DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Fonksiyonlar & Polinomlar Testi #6

Bileşke fonksiyon kuralına göre $(f \circ g)(2) = f(g(2))$ olur. Önce $g(2)$ değerini bulalım: $g(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ Şimdi bu değeri $f$ fonksiyonunda yerine yazalım: $f(5) = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7$ Sonuç: B şıkkı.

Bir $P(x)$ polinomunun $(x - 2)$ ile bölümünden kalan, $P(2)$ değerine eşittir. Verilen bilgiye göre $P(2) = 6$ olmalıdır. Polinomda $x = 2$ yazalım: $P(2) = 2^3 - 2(2^2) + a(2) + 4 = 6$ $8 - 2(4) + 2a + 4 = 6$ $8 - 8 + 2a + 4 = 6$ $2a + 4 = 6$ $2a = 2 \Rightarrow a = 1$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$f^{-1}(2)$ değerini bulmak için, $f(x)$ fonksiyonunu 2'ye eşitleyip $x$'i bulmamız gerekir. Yani $f(x) = 2$ eşitliğini sağlayan $x$ değeri aranmaktadır. $\frac{3x - 1}{x + 2} = 2$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $3x - 1 = 2(x + 2)$ $3x - 1 = 2x + 4$ $3x - 2x = 4 + 1$ $x = 5$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

$P(x)$ polinomunun $(x - 1)$ ile bölümünden kalanı bulmak için, böleni sıfıra eşitleyen $x = 1$ değerini $P(x)$'te yerine yazmalıyız. Yani bizden istenen değer $P(1)$'dir. Verilen $P(x - 1) = x^2 + 3x - 2$ eşitliğinde $P(1)$'i elde etmek için parantez içini 1'e eşitlemeliyiz: $x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2$ yazılmalıdır. Eşitlikte $x$ yerine 2 koyarsak: $P(2 - 1) = 2^2 + 3(2) - 2$ $P(1) = 4 + 6 - 2 = 8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Verilen $f(x + y) = f(x) + f(y)$ eşitliği doğrusal fonksiyonların özel bir halidir ve $f(x) = cx$ formundaki fonksiyonlar bu şartı sağlar. $f(2) = 6$ ise $c(2) = 6 \Rightarrow c = 3$ olur. Dolayısıyla $f(x) = 3x$'tir. Adım adım gitmek istersek: $f(2) = f(1) + f(1) = 2f(1) = 6 \Rightarrow f(1) = 3$ $f(5) = f(1 + 1 + 1 + 1 + 1) = 5f(1)$ $f(5) = 5 \cdot 3 = 15$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomda değişken yerine 1 yazılarak bulunur. Yani $P(1)$ değeri katsayılar toplamına eşittir. Polinomda $x = 1$ yazalım: $P(1) = (2(1)^2 - 1 - 2)^4$ $P(1) = (2(1) - 1 - 2)^4$ $P(1) = (2 - 3)^4$ $P(1) = (-1)^4 = 1$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İç içe fonksiyon kuralı gereği önce en içteki değeri, yani $f(1)$'i bulmalıyız. $x = 1$ değeri, $1 < 2$ aralığına düştüğü için birinci denklemi kullanırız: $f(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3$ Bizden istenen değer $f(f(1)) = f(3)$'tür. Şimdi $f(3)$ değerini bulalım. $x = 3$ değeri, $3 \geq 2$ aralığına düştüğü için ikinci denklemi kullanırız: $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Polinomların derecelerini $\text{der}[P(x)] = p$ ve $\text{der}[Q(x)] = q$ olarak adlandıralım. Birinci eşitlikten: $\text{der}[P(x)^2 \cdot Q(x)] = 2p + q = 11$ İkinci eşitlikten: $\text{der}\left[\frac{P(x)}{Q(x)}\right] = p - q = 1$ Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(2p + q) + (p - q) = 11 + 1$ $3p = 12 \Rightarrow p = 4$ Bulduğumuz $p$ değerini ikinci denklemde yerine yazalım: $4 - q = 1 \Rightarrow q = 3$ İki polinom toplandığında veya çıkarıldığında oluşan yeni polinomun derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşittir. $\text{der}[P(x) + Q(x)] = \max(p, q) = \max(4, 3) = 4$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$f(2x - 1)$ ifadesinde parantez içinin $x$ olabilmesi için değişken dönüştürme veya ifadenin içindeki $(2x - 1)$ kalıbını dışarıda arama yöntemini kullanabiliriz. Eşitliğin sağ tarafındaki $4x^2 - 4x + 5$ ifadesini $(2x - 1)$ cinsinden yazmaya çalışalım. Bilindiği gibi $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$'dir. Sağ tarafı bu ifadeye benzetmek için şöyle yazabiliriz: $4x^2 - 4x + 5 = (4x^2 - 4x + 1) + 4 = (2x - 1)^2 + 4$ Yani, $f(2x - 1) = (2x - 1)^2 + 4$ olmuştur. Her iki taraftaki $(2x - 1)$ yerine $x$ yazarsak, fonksiyonun kuralını buluruz: $f(x) = x^2 + 4$ Sonuç: B şıkkı.

$P(x)$ polinomu $(x^2 - 4)$ ile tam bölünüyorsa, $(x^2 - 4)$'ün çarpanları olan $(x - 2)$ ve $(x + 2)$ ile de ayrı ayrı tam bölünür. Yani kalanı 0'dır. Bölenleri sıfıra eşitleyelim: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ ve $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$. Bu durumda $P(2) = 0$ ve $P(-2) = 0$ olmalıdır. $P(2) = 2^3 - 3(2^2) + m(2) + n = 0 \Rightarrow 8 - 12 + 2m + n = 0 \Rightarrow 2m + n = 4$ $P(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + m(-2) + n = 0 \Rightarrow -8 - 12 - 2m + n = 0 \Rightarrow -2m + n = 20$ Elde ettiğimiz iki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(2m + n) + (-2m + n) = 4 + 20$ $2n = 24 \Rightarrow n = 12$ $n = 12$ değerini birinci denklemde yerine yazalım: $2m + 12 = 4 \Rightarrow 2m = -8 \Rightarrow m = -4$ Bizden $m + n$ toplamı isteniyor: $m + n = (-4) + 12 = 8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için, ifadedeki değişkenlerin (x) sadeleşerek ortadan kalkması veya oranlarının aynı olması gerekir. Paydada $x^2$'li terim olmadığı (katsayısı 0 olduğu) için pay kısmında da $x^2$'li terim olmamalıdır. $a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$ Fonksiyon şu hale gelir: $f(x) = \frac{4x + b}{2x + 3}$ Doğrusal orantılı ifadelerin sabit fonksiyon belirtmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalıdır: $\frac{4}{2} = \frac{b}{3}$ $2 = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 6$ Bizden $a \cdot b$ çarpımı isteniyor: $a \cdot b = 2 \cdot 6 = 12$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

$P(1) = 0$ ve $P(3) = 0$ olduğundan, $P(x)$ polinomunun kökleri 1 ve 3'tür. Buna göre $P(x)$ polinomunu $P(x) = a(x - 1)(x - 3)$ şeklinde yazabiliriz. Baş katsayıyı ($a$) bulmak için $P(2) = -2$ bilgisini kullanalım: $P(2) = a(2 - 1)(2 - 3) = -2$ $a(1)(-1) = -2$ $-a = -2 \Rightarrow a = 2$ Yani polinomumuz: $P(x) = 2(x - 1)(x - 3)$ şeklindedir. Bizden istenen $P(4)$ değeridir: $P(4) = 2(4 - 1)(4 - 3)$ $P(4) = 2(3)(1) = 6$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$f(x)$ doğrusal bir fonksiyon olduğuna göre, $f(x) = ax + b$ şeklinde ifade edilir. Bu durumda $f(x + 2) = a(x + 2) + b = ax + 2a + b$ olur. Verilen denklemde bunları yerlerine yazalım: $(ax + b) + (ax + 2a + b) = 4x + 10$ $2ax + 2a + 2b = 4x + 10$ Polinomların (fonksiyonların) eşitliğinden, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşittir: $2a = 4 \Rightarrow a = 2$ $2a + 2b = 10 \Rightarrow 2(2) + 2b = 10 \Rightarrow 4 + 2b = 10 \Rightarrow 2b = 6 \Rightarrow b = 3$ Bulduğumuz katsayıları kullanarak fonksiyonu yazalım: $f(x) = 2x + 3$ Bizden istenen $f(3)$ değerini bulalım: $f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Eşitliğin sağ tarafı 2. dereceden bir polinom olduğu için $P(x)$ polinomu da 2. dereceden olmalıdır. $P(x) = ax^2 + bx + c$ formundadır. $P(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)$ Şimdi bu iki polinomu toplayalım ve sağ tarafa eşitleyelim: $(ax^2 + bx + c) + (ax^2 + 2ax + bx + a + b + c) = 2x^2 + 2x + 3$ $2ax^2 + (2a + 2b)x + (a + b + 2c) = 2x^2 + 2x + 3$ Katsayıları eşitleyelim: $2a = 2 \Rightarrow a = 1$ $2a + 2b = 2 \Rightarrow 2(1) + 2b = 2 \Rightarrow 2b = 0 \Rightarrow b = 0$ $a + b + 2c = 3 \Rightarrow 1 + 0 + 2c = 3 \Rightarrow 2c = 2 \Rightarrow c = 1$ Polinomumuz: $P(x) = 1x^2 + 0x + 1 = x^2 + 1$ olarak bulunmuştur. Bizden istenen $P(2)$ değeridir: $P(2) = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İstenilen $f(3)$ değerini bulmak için verilen bileşke fonksiyon özelliğini kullanalım: $(f \circ g^{-1})(x) = f(g^{-1}(x)) = 3x - 2$. $f$'in içinin 3 olması isteniyor, yani $g^{-1}(x) = 3$ olmalıdır. $g^{-1}(x) = 3$ ifadesi, tanım gereği $g(3) = x$ demektir. $g(3)$ değerini bize verilen $g(x) = 2x + 1$ denkleminden bulabiliriz: $g(3) = 2(3) + 1 = 7$. Yani $x = 7$'dir. Şimdi bulduğumuz bu $x = 7$ değerini ilk denklemde yerine yazalım: $f(g^{-1}(7)) = 3(7) - 2$ $g^{-1}(7) = 3$ olduğu için: $f(3) = 21 - 2 = 19$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Bir polinomun $(x^2 + 1)$ ile bölümünden kalanı bulmak için, böleni sıfıra eşitleyip bulduğumuz ifadeyi polinomda yerine yazmalıyız. $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$ Bu işlemde $x$ yerine $\sqrt{-1}$ yazılmaz; sadece ve doğrudan $x^2$ yerine $-1$ yazılır. $P(x)$ polinomunu $x^2$'nin kuvvetleri şeklinde düzenleyelim: $P(x) = (x^2)^{10} + 3(x^2)^5 - 2(x^2)^2 \cdot x + 4$ Şimdi $x^2$ gördüğümüz her yere $-1$ yazalım: Kalan $= (-1)^{10} + 3(-1)^5 - 2(-1)^2 \cdot x + 4$ Kalan $= 1 + 3(-1) - 2(1) \cdot x + 4$ Kalan $= 1 - 3 - 2x + 4$ Kalan $= -2x + 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Rasyonel bir $f(x)$ fonksiyonunun tanım kümesinden çıkarılan değer (burada 3), paydayı sıfır yapan x değeridir. $2x - b = 0$ denkleminde $x = 3$ yazalım: $2(3) - b = 0 \Rightarrow 6 - b = 0 \Rightarrow b = 6$ Fonksiyonun değer kümesinden çıkarılan değer (burada 2) ise, ters fonksiyonun paydasını sıfır yapan değerdir. Ya da pratik olarak yatay asimptot yani pay ve paydadaki $x$'li terimlerin katsayıları oranıdır. $\frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4$ Bizden istenen $a + b$ toplamı: $4 + 6 = 10$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bir polinom, $(x - 2)^2$ gibi tam kare bir ifadeye tam bölünüyorsa hem polinomun kendisinde hem de birinci türevinde $x = 2$ değeri yazıldığında sonuç 0 olmalıdır. Polinom: $P(x) = x^3 - ax^2 + bx - 4$ Türevi: $P'(x) = 3x^2 - 2ax + b$ $P(2) = 0 \Rightarrow 2^3 - a(2^2) + b(2) - 4 = 0 \Rightarrow 8 - 4a + 2b - 4 = 0 \Rightarrow 4a - 2b = 4 \Rightarrow 2a - b = 2$ $P'(2) = 0 \Rightarrow 3(2^2) - 2a(2) + b = 0 \Rightarrow 12 - 4a + b = 0 \Rightarrow 4a - b = 12$ İki bilinmeyenli denklemi çözelim: $2a - b = 2$ $4a - b = 12$ Birinci denklemi eksi ile çarpıp toplayalım: $-2a + b = -2$ $4a - b = 12$ Toplarsak: $2a = 10 \Rightarrow a = 5$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bu tür denklemlerde, istenen değeri bulmak için $x$ yerine birbirinin zıttı (ters işaretlisi) olan değerleri yazarız. Denklemde $x = 2$ yazalım: $2 \cdot f(2) - f(-2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$ Denklemde $x = -2$ yazalım: $(-2) \cdot f(-2) - f(2) = (-2)^3 + (-2) = -8 - 2 = -10$ Elimizde iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluştu: 1) $2f(2) - f(-2) = 10$ 2) $-f(2) - 2f(-2) = -10$ Bizden $f(2)$ istendiği için $f(-2)$'yi yok etmeliyiz. İkinci denklemi $\frac{-1}{2}$ ile çarpıp taraf tarafa toplayabiliriz veya birinci denklemi -2 ile çarpıp taraf tarafa toplayabiliriz. Birinci denklemi -2 ile çarpalım: $-4f(2) + 2f(-2) = -20$ İkinci denklemi aynen yazalım: $-f(2) - 2f(-2) = -10$ Taraf tarafa toplayalım: $-5f(2) = -30 \Rightarrow f(2) = 6$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bölümünden kalan bilgileri: $P(1) = 4$ ve $P(-2) = -5$ şeklindedir. $P(x)$ polinomunu, ikinci dereceden bir polinom olan $(x^2 + x - 2)$'ye böldüğümüzde kalan en fazla birinci dereceden bir polinom olmalıdır. Yani Kalan = $ax + b$ şeklindedir. Bölme özdeşliği: $P(x) = (x^2 + x - 2) \cdot B(x) + ax + b$ $(x^2 + x - 2)$ ifadesini çarpanlarına ayırırsak $(x - 1)(x + 2)$ olur. $P(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot B(x) + ax + b$ $x = 1$ için: $P(1) = a(1) + b = 4 \Rightarrow a + b = 4$ $x = -2$ için: $P(-2) = a(-2) + b = -5 \Rightarrow -2a + b = -5$ Birinci denklemden ikinciyi çıkarırsak: $(a + b) - (-2a + b) = 4 - (-5)$ $3a = 9 \Rightarrow a = 3$ $a = 3$ ise $3 + b = 4 \Rightarrow b = 1$ Kalan polinom $ax + b$ olduğundan, kalan: $3x + 1$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.