KPSS KPSS Ortaöğretim (Lise) Üslü ve Köklü İfadeler Testi #3

Negatif kuvvet kuralları uygulanarak pay ve payda hesaplanır: Pay: $3 \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$ Payda: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{2 + 3}{12} = \frac{5}{12}$ Bölme işlemi tamamlanır: $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{12}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} = 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Pay ve payda $2^a$ ortak parantezine alınır: Pay: $2^a \cdot (2^3 + 2^1 - 1) = 2^a \cdot (8 + 2 - 1) = 9 \cdot 2^a$ Payda: $2^a \cdot (2^{-1} + 2^{-2}) = 2^a \cdot \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}\right) = 2^a \cdot \frac{3}{4}$ Sadeleştirme yapılır: $\frac{9 \cdot 2^a}{\frac{3}{4} \cdot 2^a} = 9 \cdot \frac{4}{3} = 12$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Tabanlar 3'ün kuvveti biçiminde yazılır: $9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2}$ $\left(\frac{1}{27}\right)^{2-x} = (3^{-3})^{2-x} = 3^{-6+3x} = 3^{3x-6}$ Tabanlar eşit olduğundan üsler birbirine eşitlenir: $2x - 2 = 3x - 6$ $3x - 2x = 6 - 2 \implies x = 4$ İstenen ifade hesaplanır: $2^{x+1} = 2^{4+1} = 2^5 = 32$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

$3^{x-1} = b$ eşitliğinden $3^x$ çekilir: $\frac{3^x}{3} = b \implies 3^x = 3b$ $12^x$ ifadesi asal çarpanlarına ayrılır: $12^x = (2^2 \cdot 3)^x = (2^x)^2 \cdot 3^x$ $2^x = a$ ve $3^x = 3b$ değerleri yerine yazılırsa: $(a)^2 \cdot (3b) = 3a^2 b$ bulunur. Sonuç: A şıkkıdır.

Eşitlikler aynı tabanlar alt alta gelecek şekilde yazılır: $2^x = 3^3$ $2^4 = 3^y$ Aynı tabanlı üslü denklem sistemlerinde karşılıklı üslerin oranı eşittir: $\frac{x}{4} = \frac{3}{y}$ İçler dışlar çarpımı yapıldığında: $x \cdot y = 4 \cdot 3 = 12$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Üslerin en büyük ortak böleni bulunur: $\text{EBOB}(60, 36, 24) = 12$ Her bir sayı ortak üs 12 olacak şekilde düzenlenir: $x = 2^{60} = (2^5)^{12} = 32^{12}$ $y = 3^{36} = (3^3)^{12} = 27^{12}$ $z = 5^{24} = (5^2)^{12} = 25^{12}$ Üsler eşit ve pozitif olduğundan tabanı küçük olan sayı daha küçüktür: $25 < 27 < 32 \implies z < y < x$ bulunur. Sonuç: A şıkkıdır.

Bir üslü ifadenin 1'e eşit olması için üç durum incelenir: 1. Durum: Üs sıfır olmalıdır ($x + 2 = 0 \implies x = -2$). Taban kontrolü: $-2 - 3 = -5 \neq 0$ olduğundan $x = -2$ bir çözümdür. 2. Durum: Taban 1 olmalıdır ($x - 3 = 1 \implies x = 4$). $1^6 = 1$ olduğundan $x = 4$ bir çözümdür. 3. Durum: Taban $-1$ ve üs çift tam sayı olmalıdır: $x - 3 = -1 \implies x = 2$. Üs kontrolü: $2 + 2 = 4$ (çift tam sayı). $(-1)^4 = 1$ olduğundan $x = 2$ bir çözümdür. Çözüm kümesi $\{-2, 2, 4\}$ olup toplamları: $(-2) + 2 + 4 = 4$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Sayı 10'un kuvvetleri şeklinde düzenlenir: $8^5 = (2^3)^5 = 2^{15}$ $25^7 = (5^2)^7 = 5^{14}$ $A = 2^{15} \cdot 5^{14} = 2^1 \cdot (2^{14} \cdot 5^{14}) = 2 \cdot 10^{14}$ $2 \cdot 10^{14}$ sayısı, 2 rakamının sağına 14 adet sıfır eklenmesiyle oluşur. Basamak sayısı: $1 + 14 = 15$ basamaklıdır. Sonuç: C şıkkıdır.

18 saat içerisinde $18 \div 2 = 9$ kez iki saatlik periyot gerçekleşir. Her periyotta bakteri sayısı 3 katına çıktığı için başlangıçtaki sayı $3^9$ ile çarpılır. Başlangıçtaki bakteri sayısı: $81 = 3^4$ 18 saatin sonunda: $3^4 \cdot 3^9 = 3^{4+9} = 3^{13}$ adet bakteri bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Pay kısmındaki ifade iki kare farkı özdeşliği ile çarpanlarına ayrılır: $9^x - 4 = (3^x)^2 - 2^2 = (3^x - 2)(3^x + 2)$ Kesirde yerine yazılırsa: $\frac{(3^x - 2)(3^x + 2)}{3^x + 2} = 25$ $3^x - 2 = 25 \implies 3^x = 27$ $3^x = 3^3 \implies x = 3$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Kök içindeki sayılar tam kare çarpanları dışarı çıkarılarak yazılır: $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ $\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$ Toplama ve çıkarma işlemleri yapılır: $5\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 7\sqrt{3} = (5 + 6 - 7)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Ondalık sayıların karekökleri rasyonel sayıya çevrilerek hesaplanır: $\sqrt{1{,}44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1{,}2$ $\sqrt{0{,}81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0{,}9$ Pay: $1{,}2 + 0{,}9 = 2{,}1$ $\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0{,}3$ $\sqrt{0{,}04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = 0{,}2$ Payda: $0{,}3 - 0{,}2 = 0{,}1$ Sonuç: $\frac{2{,}1}{0{,}1} = 21$ bulunur. Sonuç: D şıkkıdır.

Kesirlerin paydaları eşlenikleriyle çarpılarak rasyonel yapılır: 1. kesir $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$ ile genişletilir: $\frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{5 - 2} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$ 2. kesir $(\sqrt{5} - \sqrt{2})$ ile genişletilir: $\frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$ İki ifadenin farkı alınır: $(2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{5} - 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Kök derecesi çift olduğunda ifade mutlak değerle, tek olduğunda aynen çıkar: $\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$ $\sqrt[3]{(-3)^3} = -3$ $\sqrt[4]{(-2)^4} = |-2| = 2$ İşlemler sırasıyla yapılır: $4 + (-3) - 2 = 4 - 3 - 2 = -1$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

$\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$ kuralına göre $m \cdot n = 10$ ve $m + n = 7$ şartını sağlayan sayılar 5 ve 2'dir: $\sqrt{7 + 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} + \sqrt{2}$ $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{5} - \sqrt{2}$ Fark işlemi yapılır: $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) - (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{5} + \sqrt{2} - \sqrt{5} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkıdır.

Sayıların katsayıları karekök içerisine alınır: $a = 2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ $b = 3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$ $c = 4 = \sqrt{4^2} = \sqrt{16}$ Kök içindeki sayıların büyüklüğüne göre sıralama yapılır: $12 < 16 < 18 \implies \sqrt{12} < \sqrt{16} < \sqrt{18} \implies a < c < b$ bulunur. Sonuç: B şıkkıdır.

Her iki tarafın karesi alınır: $(\sqrt{3x - 2})^2 = (x - 2)^2$ $3x - 2 = x^2 - 4x + 4$ $x^2 - 7x + 6 = 0$ $(x - 6)(x - 1) = 0 \implies x = 6$ veya $x = 1$ Kareköklü denklemlerde kök kontrolü zorunludur: $x = 1$ için: $\sqrt{3(1) - 2} = \sqrt{1} = 1$, ancak $x - 2 = 1 - 2 = -1$. $1 \neq -1$ olduğundan $x = 1$ sağlamaz. $x = 6$ için: $\sqrt{3(6) - 2} = \sqrt{16} = 4$ ve $x - 2 = 6 - 2 = 4$. Eşitlik sağlandığından $x = 6$'dır. Sonuç: D şıkkıdır.

İfade rasyonel üsler kullanılarak tek bir tabanda yazılır: $\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ Kök içi: $2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} = 2^{1 + \frac{2}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}$ Karekökün dışına üs olarak alınır: $\sqrt{2^{\frac{5}{3}}} = \left(2^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{6}}$ $2^x = 2^{\frac{5}{6}} \implies x = \frac{5}{6}$ bulunur. Sonuç: D şıkkıdır.

Birinci parantez $\sqrt{2}$ ortak çarpan parantezine alınır: $\sqrt{10} - \sqrt{6} = \sqrt{2 \cdot 5} - \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{2}(\sqrt{5} - \sqrt{3})$ İfadeler birbiriyle çarpılır: $\sqrt{2} \cdot (\sqrt{5} - \sqrt{3}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3})$ İki kare farkı özdeşliğinden: $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$ Sonuç: $\sqrt{2} \cdot 2 = 2\sqrt{2}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.

Büyük karenin bir kenar uzunluğu: $a = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$ Büyük karenin çevresi: $C_1 = 4 \cdot 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3}\text{ cm}$ Çıkarılan küçük karenin bir kenar uzunluğu: $b = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\text{ cm}$ Küçük karenin çevresi: $C_2 = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\text{ cm}$ Çevreler arasındaki fark: $C_1 - C_2 = 24\sqrt{3} - 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\text{ cm}$ bulunur. Sonuç: C şıkkıdır.