DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık Testi #6

Sesli harfler olan E, İ, E harflerini birbirinden ayrılmayacakları için tek bir blok (kutu) olarak düşünelim: [E, İ, E]. Geriye kalan sessiz harfler K, L, M'dir. Bu durumda elimizde [E, İ, E], K, L, M olmak üzere 4 tane öge vardır. Bu 4 öge kendi aralarında $4! = 24$ farklı şekilde sıralanır. Blok içindeki sesli harfler (E, İ, E) kendi aralarında yer değiştirebilir. Ancak iki tane 'E' harfi özdeş olduğu için tekrarlı permütasyon kuralı uygulanır: $\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3$ farklı şekilde sıralanırlar. Sonuç olarak, toplam kelime sayısı $24 \times 3 = 72$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Ekibe 5 doktor arasından 2 doktor ve 4 hemşire arasından 2 hemşire seçilmesi gerekmektedir. Seçim yapılacağı için kombinasyon kullanılır. Doktorların seçimi: $\binom{5}{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ farklı şekilde yapılabilir. Hemşirelerin seçimi: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ farklı şekilde yapılabilir. Grupların birlikte seçilmesi çarpım kuralı gerektirir: $10 \times 6 = 60$ farklı şekilde bu ekip oluşturulabilir. Sonuç: C şıkkı.

İki zar atıldığında oluşabilecek tüm durumların sayısı (örnek uzay) $6 \times 6 = 36$'dır. Üst yüze gelen sayıların toplamının 8 olduğu durumlar şunlardır: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). İstenen durumların sayısı 5'tir. Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durumların Sayısı}} = \frac{5}{36}$ olarak hesaplanır. Sonuç: B şıkkı.

Üç basamaklı bir sayının çift olması için birler basamağının çift sayı olması gerekir. A kümesindeki çift rakamlar 2, 4 ve 6'dır (3 seçenek). Birler basamağına bu 3 rakamdan biri seçilir. Rakamları farklı dendiği için, birler basamağında kullanılan rakam diğer basamaklarda kullanılamaz. Geriye 5 rakam kalır. Yüzler basamağına geriye kalan 5 rakamdan biri seçilir (5 seçenek). Onlar basamağına geriye kalan 4 rakamdan biri seçilir (4 seçenek). Çarpım kuralına göre toplam sayı: $5 \times 4 \times 3 = 60$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Torbadaki toplam bilye sayısı $4 + 3 + 2 = 9$'dur. Toplam durum sayısı, 9 bilyeden 2'sinin seçilmesi kombinasyonudur: $\binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2} = 36$. Farklı renkte olma olasılığını, tüm olasılıktan (1) aynı renkte olma olasılığını çıkararak bulmak daha kolaydır. İkisinin de aynı renk olduğu durumlar: İkisi de kırmızı, ikisi de mavi veya ikisi de sarı olabilir. İkisinin kırmızı olma durumu: $\binom{4}{2} = 6$ İkisinin mavi olma durumu: $\binom{3}{2} = 3$ İkisinin sarı olma durumu: $\binom{2}{2} = 1$ Aynı renk olma durumları toplamı = $6 + 3 + 1 = 10$. Aynı renk olma olasılığı = $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$. Farklı renk olma olasılığı = $1 - \frac{5}{18} = \frac{13}{18}$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Bir üçgen çizebilmek için doğrusal olmayan 3 noktaya ihtiyaç vardır. Paralel doğrulardan üçgen oluşturabilmek için iki durum söz konusudur: 1. Durum: İki nokta $d_1$'den, bir nokta $d_2$'den seçilir. $\binom{4}{2} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$ üçgen. 2. Durum: Bir nokta $d_1$'den, iki nokta $d_2$'den seçilir. $\binom{4}{1} \times \binom{5}{2} = 4 \times 10 = 40$ üçgen. Toplam çizilebilecek üçgen sayısı: $30 + 40 = 70$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

4 madeni para atıldığında örnek uzayın eleman sayısı $2^4 = 16$'dır. En az 3'ünün tura gelmesi demek, 3'ünün tura veya 4'ünün de tura gelmesi demektir. 3 Tura, 1 Yazı gelme durumu sayısı: $\binom{4}{3} = 4$'tür. (TTTY, TTYT, TYTT, YTTT) 4'ünün de Tura gelme durumu sayısı: $\binom{4}{4} = 1$'dir. (TTTT) İstenen durumların toplamı: $4 + 1 = 5$'tir. Olasılık = $\frac{\text{İstenen Durumlar}}{\text{Tüm Durumlar}} = \frac{5}{16}$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Eşlerin yan yana olması istendiği için, her evli çifti ayrılmaz birer blok (kutu) olarak kabul ederiz. Elimizde 3 evli çiftten oluşan 3 adet blok vardır. Bu 3 blok kendi aralarında $3! = 6$ farklı şekilde sıralanır. Ayrıca her bir evli çift kendi içinde (kendi bloğu içinde) yer değiştirebilir. 1. çift kendi arasında: $2! = 2$ durum. 2. çift kendi arasında: $2! = 2$ durum. 3. çift kendi arasında: $2! = 2$ durum. Genel çarpım kuralına göre toplam sıralama sayısı: $3! \times 2! \times 2! \times 2! = 6 \times 2 \times 2 \times 2 = 48$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

4 elemanlı bir alt küme oluşturacağız ve kurallarımız var. Kural 1: '2' elemanı mutlaka kümede olacak. Alt kümeye 2'yi yerleştirirsek geriye seçmemiz gereken 3 elemanlık yer kalır. Kural 2: '5' elemanı kümede bulunmayacak. Bu yüzden 5'i kalan elemanlar havuzundan atıyoruz. Başlangıçtaki kümeden 2 ve 5'i çıkardığımızda seçebileceğimiz elemanlar: $\{1, 3, 4, 6, 7\}$ (Toplam 5 eleman). Kalan bu 5 eleman arasından ihtiyacımız olan 3 elemanı seçeceğiz. Seçim işlemi: $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ farklı şekilde yapılabilir. Sonuç: B şıkkı.

Örnek uzayımız $S = \{1, 2, \dots, 50\}$ olup 50 elemanlıdır. 3'ün katı olan sayılar kümesi $A$, 4'ün katı olan sayılar kümesi $B$ olsun. $A$'nın eleman sayısı (50'ye kadar olan 3'ün katları): $\lfloor \frac{50}{3} \rfloor = 16$. $B$'nin eleman sayısı (50'ye kadar olan 4'ün katları): $\lfloor \frac{50}{4} \rfloor = 12$. $A \cap B$, yani hem 3'ün hem 4'ün katı olan sayılar (12'nin katları): $\lfloor \frac{50}{12} \rfloor = 4$. Birleşim kümesinin eleman sayısı (3 veya 4'ün katları): $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ $s(A \cup B) = 16 + 12 - 4 = 24$. İstenen olasılık = $\frac{24}{50} = \frac{12}{25}$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Bir arada olması istenen kitapları paketleyelim (bloklayalım). Matematik kitapları 1 paket: [M1, M2, M3] Fizik kitapları 1 paket: [F1, F2] Kimya kitapları için bir şart yok, ayrı ayrı kalırlar: K1, K2 Toplam öge sayımız: Matematik paketi (1) + Fizik paketi (1) + Kimya kitapları (2) = 4 öge. Bu 4 öge kendi aralarında $4! = 24$ farklı şekilde dizilir. Matematik kitapları paket içinde kendi aralarında: $3! = 6$ farklı şekilde dizilir. Fizik kitapları paket içinde kendi aralarında: $2! = 2$ farklı şekilde dizilir. Tüm durumların çarpımı: $24 \times 6 \times 2 = 288$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Tokalaşma eylemi iki kişi arasında gerçekleşir ve sıranın önemi yoktur (Ahmet ile Mehmet'in tokalaşması, Mehmet ile Ahmet'in tokalaşmasıyla aynıdır). Bu durum 10 kişi arasından 2 kişi seçme problemidir ve kombinasyonla çözülür. Toplam tokalaşma sayısı: $\binom{10}{2}$ şeklindedir. $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ tokalaşma gerçekleşmiştir. Sonuç: D şıkkı.

İki torba olduğu için, her bir torbanın seçilme olasılığı $\frac{1}{2}$'dir. Çekilen topun kırmızı olma (K) olasılığı, Koşullu Olasılık (Toplam Olasılık) kuralıyla hesaplanır: $P(K) = P(A) \cdot P(K|A) + P(B) \cdot P(K|B)$ A torbasından kırmızı çekme olasılığı: $P(K|A) = \frac{3}{7}$ B torbasından kırmızı çekme olasılığı: $P(K|B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ Formülde yerine yazalım: $P(K) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$ $P(K) = \frac{3}{14} + \frac{2}{6} = \frac{3}{14} + \frac{1}{3}$ Paydaları 42'de eşitleyelim: $P(K) = \frac{9}{42} + \frac{14}{42} = \frac{23}{42}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Sayı 300 ile 600 arasında olduğuna göre yüzler basamağı 3, 4 veya 5 olabilir. Sayı tek olacağı için birler basamağı kümedeki 1, 3 veya 5 rakamlarından biri olmalıdır. Yüzler basamağının durumuna göre problemi üç duruma ayırmalıyız: 1. Durum: Yüzler basamağı 3 ise (1 seçenek) Birler basamağı tek olmalı, ancak 3 kullanıldığı için 1 veya 5 olabilir (2 seçenek). Onlar basamağına, 6 rakamdan ikisi kullanıldığı için 4 rakam kalır (4 seçenek). Bu durumda sayı miktarı: $1 \times 4 \times 2 = 8$. 2. Durum: Yüzler basamağı 4 ise (1 seçenek) Birler basamağı tek olmalı. 4 çift olduğu için 1, 3, 5 hepsi kullanılabilir (3 seçenek). Onlar basamağına 4 rakam kalır (4 seçenek). Bu durumda sayı miktarı: $1 \times 4 \times 3 = 12$. 3. Durum: Yüzler basamağı 5 ise (1 seçenek) Birler basamağı tek olmalı, 5 kullanıldığı için 1 veya 3 olabilir (2 seçenek). Onlar basamağına 4 rakam kalır (4 seçenek). Bu durumda sayı miktarı: $1 \times 4 \times 2 = 8$. Toplam sayı miktarı = $8 + 12 + 8 = 28$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Sorular 2 gruba ayrılıyor: İlk 4 soru ve son 4 soru. Öğrenci toplam 6 soru seçecektir. Kurala göre, ilk 4 sorudan tam olarak 3 tanesi seçilmelidir. Bu durumda, geriye kalan $6 - 3 = 3$ soruyu da son 4 soru arasından seçmek zorundadır. İlk gruptaki seçim: $\binom{4}{3} = 4$ farklı şekildedir. İkinci gruptaki seçim: $\binom{4}{3} = 4$ farklı şekildedir. İki seçimin aynı anda yapılması çarpım kuralını gerektirir: $4 \times 4 = 16$ farklı seçim yapılabilir. Sonuç: B şıkkı.

Hedefin yalnız biri tarafından vurulması demek, ya Ali vuracak Veli vuramayacak ya da Ali vuramayacak Veli vuracak demektir. Ali'nin vurma olasılığı = $\frac{2}{5}$, vuramama olasılığı = $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ Veli'nin vurma olasılığı = $\frac{1}{3}$, vuramama olasılığı = $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ (Ali Vurur VE Veli Vuramaz) VEYA (Ali Vuramaz VE Veli Vurur) $P = (\frac{2}{5} \times \frac{2}{3}) + (\frac{3}{5} \times \frac{1}{3})$ $P = \frac{4}{15} + \frac{3}{15} = \frac{7}{15}$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Sayı 6 basamaklı olacak ve birler basamağı kesinlikle 4 olacaktır. Sayıyı şu formata sokarız: _ _ _ _ _ 4 Kullanmamız gereken ve kendi aralarında sıralanacak geriye kalan rakamlar 2, 2, 3, 3, 3'tür. Bu 5 rakam kendi aralarında tekrarlı permütasyon formülü ile sıralanır. Toplam 5 rakam var, ikisi '2', üçü '3'tür. Sıralama sayısı = $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = \frac{120}{12} = 10$ olarak bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Siparişi iki ana duruma ayıralım: 1. Durum: Pizzada sosis malzemesinin olması. Müşteri sosis seçtiği için kurallar gereği mantarı da mecburen seçer. Yani 3 malzemenin 2'si bellidir (sosis ve mantar). Geriye seçilmesi gereken 1 malzeme kalmıştır. Geriye kalan $8 - 2 = 6$ malzeme arasından 1 tane seçilir: $\binom{6}{1} = 6$ durum. 2. Durum: Pizzada sosis malzemesinin olmaması. Müşteri sosisi kesinlikle istemiyorsa, sosisi liste dışı bırakır. Geriye 7 malzeme kalır. Bu 7 malzeme (mantar dâhil, çünkü mantar tek başına seçilebilir) arasından 3 malzeme seçecektir: $\binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ durum. Toplam sipariş sayısı: $6 + 35 = 41$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İki sayının çarpımının çift olabilmesi için, sayılardan en az birinin çift olması gerekir. Bu durumu bulmak için, tüm olasılıktan (1) sayıların ikisinin de tek olma olasılığını çıkarmak daha kolaydır. A kümesindeki tek sayılar: $\{1, 3, 5, 7\}$ (4 adet). A kümesindeki çift sayılar: $\{2, 4, 6\}$ (3 adet). Tüm 2'li seçimlerin sayısı (Örnek uzay): $\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21$. İkisinin de tek olduğu seçim sayısı: $\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$. Çarpımın tek sayı olma olasılığı = $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$. Çarpımın çift sayı olma olasılığı = $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ olarak hesaplanır. Sonuç: D şıkkı.

Bu soru tekrarlı permütasyon mantığıyla çözülür. A'dan B'ye gidiş yolu için 2 doğu (D) ve 2 kuzey (K) adımı gerekir. Diziliş DDKK harflerinin yer değiştirmesidir. A'dan B'ye yol sayısı = $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{2 \times 2} = 6$ farklı yol. B'den C'ye gidiş yolu için 2 doğu (D) ve 1 kuzey (K) adımı gerekir. Diziliş DDK harflerinin yer değiştirmesidir. B'den C'ye yol sayısı = $\frac{3!}{2! \times 1!} = \frac{6}{2} = 3$ farklı yol. Hareketlinin A'dan çıkıp B üzerinden C'ye gidiş sayısı, iki yol sayısının çarpılmasıyla bulunur (çarpım kuralı). Toplam yol sayısı = $6 \times 3 = 18$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.