DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Üslü ve Köklü İfadeler Testi #7

İfadedeki tüm sayıların tabanını 2'ye çevirelim: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$ $8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$ $16^2 = (2^4)^2 = 2^8$ İfadeleri yerlerine yazalım: $\frac{2^{10} \cdot 2^{-6}}{2^8}$ Pay kısmındaki çarpma işleminde üsler toplanır: $2^{10 + (-6)} = 2^4$ Şimdi bölme işlemini yapalım, tabanlar aynı olduğunda payın üssünden paydanın üssü çıkarılır: $\frac{2^4}{2^8} = 2^{4 - 8} = 2^{-4}$ Sonuç: C şıkkı.

Kök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayıralım: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ Şimdi bu değerleri işlemde yerine koyalım: $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 6\sqrt{3}$ Kök içleri aynı olduğu için katsayılar arasında işlem yapılır: $(4 + 5 - 6)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ Sonuç: B şıkkı.

Kesirlerin paydalarını rasyonel yapmak için eşlenikleri ile çarpalım: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$'nin eşleniği $\sqrt{5} + \sqrt{2}$'dir. $\sqrt{5} + \sqrt{2}$'nin eşleniği $\sqrt{5} - \sqrt{2}$'dir. Birinci kesir: $\frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ İkinci kesir: $\frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{3(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ İfadeleri birbirinden çıkaralım (paranteze dikkat!): $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ Sonuç: A şıkkı.

İfadede ortak çarpan parantezine alma işlemini kullanabilmek için üslü sayıyı parçalayalım: $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$ Denklemi yeniden yazalım: $9 \cdot 3^x - 3^x = 216$ $3^x$ parantezine alırsak: $3^x(9 - 1) = 216$ $3^x \cdot 8 = 216$ Her iki tarafı 8'e bölelim: $3^x = 27$ 27, 3'ün 3. kuvveti olduğundan: $3^x = 3^3 \implies x = 3$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

En dıştaki kökten kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini alalım: $(\sqrt{13 - \sqrt{x-2}})^2 = 3^2$ $13 - \sqrt{x-2} = 9$ $\sqrt{x-2}$ ifadesini yalnız bırakalım: $\sqrt{x-2} = 13 - 9$ $\sqrt{x-2} = 4$ Tekrar her iki tarafın karesini alalım: $(\sqrt{x-2})^2 = 4^2$ $x - 2 = 16$ $x = 18$ Sonuç: C şıkkı.

Öncelikle negatif üslerin anlamını hatırlayalım: $a^{-1} = \frac{1}{a}$ Parantez içindeki işlemi yapalım: $2^{-1} = \frac{1}{2}$ $3^{-1} = \frac{1}{3}$ $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ Şimdi bu toplamın (-1). kuvvetini almalıyız: $(\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5}$ Son olarak, bulduğumuz bu sonucu 6'ya bölelim: $\frac{\frac{6}{5}}{6} = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{5}$ Sonuç: C şıkkı.

Sayıların üslerini eşitleyerek tabanlarını karşılaştırabiliriz. Tüm üsler 20'nin katıdır, bu nedenle üssün üssü kuralını tersten uygulayarak üsleri 20 yapalım. $a = 2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}$ $b = 3^{40} = (3^2)^{20} = 9^{20}$ $c = 5^{20}$ Üsler aynı olduğuna göre tabanı büyük olan sayı daha büyüktür. Tabanları sıraladığımızda: $5 < 8 < 9$ elde ederiz. Buna göre sayıların sıralanışı: $5^{20} < 8^{20} < 9^{20} \implies c < a < b$ şeklindedir. Sonuç: A şıkkı.

İç içe kök kuralı olan $\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ yapısını kullanmak için, $4\sqrt{3}$ ifadesindeki 4'ün çarpanlarından 2'yi kök içine 4 olarak almalıyız. $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$ İfadeyi bu şekliyle yazalım: $\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} + \sqrt{7 + 2\sqrt{12}}$ Kurala göre çarpımları 12, toplamları 7 olan sayıları arıyoruz. Bunlar 4 ve 3'tür. $\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$ $\sqrt{7 + 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}$ Şimdi bu iki ifadeyi toplayalım: $(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ Sonuç: C şıkkı.

Tabandaki sayıları, rasyonel üslerin paydalarına uygun olacak şekilde tam sayıların kuvvetleri olarak yazalım: $16 = 2^4$ $27 = 3^3$ $125 = 5^3$ Sayıları üslü ifadelerde yerine yazalım ve üssün üssü kuralı gereği üsleri çarpalım: $16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3 = 8$ $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$ $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$ Şimdi toplama ve çıkarma işlemini yapalım: $8 + 9 - 5 = 17 - 5 = 12$ Sonuç: C şıkkı.

$72^a$ ifadesini bulmak için öncelikle 72'yi asal çarpanlarına ayırmalıyız. $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$ İfadeyi bu şekliyle yazalım: $72^a = (2^3 \cdot 3^2)^a$ Üslü sayılarda çarpımın kuvveti, çarpanların ayrı ayrı kuvvetlerinin çarpımına eşittir: $72^a = (2^3)^a \cdot (3^2)^a$ Üsler yer değiştirebilir: $= (2^a)^3 \cdot (3^a)^2$ Soruda verilen $2^a = x$ ve $3^a = y$ eşitliklerini yerine yazalım: $= x^3 \cdot y^2$ Sonuç: B şıkkı.

Pay ve paydadaki terimleri ortak üslü çarpan parantezine alalım. En küçük üs değerlerini kullanmak genellikle işlemi kolaylaştırır. Paydaki terimleri $5^x$ parantezine alalım: $5^{x+2} + 5^{x+1} = 5^x \cdot 5^2 + 5^x \cdot 5^1 = 5^x(25 + 5) = 5^x \cdot 30$ Paydadaki terimleri de $5^x$ parantezine alalım: $5^{x-1} + 5^x = 5^x \cdot 5^{-1} + 5^x \cdot 1 = 5^x(\frac{1}{5} + 1) = 5^x(\frac{6}{5})$ İfadeyi yeniden kesir olarak yazalım: $\frac{5^x \cdot 30}{5^x \cdot \frac{6}{5}}$ $5^x$ çarpanları pay ve paydadan sadeleşir: $\frac{30}{\frac{6}{5}} = 30 \cdot \frac{5}{6} = 5 \cdot 5 = 25$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bir sayının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayıyı $A \cdot 10^n$ formatına (burada $1 \le A < 100$ olmalı ki basamakları rahatça sayabilelim) getirmeliyiz. Tabanları 2 ve 5 olacak şekilde düzenleyelim: $16 = 2^4 \implies 16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$ $25 = 5^2 \implies 25^7 = (5^2)^7 = 5^{14}$ Sayımız: $2^{12} \cdot 5^{14}$ halini aldı. 10 çarpanı elde etmek için üsleri eşitleyelim: $2^{12} \cdot 5^{14} = 2^{12} \cdot 5^{12} \cdot 5^2$ $(2 \cdot 5)^{12} \cdot 25 = 10^{12} \cdot 25$ Yani sayımız $25 \cdot 10^{12}$'dir. Bu sayı, 25'in sonuna 12 tane sıfır eklenmesiyle oluşur. 25 (2 basamak) + 12 (sıfırlar) = Toplam 14 basamaklıdır. Sonuç: C şıkkı.

Köklü ifadeleri rasyonel üslü sayılara dönüştürerek çarpma işlemini yapalım: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ Çarpma işleminde tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayalım: $x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}$ Üslerin paydalarını 6'da eşitleyelim: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ Yani denklemimiz şu şekildedir: $x^{\frac{5}{6}} = 32$ 32 sayısı $2^5$'e eşittir. $x^{\frac{5}{6}} = 2^5$ Eşitliğin her iki tarafının 1/5. kuvvetini (veya 5. dereceden kökünü) alırsak: $x^{\frac{1}{6}} = 2$ Her iki tarafın 6. kuvvetini alalım: $x = 2^6 = 64$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Ondalıklı sayıları kesre çevirelim: $0,027 = \frac{27}{1000} = (\frac{3}{10})^3$ $0,09 = \frac{9}{100} = (\frac{3}{10})^2$ Bulduğumuz bu ifadeleri denklemde yerlerine yazalım: $((\frac{3}{10})^3)^{x-1} = ((\frac{3}{10})^2)^{x+1}$ Üslerin üssü çarpılır kuralını uygulayalım: $(\frac{3}{10})^{3(x-1)} = (\frac{3}{10})^{2(x+1)}$ $(\frac{3}{10})^{3x-3} = (\frac{3}{10})^{2x+2}$ Tabanlar aynı ve 1, 0, -1'den farklı olduğuna göre üsler de birbirine eşit olmalıdır: $3x - 3 = 2x + 2$ $3x - 2x = 2 + 3$ $x = 5$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Ondalıklı sayıları rasyonel sayılara çevirelim: $\sqrt{3,6} = \sqrt{\frac{36}{10}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10}} = \frac{6}{\sqrt{10}}$ $\sqrt{1,6} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$ $\sqrt{0,4} = \sqrt{\frac{4}{10}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$ Bu ifadeleri ana işlemde yerine koyalım: $\frac{\frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{4}{\sqrt{10}}}{\frac{2}{\sqrt{10}}}$ Pay kısmında çıkarma işlemi yapalım (paydalar aynıdır): $\frac{6 - 4}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$ Şimdi bölme işlemini gerçekleştirelim: $\frac{\frac{2}{\sqrt{10}}}{\frac{2}{\sqrt{10}}} = 1$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Köklü ifadeleri kök dışına çıkarırken derecenin tek mi çift mi olduğuna dikkat edilmelidir. Çift dereceli köklerin içi dışarıya daima mutlak değer içinde çıkar: $\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|$ Tek dereceli kökler ise içerideki işaret korunarak olduğu gibi çıkar: $\sqrt[2n+1]{x^{2n+1}} = x$ Buna göre parçalayalım: $\sqrt{a^2} = |a|$ $\sqrt[3]{b^3} = b$ $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$ Verilen $a < 0 < b$ şartına göre mutlak değer içlerinin işaretini belirleyelim: $a$ negatiftir, bu yüzden $|a| = -a$ olur. $a$ negatif ve $b$ pozitif olduğundan küçük sayıdan büyük sayı çıkarılırsa sonuç negatif olur, yani $(a-b)$ negatiftir. Bu yüzden $|a-b| = -(a-b) = -a+b$ olur. Bulduklarımızı ifadede yerine yazalım: $|a| - b + |a-b| = (-a) - b + (-a+b) = -a - b - a + b = -2a$ Sonuç: B şıkkı.

İfadedeki üsleri parçalayarak A ve B sayılarının birbirinin eşleniği olmasından yararlanalım: $A^5 \cdot B^4 = A \cdot A^4 \cdot B^4$ Üsleri aynı olan sayıların çarpımında tabanlar çarpılır kuralını kullanalım: $A \cdot (A \cdot B)^4$ Önce $A \cdot B$ çarpımını bulalım: $A \cdot B = (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$ Bunu ifademizde yerine yazalım: $A \cdot (1)^4 = A \cdot 1 = A$ İfadenin sonucu $A$'ya yani $\sqrt{2} + 1$'e eşittir. Sonuç: B şıkkı.

Verilen denklemde üssü parçalayarak $2^x$ değerini bulalım: $2^{x-1} = 3 \implies \frac{2^x}{2^1} = 3$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $2^x = 3 \cdot 2 = 6$ Bizden $4^x$ istenmektedir. $4^x$ ifadesini $2^x$ cinsinden yazalım: $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ $2^x = 6$ değerini yerine yazarsak: $(2^x)^2 = 6^2 = 36$ elde edilir. Sonuç: D şıkkı.

Öncelikle kök içindeki ifadeyi düzenleyip tek bir 2'nin kuvveti olarak yazalım. Kökün dışındaki 2'yi karekök içine alırsak karesi alınarak içeri girer: $2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}}$ İfadeyi ana denklemde yerine koyalım: $\sqrt[3]{2^{\frac{3}{2}}} = 2^x$ Kök derecesini rasyonel üs olarak tabanın üssüne bölelim: $(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 2^x$ Üslerin üssü kuralı gereği üsler çarpılır: $2^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 2^x$ $2^{\frac{1}{2}} = 2^x$ Tabanlar eşit olduğuna göre üsler de eşittir: $x = \frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Pay kısmındaki ifade bir iki kare farkıdır. Çarpanlarına ayıralım: $x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$ Kesri bu şekliyle tekrar yazalım: $\frac{(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2}$ Pay ve paydadaki $(x^2 + y^2)$ terimleri birbirini götürür ve geriye $x^2 - y^2$ kalır. $x$ ve $y$ değerlerini yerine yazarak sonucu bulalım: $x = \sqrt{5} \implies x^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$ $y = \sqrt{2} \implies y^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ Buna göre ifadenin değeri: $x^2 - y^2 = 5 - 2 = 3$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.