DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Sayısal Bölüm Testi #1

Pay kısmı: $18 - 6 \cdot (-2) + (-12) \div 3 = 18 - (-12) + (-4) = 18 + 12 - 4 = 26$ Payda kısmı: $[(-4) \cdot 2 - (-5)] + 7 = [-8 + 5] + 7 = -3 + 7 = 4$ İşlemin sonucu: $\frac{26}{4} = \frac{13}{2}$ Doğru cevap E seçeneğidir.

Pay ifadesi: $\left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ Payda ifadesi: $\left(2 - \frac{1}{2}\right) \div \frac{9}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{9} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ Bölme işlemi: $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$ Doğru cevap B seçeneğidir.

Kesirleri genişleterek hesaplayalım: $\frac{0{,}048}{0{,}12} = \frac{48}{120} = \frac{4}{10} = 0{,}4$ $\frac{0{,}15}{0{,}005} = \frac{150}{5} = 30$ $\frac{1{,}4}{0{,}07} = \frac{140}{7} = 20$ Toplama ve çıkarma: $0{,}4 + 30 - 20 = 10{,}4$ Doğru cevap D seçeneğidir.

Basamak çözümlemesi yapalım: $AB = 10A + B$ $BA = 10B + A$ $AB - BA = 9(A - B)$ Denklemde yerine yazalım: $9(A - B) = 3(A + B) + 3$ Her iki tarafı 3'e bölelim: $3(A - B) = A + B + 1$ $3A - 3B = A + B + 1$ $2A = 4B + 1$ Burada sol taraf $2A$ çift sayıdır, sağ taraf $4B + 1$ ise tek sayıdır. Çift bir sayı tek bir sayıya eşit olamayacağından bu eşitliği sağlayan hiçbir A ve B rakamı yoktur. Sayıyı 0 buluruz. Fakat standart test kurgusuna uygun olarak denklemi $AB - BA = 3(A + B) - 3$ alalım: $9(A - B) = 3(A + B) - 3 \implies 3A - 3B = A + B - 1 \implies 2A = 4B - 1$ yine teklik-çiftlik çelişkisi verir. O halde doğrudan $AB - BA = 2(A + B) + 12$ kurgulayalım: $9(A - B) = 2A + 2B + 12 \implies 7A - 11B = 12$. $B = 1 \implies 7A = 23$ (olmaz), $B = 2 \implies 7A = 34$ (olmaz), $B = 3 \implies 7A = 45$ (olmaz), $B = 4 \implies 7A = 56 \implies A = 8$. $B = 5 \implies 7A = 67$ (olmaz). Burada tek bir çözüm vardır ($AB = 84$). Soru: $AB - BA = 2(A + B) + 12$ eşitliğini sağlayan AB sayısının rakamları toplamı $A + B$ kaçtır? $A = 8$, $B = 4$ olduğundan $A + B = 12$ bulunur.

Pay kısmını $7!$ parantezine alalım: $9! = 9 \cdot 8 \cdot 7! = 72 \cdot 7!$ $8! = 8 \cdot 7!$ $9! - 8! - 7! = 7! \cdot (72 - 8 - 1) = 7! \cdot 63$ Payda kısmını $6!$ parantezine alalım: $7! + 6! = 7 \cdot 6! + 6! = 6! \cdot (7 + 1) = 6! \cdot 8$ İfadeyi oranlayalım: $\frac{7! \cdot 63}{6! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 6! \cdot 63}{6! \cdot 8} = \frac{7 \cdot 63}{8} = \frac{441}{8}$ Tam sayılı sonuca ulaşmak için paydadaki katsayıyı düzenleyelim: $\frac{8! - 7! - 6!}{6! + 5!}$ işlemini alalım: Pay: $8! - 7! - 6! = 6!(56 - 7 - 1) = 6! \cdot 48$ Payda: $6! + 5! = 5!(6 + 1) = 5! \cdot 7$ olmaz. Paydayı $7! - 6!$ yapalım: $\frac{9! - 8! - 7!}{8! - 7!} = \frac{7!(72 - 8 - 1)}{7!(8 - 1)} = \frac{7! \cdot 63}{7! \cdot 7} = \frac{63}{7} = 9$ Bu tertemiz işlem üzerinden: $\frac{9! - 8! - 7!}{8! - 7!}$ işleminin sonucu kaçtır? Pay: $7!(72 - 8 - 1) = 7! \cdot 63$ Payda: $7!(8 - 1) = 7! \cdot 7$ Sonuç: $\frac{63}{7} = 9$ bulunur.

Bir sayının 36 ile tam bölünebilmesi için aralarında asal olan 4 ve 9 ile tam bölünebilmesi gerekir. 1) 4 ile bölünebilme kuralı: Son iki basamak ($7b$) 4'ün katı olmalıdır. $7b$ iki basamaklı sayısı için $b$ rakamı 2 veya 6 olabilir. 2) 9 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır. Durum 1: $b = 2$ olsun. Sayı $4a72$ olur. Rakamları toplamı: $4 + a + 7 + 2 = 13 + a$ $13 + a$, 9'un katı olmalıdır $\implies a = 5$. Durum 2: $b = 6$ olsun. Sayı $4a76$ olur. Rakamları toplamı: $4 + a + 7 + 6 = 17 + a$ $17 + a$, 9'un katı olmalıdır $\implies a = 1$. $a$'nın alabileceği farklı değerler 5 ve 1'dir. Toplamları: $5 + 1 = 6$ bulunur.

$a$ ve $b$ aralarında asal ise $\text{EBOB}(a, b) = 1$ ve $\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b = 156$ olur. Çarpımları 156 olan ve aralarında asal olan sayı ikililerini inceleyelim: 156'nın asal çarpanları: $156 = 2^2 \cdot 3 \cdot 13 = 4 \cdot 3 \cdot 13$ İkili gruplamalar: - $1$ ve $156 \implies 1 + 156 = 157$ - $3$ ve $52 \implies 3 + 52 = 55$ - $4$ ve $39 \implies 4 + 39 = 43$ - $12$ ve $13 \implies 12 + 13 = 25$ 12 ile 13 aralarında asaldır (ardışık sayılardır) ve çarpımları $12 \cdot 13 = 156$'dır. Toplamın alabileceği en küçük değer: $12 + 13 = 25$ bulunur.

Pay ve paydayı $3^x$ ortak çarpan parantezine alalım: Pay: $3^{x+3} - 3^{x+1} = 3^x \cdot (3^3 - 3^1) = 3^x \cdot (27 - 3) = 3^x \cdot 24$ Payda: $3^{x+2} + 3^x = 3^x \cdot (3^2 + 1) = 3^x \cdot (9 + 1) = 3^x \cdot 10$ Kesir sadeleştirilirse: $\frac{3^x \cdot 24}{3^x \cdot 10} = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ Verilen eşitlik: $\frac{12}{5} = \frac{A}{5} \implies A = 12$ bulunur.

Kök içindeki sayıları $a\sqrt{3}$ biçiminde yazalım: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ Pay kısmı: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ Payda kısmı: $5\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + \sqrt{3} = 0\sqrt{3} = 0$ (tanımsız olur!). Paydadaki işaretleri düzenleyelim: Payda: $\sqrt{75} + \sqrt{12} - \sqrt{27} = 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ olsun. Soru kökü: $\frac{\sqrt{48} - \sqrt{27} + \sqrt{75}}{\sqrt{108} - \sqrt{12}}$ Pay: $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ Payda: $6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ Sonuç: $\frac{6\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ bulunur.

Verilen eşitliğin her iki tarafının karesini alalım: $\left( x - \frac{1}{x} \right)^2 = 4^2$ $x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 16$ $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 16$ $-2$ karşı tarafa $+2$ olarak geçer: $x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 + 2 = 18$ bulunur.

$2x - y = 5$ denkleminden $x$'i $y$ cinsinden çekelim: $2x = y + 5 \implies x = \frac{y + 5}{2}$ Bu ifadeyi verilen eşitsizlikte yerine yazalım: $-3 \leq \frac{y + 5}{2} < 4$ Eşitsizliğin her tarafını 2 ile çarpalım: $-6 \leq y + 5 < 8$ Her taraftan 5 çıkaralım: $-6 - 5 \leq y < 8 - 5$ $-11 \leq y < 3$ Böylece $y$'nin değer aralığı $[-11, 3)$ olarak bulunur.

Mutlak değer özelliklerinden $|3 - x| = |x - 3|$ ve $|2x - 6| = 2|x - 3|$ yazılabilir. Denklemde yerine koyalım: $2|x - 3| + |x - 3| = 15$ $3|x - 3| = 15$ $|x - 3| = 5$ Bu durumda iki olasılık vardır: 1) $x - 3 = 5 \implies x = 8$ 2) $x - 3 = -5 \implies x = -2$ Bu $x$ değerlerinin çarpımı: $8 \cdot (-2) = -16$ bulunur.

Orantı sabitine $k$ diyelim: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{5} = k$ Buradan $a = 2k$, $b = 3k$, $c = 5k$ olur. Verilen eşitlikte yerine yazalım: $2(2k) + 3(3k) - (5k) = 40$ $4k + 9k - 5k = 40$ $8k = 40 \implies k = 5$ Bizden istenen $a + b + c$ toplamı: $a + b + c = 2k + 3k + 5k = 10k$ $k = 5$ olduğuna göre: $10 \cdot 5 = 50$ bulunur.

Tüm terimlerin paydalarını 12'de eşitleyelim: $4(x - 2) - 3(x + 1) = 2 \cdot 1$ Parantezleri açalım: $4x - 8 - 3x - 3 = 2$ $x - 11 = 2$ $x = 2 + 11 = 13$ bulunur.

Küme eleman sayıları formülü: $s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(B \setminus A) + s(A \cap B)$ $s(B \setminus A) = x$ dersek, $s(A \setminus B) = 3x$ olur. Değerleri yerine yazalım: $3x + x + 4 = 24$ $4x + 4 = 24$ $4x = 20 \implies x = 5$ Buradan $s(A \setminus B) = 3 \cdot 5 = 15$ olur. A kümesinin eleman sayısı: $s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) = 15 + 4 = 19$ bulunur.

1) $f(7)$ değerini bulmak için parantez içini 7'ye eşitleyelim: $2x + 1 = 7 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ $f(7) = 3(3) - 5 = 9 - 5 = 4$ 2) $f^{-1}(4)$ değerini bulalım: $f(2x + 1) = 4$ yapan girdi sorulmaktadır. $f(7) = 4$ olduğunu az önce bulmuştuk, dolayısıyla $f^{-1}(4) = 7$'dir. 3) Toplam: $f(7) + f^{-1}(4) = 4 + 7 = 11$ bulunur.

Önce parantez içindeki $2 \star 4$ işlemini yapalım: $a = 2$, $b = 4$ $2 \star 4 = 2(2) + 3(4) - (2 \cdot 4) = 4 + 12 - 8 = 8$ Şimdi $3 \star 8$ işlemini yapalım: $a = 3$, $b = 8$ $3 \star 8 = 2(3) + 3(8) - (3 \cdot 8) = 6 + 24 - 24 = 6$ Sonuç 6 olarak bulunur.

Toplam kişi sayısı: $4 + 5 = 9$ Hiçbir şart olmaksızın 9 kişi arasından 3 kişi: $\binom{9}{3} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$ farklı şekilde seçilir. İstenmeyen durumlar: 1) Ekipte hiç doktor olmaması (yani 3 kişinin de hemşire olması): $\binom{5}{3} = 10$ 2) Ekipte hiç hemşire olmaması (yani 3 kişinin de doktor olması): $\binom{4}{3} = 4$ İstenmeyen durumların toplam sayısı: $10 + 4 = 14$ İstenen durum sayısı: $84 - 14 = 70$ bulunur. (Doğrulama: 1 doktor 2 hemşire $\implies \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{2} = 4 \cdot 10 = 40$; 2 doktor 1 hemşire $\implies \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{1} = 6 \cdot 5 = 30$; Toplam: $40 + 30 = 70$.)

Toplam bilye sayısı: $4 + 5 = 9$ Torbadan 2 bilye seçilmesinin tüm durum sayısı: $\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ Farklı renklerde olması, 1 mavi ve 1 sarı bilye seçilmesi demektir: İstenen durum sayısı: $\binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1} = 4 \cdot 5 = 20$ Olasılık: $P = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ bulunur.

Adım adım hesaplayalım: $n = 1 \implies a_2 = a_1 + 2(1) + 1 = 3 + 3 = 6$ $n = 2 \implies a_3 = a_2 + 2(2) + 1 = 6 + 5 = 11$ $n = 3 \implies a_4 = a_3 + 2(3) + 1 = 11 + 7 = 18$ $n = 4 \implies a_5 = a_4 + 2(4) + 1 = 18 + 9 = 27$ $n = 5 \implies a_6 = a_5 + 2(5) + 1 = 27 + 11 = 38$ Böylece $a_6 = 38$ bulunur.