KPSS KPSS Ortaöğretim (Lise) Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık Testi #1

Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir. 1. Durum: Birler basamağı 0 olsun. Birler basamağı için 1 seçenek (0) vardır. Yüzler basamağı için sıfır haricindeki $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ elemanlarından 5 seçenek bulunur. Onlar basamağı için kalan 4 seçenek bulunur. $5 \times 4 \times 1 = 20$ sayı yazılır. 2. Durum: Birler basamağı 5 olsun. Birler basamağı için 1 seçenek (5) vardır. Yüzler basamağı için sıfır ve 5 kullanılamayacağından $\{1, 2, 3, 4\}$ elemanlarından 4 seçenek bulunur. Onlar basamağı için sıfır tekrar dahil edilip kalan 4 seçenek bulunur. $4 \times 4 \times 1 = 16$ sayı yazılır. Toplam: $20 + 16 = 36$ farklı doğal sayı yazılabilir. Sonuç: B şıkkıdır.

3 matematik öğretmeni daima yan yana olacağından tek bir kişi olarak kabul edilir: $(M_1 M_2 M_3)$ Bu durumda 1 grup matematik öğretmeni ve 4 fizik öğretmeni olmak üzere toplam: $1 + 4 = 5$ kişi (nesne) sıralanacaktır. 5 nesne kendi arasında $5!$ farklı biçimde dizilir. Matematik öğretmenleri de kendi aralarında $3!$ farklı biçimde yer değiştirebilir. Toplam sıralama sayısı: $5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$ bulunur. Sonuç: D şıkkıdır.

Sayının basamaklarında 6 rakam bulunmaktadır: - 2 adet '2' - 3 adet '3' - 1 adet '4' Sıfır rakamı bulunmadığından tüm dizilimler 6 basamaklı bir doğal sayı belirtir. Tekrarlı permütasyon formülü uygulanır: $\frac{6!}{2! \cdot 3! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60$ farklı sayı yazılabilir. Sonuç: B şıkkıdır.

Kişinin hedefe varması için toplam $4 + 3 = 7$ adım atması gerekir. Bu adımların 4'ü doğu (D), 3'ü kuzey (K) yönündedir. Bu durum, 4 adet D ve 3 adet K harfinin tekrarlı permütasyonuna eşittir: $\frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4! \cdot 6} = 35$ farklı yol bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Ekipte en az 3 doktor bulunması koşulu iki durumu kapsar: 1. Durum: 3 doktor ve 1 hemşire seçilmesi: $\binom{5}{3} \cdot \binom{6}{1} = 10 \cdot 6 = 60$ 2. Durum: 4 doktor ve 0 hemşire seçilmesi: $\binom{5}{4} \cdot \binom{6}{0} = 5 \cdot 1 = 5$ Toplam farklı ekip sayısı: $60 + 5 = 65$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Seçilecek toplam kişi sayısı 4'tür. Ahmet ekibe doğrudan alındığı için geriye $4 - 1 = 3$ kişi seçilmelidir. Mehmet ekibe dahil edilmeyeceği için aday listesinden çıkarılır. Ahmet ve Mehmet dışındaki geriye kalan aday sayısı: $8 - 2 = 6$ kişidir. Bu 6 kişi arasından geriye kalan 3 kişi seçilir: $\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$ farklı seçim yapılabilir. Sonuç: B şıkkıdır.

Bir çember üzerindeki noktaların herhangi üçü doğrusal olamaz. Dolayısıyla bu 7 noktadan seçilecek her 3 nokta bir üçgen oluşturur. Çizilebilecek üçgen sayısı 7 elemanın 3'lü kombinasyonuna eşittir: $\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Bir paralelkenar oluşturabilmek için 2 adet yatay doğru ve 2 adet düşey doğru seçilmelidir. 4 yatay doğrudan 2 tanesi: $\binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ farklı şekilde seçilir. 5 düşey doğrudan 2 tanesi: $\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ farklı şekilde seçilir. Toplam paralelkenar sayısı: $\binom{4}{2} \cdot \binom{5}{2} = 6 \cdot 10 = 60$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Öncelikle 4 kız öğrenci sıraya yerleştirilir: _ K _ K _ K _ K _ 4 kız kendi arasında $4! = 24$ farklı biçimde dizilir. Kızların aralarında ve uçlarında erkeklerin oturabileceği toplam 5 boş yer oluşur. 3 erkek öğrencinin yan yana gelmemesi için bu 5 boş yere yerleştirilmesi gerekir: $P(5, 3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$ Toplam sıralama sayısı: $4! \times P(5, 3) = 24 \times 60 = 1440$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Hiçbir nokta doğrusal olmasaydı 8 nokta ile çizilebilecek doğru sayısı: $\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$ olurdu. Ancak aynı doğru üzerindeki 4 nokta kendi arasında $\binom{4}{2} = 6$ ayrı doğru oluşturmak yerine yalnızca 1 ortak doğru oluşturur. Toplam doğru sayısı: $\binom{8}{2} - \binom{4}{2} + 1 = 28 - 6 + 1 = 23$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Torbada toplam $4 + 5 = 9$ bilye vardır. Tüm olası durumların sayısı (örnek uzay): $\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36$ İstenen durum, bilyelerin ikisinin de mavi veya ikisinin de kırmızı olmasıdır: - İkisinin mavi olması: $\binom{4}{2} = 6$ - İkisinin kırmızı olması: $\binom{5}{2} = 10$ İstenen durum sayısı: $6 + 10 = 16$ Olasılık: $\frac{16}{36} = \frac{4}{9}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

İki zar atıldığında örnek uzayın eleman sayısı $6 \times 6 = 36$'dır. İstenen durumun tümleyeni 'her iki zarın da çift sayı gelmesi' durumudur. Çift sayılar: $\{2, 4, 6\}$ (3 adet). Her iki zarın da çift gelme durumu: $3 \times 3 = 9$'dur. Her iki zarın da çift gelme olasılığı: $\frac{9}{36} = \frac{1}{4}$. En az birinin tek sayı gelme olasılığı: $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ bulunur. Sonuç: D şıkkıdır.

Bir madeni para 4 kez atıldığında tüm durumların sayısı: $2^4 = 16$'dır. İstenen olayın tümleyeni 'hiç tura gelmemesi', yani tüm atışların yazı (Y, Y, Y, Y) gelmesidir. Tüm atışların yazı gelmesi yalnızca 1 durumdur. Hiç tura gelmeme olasılığı: $\frac{1}{16}$. En az bir kez tura gelme olasılığı: $1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$ bulunur. Sonuç: E şıkkıdır.

Torbaların seçilme olasılıkları eşittir: $P(A) = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{1}{2}$. A torbasından beyaz bilye çekme olasılığı: $\frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}$. B torbasından beyaz bilye çekme olasılığı: $\frac{4}{4 + 3} = \frac{4}{7}$. Toplam olasılık: $P(\text{Beyaz}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{3}{10} + \frac{2}{7}$ Paydalar eşitlenirse: $\frac{21 + 20}{70} = \frac{41}{70}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Kutuda toplam $3 + 4 + 5 = 12$ bilye bulunmaktadır. Tüm durumların sayısı: $\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220$ Üçünün de farklı renkte olması; 1 sarı, 1 mavi ve 1 yeşil bilye çekilmesidir: $\binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1} \cdot \binom{5}{1} = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$ Olasılık: $\frac{60}{220} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Hedefin vurulmaması, her iki kişinin de hedefi vuramaması durumudur. Ali'nin vuramama olasılığı: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. Can'ın vuramama olasılığı: $1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$. Atışlar bağımsız olaylar olduğundan ikisinin de vuramama olasılığı: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ Hedefin en az bir kişi tarafından vurulma olasılığı: $1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

5 kişinin sıraya dizilmesindeki tüm durumların sayısı: $5! = 120$ Anne ile babanın yan yana olduğu durumlar: Anne ve baba bir arada düşünülür $(AB)$. 3 çocukla birlikte $1 + 3 = 4$ kişi olur: $4! \cdot 2! = 24 \cdot 2 = 48$ Anne ile babanın yan yana olma olasılığı: $\frac{48}{120} = \frac{2}{5}$ Anne ile babanın yan yana oturmama olasılığı: $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ bulunur. Sonuç: D şıkkıdır.

7 elemanlı bir kümeden 2 eleman seçme durumlarının sayısı: $\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2} = 21$ İki sayının çarpımının tek sayı olması için her iki sayının da tek olması gerekir. Kümedeki tek sayılar $\{1, 3, 5, 7\}$ olmak üzere 4 tanedir. İki sayının da tek seçilme durumu: $\binom{4}{2} = 6$ Çarpımın tek sayı olma olasılığı: $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$ Çarpımın çift sayı olma olasılığı: $1 - \frac{2}{7} = \frac{5}{7}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Koşullu olasılıkta örnek uzay 'gözlüklü öğrenciler kümesi'dir. Toplam gözlüklü öğrenci sayısı: $4 (\text{kız}) + 6 (\text{erkek}) = 10$ İstenen durum, bu gözlüklü öğrencilerin arasından kız olmasıdır: İstenen kişi sayısı = 4 Olasılık: $P(\text{Kız} \mid \text{Gözlüklü}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

'KALEM' kelimesinde 5 farklı harf vardır. Yazılabilecek tüm 5 harfli kelimelerin sayısı: $5! = 120$ 'K' ile başlayıp 'M' ile biten kelimelerin dizilimi: K _ _ _ M Baş ve son sabitlendiğinde aradaki 3 harf (A, L, E) kendi arasında: $3! = 6$ farklı şekilde sıralanır. İstenen kelime sayısı: 6 Olasılık: $\frac{6}{120} = \frac{1}{20}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.