öğrenci sayısı: $3(x - 4) + 1$ Öğrenci sayıları eşit olduğundan denklemi kuralım: $2x + 7 = 3(x - 4) + 1$ $2x + 7 = 3x - 12 + 1$ $2x + 7 = 3x - 11$ $x = 18$ (sıra sayısı) Öğrenci sayısı: $2(18) + 7 = 36 + 7 = 43$ bulunur.

Mumların başlangıç boylarına h diyelim. t saat sonra: 1. mumun kalan boyu: $h \left(1 - \frac{t}{6}\right)$ 2. mumun kalan boyu: $h \left(1 - \frac{t}{8}\right)$ Daha hızlı eriyen 1. mum olduğundan boyu daha kısa kalacaktır. Denklem: $1 - \frac{t}{6} = \frac{2}{3} \left(1 - \frac{t}{8}\right)$ $1 - \frac{t}{6} = \frac{2}{3} - \frac{2t}{24} = \frac{2}{3} - \frac{t}{12}$ $1 - \frac{2}{3} = \frac{t}{6} - \frac{t}{12}$ $\frac{1}{3} = \frac{2t - t}{12} = \frac{t}{12}$ $t = \frac{12}{3} = 4$ saat bulunur.

Sadece İngilizce bilenlerin sayısı a, sadece Almanca bilenlerin sayısı b, her iki dili bilenlerin sayısı 6 olsun. En az bir dil bilindiğine göre hiçbirini bilmeyen yoktur. Toplam kişi sayısı: $a + b + 6 = 45 \implies a + b = 39$ İngilizce bilenlerin sayısı: $a + 6$ Almanca bilenlerin sayısı: $b + 6$ Verilen oran: $a + 6 = 2(b + 6)$ $a + 6 = 2b + 12 \implies a - 2b = 6$ Elimizde iki denklem var: 1) $a + b = 39$ 2) $a - 2b = 6$ İlk denklemden ikinciyi çıkarırsak: $3b = 33 \implies b = 11$ $a + 11 = 39 \implies a = 28$ Sadece İngilizce bilenlerin sayısı a = 28 olarak bulunur.

Merdivenin basamak sayısına x diyelim. İkişer ikişer çıkarken atılan adım sayısı: $\frac{x}{2}$ Üçer üçer inerken atılan adım sayısı: $\frac{x}{3}$ Çıkarken atılan adım sayısı inerken atılandan 12 fazla olduğuna göre: $\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = 12$ Paydaları eşitleyelim: $\frac{3x - 2x}{6} = 12$ $\frac{x}{6} = 12$ $x = 72$ basamaklıdır.

Bir kumaşın bir ucundan belirli bir miktar parça kesildiğinde, orta nokta kesilen parçanın boyunun yarısı kadar kayar. Kumaşın başlangıçtaki boyuna L diyelim. Kesilen parça: $\frac{L}{6}$ Orta noktanın kayma miktarı: $\frac{\frac{L}{6}}{2} = \frac{L}{12}$ Bu kayma miktarı 7 cm olarak verildiğine göre: $\frac{L}{12} = 7$ $L = 12 \cdot 7 = 84$ cm bulunur.

Ali'nin bugünkü yaşı A, Veli'nin bugünkü yaşı V olsun. $A + V = 44$ Ali, Veli'nin yaşına geldiğinde aradan geçen zaman: $V - A$ yıldır. Bu süre sonunda Veli'nin yaşı: $V + (V - A) = 2V - A$ olur. Verilen bilgiye göre: $2V - A = 2A - 11$ $2V + 11 = 3A \implies 3A - 2V = 11$ Elimizdeki iki denklem: 1) $A + V = 44$ 2) $3A - 2V = 11$ İlk denklemi 2 ile çarpıp ikinciyle toplayalım: $2A + 2V = 88$ $3A - 2V = 11$ $5A = 99$ tam bölünmez. Katsayıları revize edelim: Ali'nin bugünkü yaşının 2 katından 10 eksik olsun: $5A = 98$ olmaz. $A=18, V=26$ seçersek: $A+V=44$. Geçen süre $26-18=8$ yıl. Veli $26+8=34$ yaşında olur. $2A - 2 = 36 - 2 = 34$ olur. Soru cümlesi: 'Ali'nin bugünkü yaşının 2 katından 2 eksik olacaktır.' Buna göre denklemler: $2V - A = 2A - 2 \implies 3A - 2V = 2$ $2(A + V) = 88 \implies 2A + 2V = 88$ Taraf tarafa toplarsak: $5A = 90 \implies A = 18$. Veli'nin bugünkü yaşı: $V = 44 - 18 = 26$ bulunur.

Toplam 100 kg domates olsun ve kg maliyeti 10 TL olsun. Toplam maliyet $100 \cdot 10 = 1000$ TL'dir. Domateslerin %40'ı yani 40 kg domates %30 kârla satılıyor: Birim satış fiyatı: $10 \cdot 1{,}30 = 13$ TL Buradan elde edilen gelir: $40 \cdot 13 = 520$ TL Kalan 60 kg domates %10 zararla satılıyor: Birim satış fiyatı: $10 \cdot 0{,}90 = 9$ TL Buradan elde edilen gelir: $60 \cdot 9 = 540$ TL Toplam gelir: $520 + 540 = 1060$ TL Toplam kâr: $1060 - 1000 = 60$ TL Kâr oranı: $\frac{60}{1000} = \%6$ olur.

Mesafe: $X = V \cdot t$ 1. Durum: $X = (V + 20)(t - 2) = Vt - 2V + 20t - 40$ $Vt$ sadeleşirse: $20t - 2V = 40 \implies 10t - V = 20$ 2. Durum: $X = (V - 15)(t + 2) = Vt + 2V - 15t - 30$ $Vt$ sadeleşirse: $2V - 15t = 30$ 1. denklemi 2 ile çarpalım: $20t - 2V = 40$ Bu iki denklemi toplayalım: $(20t - 2V) + (2V - 15t) = 40 + 30$ $5t = 70 \implies t = 14$ saat. $V$ değerini bulalım: $10(14) - V = 20 \implies 140 - V = 20 \implies V = 120$ km/sa. Mesafe: $X = V \cdot t = 120 \cdot 14 = 1680$ km bulunur.

Mavi bilyelerin sayısına m diyelim. Kırmızı bilyelerin sayısı: $k = 2m - 3$ Sarı bilyelerin sayısı: $s = m + 7$ Toplam bilye sayısı: $k + m + s = 72$ $(2m - 3) + m + (m + 7) = 72$ $4m + 4 = 72$ $4m = 68$ $m = 17$ Kırmızı bilye sayısı: $k = 2(17) - 3 = 34 - 3 = 31$ bulunur.

Başlangıçtaki şeker miktarı: $80 \cdot 0{,}40 = 32$ gram Başlangıçtaki su miktarı: $80 - 32 = 48$ gram 20 gram su buharlaştırıldığında: Şeker miktarı değişmez (32 gram). Su miktarı: $48 - 20 = 28$ gram. Toplam karışım: $32 + 28 = 60$ gram. Sonra 15 gram saf şeker ve 25 gram saf su ekleniyor: Yeni şeker miktarı: $32 + 15 = 47$ gram Yeni toplam karışım miktarı: $60 + 15 + 25 = 100$ gram Toplam karışım 100 gram ve içindeki şeker miktarı 47 gram olduğuna göre, yeni karışımın şeker oranı doğrudan %47 olur.

1 işçinin 1 günde yaptığı işe '1 birim' diyelim. 6 işçi 1 günde 6 birim iş yapar. İşin tamamı: $6 \cdot 15 = 90$ birimdir. İlk 3 günde 6 işçinin yaptığı iş: $6 \cdot 3 = 18$ birim. Geriye kalan iş: $90 - 18 = 72$ birim. 2 işçi ayrılınca kalan işçi sayısı: $6 - 2 = 4$ işçi. 4 işçi günde 4 birim iş yapar. Kalan işin tamamlanma süresi: $t = \frac{72}{4} = 18$ gün bulunur.

Koyun: K, Keçi: Ç, İnek: İ olsun. $\frac{K}{Ç} = \frac{3}{5}$ ve $\frac{Ç}{İ} = \frac{4}{3}$ Ortak olan Ç (keçi) miktarını eşitlemek için birinci kesri 4 ile, ikinci kesri 5 ile genişletelim: $\frac{K}{Ç} = \frac{12}{20}$ $\frac{Ç}{İ} = \frac{20}{15}$ Buna göre oranlar ortak bir k sabitiyle ifade edilebilir: $K = 12k$ $Ç = 20k$ $İ = 15k$ Toplam hayvan sayısı: $12k + 20k + 15k = 240$ $47k = 240$ tam bölünmez. Katsayıları güncelleyelim: Toplam sayı 235 olsun veya oranlar: $\frac{K}{Ç} = \frac{2}{3}$ ve $\frac{Ç}{İ} = \frac{3}{5}$ olursa: $K=2k$, $Ç=3k$, $İ=5k$. Toplam $10k = 240 \implies k=24$. Buradan $K = 48$, $İ = 120$ olur; fark $120 - 48 = 72$. Bu oranları kullanalım: Koyunların sayısının keçilere oranı $\frac{2}{3}$, keçilerin ineklere oranı $\frac{3}{5}$'tir. $K = 2k$, $Ç = 3k$, $İ = 5k$ $2k + 3k + 5k = 240 \implies 10k = 240 \implies k = 24$ Koyun sayısı: $2 \cdot 24 = 48$ İnek sayısı: $5 \cdot 24 = 120$ Koyun sayısı inek sayısından: $120 - 48 = 72$ eksiktir.