KPSS KPSS Ön Lisans Üslü ve Köklü İfadeler Testi #2

1. Adım: Pay ve paydadaki ifadeleri ortak çarpan parantezine almalıyız. 2. Adım: Pay kısmını $3^x$ parantezine alalım: $3^{x+2} - 3^x = 3^x \cdot (3^2 - 1) = 3^x \cdot 8$. 3. Adım: Payda kısmını en küçük üs olan $3^{x-1}$ parantezine alalım: $3^{x-1} + 3^x = 3^{x-1} \cdot (1 + 3^1) = 3^{x-1} \cdot 4$. 4. Adım: Elde edilen ifadeleri birbirine bölelim: $\frac{8 \cdot 3^x}{4 \cdot 3^{x-1}}$. 5. Adım: Sayıları bölelim: $8 / 4 = 2$. 6. Adım: Üslü ifadeleri bölerken tabanlar aynı olduğu için üsleri çıkaralım: $3^{x - (x-1)} = 3^1 = 3$. 7. Adım: Sonuç: $2 \cdot 3 = 6$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Köklü sayılarda paydada kök bırakmamak için ifadeleri paydalarının eşlenikleriyle genişletmeliyiz. 2. Adım: Birinci kesri $(\sqrt{3} + 1)$ ile çarpalım: $\frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$. 3. Adım: İkinci kesri $(\sqrt{3} - 1)$ ile çarpalım: $\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$. 4. Adım: Birinci ifadeden ikinci ifadeyi çıkaralım: $(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})$. 5. Adım: Eksiyi parantez içine dağıtalım: $2 + \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Denklemdeki tabanları ortak bir sayıya eşitleyelim. 4 sayısını 2 tabanında yazalım. 2. Adım: $4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}$ olur. 3. Adım: Elde edilen bu ifadeyi üslü sayı özelliklerini kullanarak çarpım durumuna getirelim: $2^{2x+2} = 2^{2x} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{2x}$. 4. Adım: Denklemdeki ikinci terimi de aynı mantıkla açalım: $2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{2x}$. 5. Adım: İfadeleri denklemde yerlerine koyalım: $4 \cdot 2^{2x} - 2 \cdot 2^{2x} = 32$. 6. Adım: Çıkarma işlemini yapalım: $2 \cdot 2^{2x} = 32$. 7. Adım: Her iki tarafı 2'ye bölelim: $2^{2x} = 16$. 8. Adım: 16 sayısı 2'nin 4. kuvvetidir ($2^4$). Bu nedenle $2x = 4$ olur. 9. Adım: Buradan $x = 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İç içe sonlu köklerde işleme daima en içteki kökten başlanır. 2. Adım: En içteki kök $\sqrt{36}$'dır. Dışarıya 6 olarak çıkar. 3. Adım: Bir dıştaki kökün içi $10 + 6 = 16$ olur. 4. Adım: $\sqrt{16}$ kök dışına 4 olarak çıkar. 5. Adım: En dıştaki kökün içi $4 + 4 = 8$ olur. 6. Adım: Kalan ifade $\sqrt{8}$'dir. $8 = 4 \cdot 2$ olduğundan kök dışına $2\sqrt{2}$ olarak çıkar. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İkinci denklemde ($3^y = 8$) tabandaki 3 yerine birinci denklemde verilen $2^x$ değerini yazalım. 2. Adım: $(2^x)^y = 8$ olur. 3. Adım: Üssün üssü kuralına göre üsler birbiriyle çarpılır: $2^{xy} = 8$. 4. Adım: 8 sayısı 2'nin 3. kuvvetine ($2^3$) eşittir. 5. Adım: $2^{xy} = 2^3$ eşitliğinde tabanlar aynı olduğu için üsler birbirine eşit olmak zorundadır. 6. Adım: Buradan $xy = 3$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İç içe köklerde özel kuralı ($\sqrt{a \pm 2\sqrt{b}}$) uygulayabilmek için içteki kökün katsayısının 2 olması gerekir. 2. Adım: $\sqrt{40}$ ifadesini $2\sqrt{10}$ şeklinde yazalım. 3. Adım: İfade şu hale gelir: $\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}$. 4. Adım: Özel kurala göre, çarpımları 10'u ve toplamları 7'yi veren iki sayı arıyoruz. Bu sayılar 5 ve 2'dir ($5 \cdot 2 = 10$, $5 + 2 = 7$). 5. Adım: Aradaki işaret eksi olduğu için bu ifade $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ şeklinde dışarı çıkar. 6. Adım: Bulduğumuz bu değere soruda verilen $\sqrt{2}$'yi ekleyelim: $\sqrt{5} - \sqrt{2} + \sqrt{2}$. 7. Adım: $-\sqrt{2}$ ve $+\sqrt{2}$ birbirini götürür, geriye $\sqrt{5}$ kalır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Köklü denklemden kurtulmak için eşitliğin her iki tarafının karesini alalım. 2. Adım: $(\sqrt{3x - 2})^2 = x^2 \Rightarrow 3x - 2 = x^2$. 3. Adım: İkinci dereceden bir denklem elde etmek için tüm terimleri aynı tarafa toplayalım: $x^2 - 3x + 2 = 0$. 4. Adım: Denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları 2, toplamları -3 olan iki sayı -1 ve -2'dir. 5. Adım: $(x - 1)(x - 2) = 0$ ise buradan kökler $x = 1$ ve $x = 2$ bulunur. 6. Adım: Karesi alınarak çözülen köklü denklemlerde bulunan kökler mutlaka ilk denklemde kontrol edilmelidir. 7. Adım: $x = 1$ için: $\sqrt{3(1) - 2} = \sqrt{1} = 1$. Eşitlik sağlandı. 8. Adım: $x = 2$ için: $\sqrt{3(2) - 2} = \sqrt{4} = 2$. Eşitlik sağlandı. 9. Adım: İki kök de geçerlidir. Kökler toplamı: $1 + 2 = 3$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Kök içindeki ondalık sayıları rasyonel kesre çevirip kök dışına çıkaralım. 2. Adım: $\sqrt{0,64} = \sqrt{\frac{64}{100}} = \frac{8}{10} = 0,8$. 3. Adım: $\sqrt{0,36} = \sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$. 4. Adım: $\sqrt{0,04} = \sqrt{\frac{4}{100}} = \frac{2}{10} = 0,2$. 5. Adım: Pay kısmındaki değerleri toplayalım: $0,8 + 0,6 = 1,4$. 6. Adım: Payı paydaya bölelim: $\frac{1,4}{0,2}$. 7. Adım: Virgülden kurtarmak için hem payı hem de paydayı 10 ile genişletelim: $\frac{14}{2} = 7$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Payda kısmında bulunan $10^3$ ifadesini asal çarpanlarına ayırarak yazalım. $10 = 5 \cdot 2$ olduğundan, $10^3 = (5 \cdot 2)^3 = 5^3 \cdot 2^3$ olur. 2. Adım: Kesri yeni değerlerle tekrar yazalım: $\frac{5^4 \cdot 2^6}{5^3 \cdot 2^3}$. 3. Adım: Üslü sayılarda bölme kuralına göre tabanları aynı olan sayıların üsleri çıkarılır. 4. Adım: $5$ tabanı için: $5^{4 - 3} = 5^1 = 5$. 5. Adım: $2$ tabanı için: $2^{6 - 3} = 2^3 = 8$. 6. Adım: Kalan sonuçları çarpalım: $5 \cdot 8 = 40$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Bir sayının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmak için o sayının içinde kaç tane $10$ çarpanı olduğunu (yani $2 \cdot 5$ eşleşmesi) bulmalıyız. 2. Adım: İfadede verilen sayıları asal tabanlara çevirelim: $16 = 2^4$ ve $25 = 5^2$'dir. 3. Adım: Üssün üssü kuralını uygulayalım: $16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$ ve $25^5 = (5^2)^5 = 5^{10}$. 4. Adım: Sayımız $A = 2^{12} \cdot 5^{10}$ haline geldi. 5. Adım: Ortak $10$ çarpanı oluşturmak için üsleri eşitlemeliyiz. $2^{12}$ ifadesini $2^2 \cdot 2^{10}$ olarak ayıralım. 6. Adım: Denklem şu şekle gelir: $A = 2^2 \cdot 2^{10} \cdot 5^{10} = 4 \cdot (2 \cdot 5)^{10} = 4 \cdot 10^{10}$. 7. Adım: Bir sayının $10^{10}$ ile çarpılması, sayının sonuna 10 adet sıfır eklenmesi anlamına gelir. Bu nedenle sayının sondan 10 basamağı sıfırdır. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Rasyonel (kesirli) üslere sahip ifadeleri çözmek için, tabandaki sayıyı, kesrin paydasındaki dereceye uygun bir üslü sayı şeklinde yazmak gerekir. 2. Adım: 81 sayısını $3^4$ olarak yazalım. İfade $(3^4)^{\frac{3}{4}}$ olur. Üsler çarpılır: $3^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 3^3 = 27$. 3. Adım: 27 sayısını $3^3$ olarak yazalım. İfade $(3^3)^{\frac{2}{3}}$ olur. Üsler çarpılır: $3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$. 4. Adım: Çıkan değerleri birbirinden çıkaralım: $27 - 9 = 18$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Kök dereceleri birbirinden farklı olan köklü sayıları sıralamak için öncelikle kök derecelerini eşitlemek gerekir. 2. Adım: Kök dereceleri 2, 3 ve 4'tür. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir. 3. Adım: Her sayının kök derecesini 12 yapmak için, dıştaki dereceyi kaçla çarpıyorsak, kök içindeki sayının üssünü de o sayıyla çarparız. 4. Adım: $a = \sqrt[2]{2^1} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^{1 \cdot 6}} = \sqrt[12]{64}$. 5. Adım: $b = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^{1 \cdot 4}} = \sqrt[12]{81}$. 6. Adım: $c = \sqrt[4]{5^1} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{125}$. 7. Adım: Kök dereceleri eşit olduğuna göre, kök içi büyük olan sayı daha büyüktür. $64 < 81 < 125$ olduğundan sıralama $a < b < c$ şeklindedir. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Tüm terimleri aynı taban (2) üzerinden üslü sayıya çevirerek işlemi kolaylaştıralım. 2. Adım: $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$. 3. Adım: $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$. 4. Adım: $\sqrt[6]{32} = \sqrt[6]{2^5} = 2^{\frac{5}{6}}$. 5. Adım: Pay kısmındaki çarpma işlemini yapalım. Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: $\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$. Paydaları 6'da eşitleyelim: $\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6}$. Pay kısmı $2^{\frac{7}{6}}$ olur. 6. Adım: Bölme işlemini yapalım. $\frac{2^{\frac{7}{6}}}{2^{\frac{5}{6}}}$. Üsleri birbirinden çıkaralım: $\frac{7}{6} - \frac{5}{6} = \frac{2}{6}$. 7. Adım: Sadeleştirme yaparsak $2^{\frac{1}{3}}$ elde edilir. 8. Adım: Bu ifadeyi tekrar köklü sayı olarak yazalım: $\sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Eşitliğin sol tarafındaki tüm terimleri en küçük üs olan $5^x$ parantezine alalım. 2. Adım: $5^x \cdot (1 + 5^1 + 5^2) = 155$. 3. Adım: Parantez içindeki işlemleri yapalım: $1 + 5 + 25 = 31$. 4. Adım: İfade şu hale gelir: $5^x \cdot 31 = 155$. 5. Adım: Eşitliğin her iki tarafını 31'e bölelim: $5^x = \frac{155}{31}$. 6. Adım: $\frac{155}{31} = 5$ olduğundan, denklem $5^x = 5$ olur. 7. Adım: $5^x = 5^1$ eşitliğinden $x = 1$ olarak bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Paydalardaki köklü ifadelerden kurtulmak için her bir kesri kendi paydasının eşleniği ile genişletelim. 2. Adım: Birinci kesri $(\sqrt{2} - 1)$ ile genişletelim: $\frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1$. 3. Adım: İkinci kesri $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ ile genişletelim: $\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$. 4. Adım: Üçüncü kesri $(\sqrt{4} - \sqrt{3})$ ile genişletelim: $\frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{(\sqrt{4})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{3}}{4 - 3} = \sqrt{4} - \sqrt{3}$. 5. Adım: Bulduğumuz tüm değerleri yan yana toplayalım: $(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3})$. 6. Adım: Sırada birbirini götüren terimleri (teleskopik sadeleşme) görelim: $+\sqrt{2}$ ile $-\sqrt{2}$ gider. $+\sqrt{3}$ ile $-\sqrt{3}$ gider. 7. Adım: Geriye sadece en baştaki $-1$ ve en sondaki $\sqrt{4}$ kalır. 8. Adım: $\sqrt{4} = 2$ olduğundan, $-1 + 2 = 1$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: Bu tür sorularda $x$'i doğrudan denklemde yerine koymak yerine, verilen eşitliği tam kare ifadeye dönüştürmek işlemi hızlandırır. 2. Adım: $x = \sqrt{5} - 2$ eşitliğinde $-2$'yi karşı tarafa atalım: $x + 2 = \sqrt{5}$. 3. Adım: Kökten kurtulmak için her iki tarafın karesini alalım: $(x + 2)^2 = (\sqrt{5})^2$. 4. Adım: İfadeyi açalım: $x^2 + 4x + 4 = 5$. 5. Adım: $x^2 + 4x$ ifadesini yalnız bırakalım: $x^2 + 4x = 5 - 4 = 1$. 6. Adım: Bizden istenen $x^2 + 4x - 1$ ifadesinde, $x^2 + 4x$ yerine bulduğumuz $1$ değerini yazalım. 7. Adım: $1 - 1 = 0$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: 3 ve 5 aralarında asal sayılar olduğundan (ortak tam sayı tabanları yoktur), birinin kuvvetinin diğerinin kuvvetine eşit olabilmesinin tek yolu her iki kuvvetin de 0 olmasıdır (çünkü $3^0 = 5^0 = 1$). 2. Adım: Bu kurala göre üsleri sıfıra eşitleyelim. 3. Adım: $x - y + 2 = 0 \Rightarrow x - y = -2$. 4. Adım: $x + y - 4 = 0 \Rightarrow x + y = 4$. 5. Adım: Elde edilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(x - y) + (x + y) = -2 + 4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. 6. Adım: $x = 1$ değerini ikinci denklemde yerine koyalım: $1 + y = 4 \Rightarrow y = 3$. 7. Adım: Bizden $x \cdot y$ çarpımı isteniyor. $1 \cdot 3 = 3$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Kök içindeki sayıları tam kare çarpanlarına ayırarak dışarı çıkaralım ($a\sqrt{b}$ biçiminde yazalım). 2. Adım: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$. 3. Adım: $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$. 4. Adım: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$. 5. Adım: İfadeleri yerlerine yazalım: $\frac{6\sqrt{2} - 4\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$. 6. Adım: Paydaki çıkarma işlemini yapalım: $6\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$. 7. Adım: Çıkan sonucu paydaya bölelim: $\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$. 8. Adım: $\sqrt{2}$'ler birbirini sadeleştirir. Geriye $\frac{2}{3}$ kalır. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: İşlemlerde negatif tabanlara, parantezlere ve üslerin tek/çift olmasına dikkat ederek çözüm yapılır. 2. Adım: Birinci terim: $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}$. Negatif üs, kesri ters çevirir: $(-2)^3$. Üs tek sayı olduğu için sonuç negatif olur: $-8$. 3. Adım: İkinci terim: $(-2)^4$. Üs çift sayı olduğu için sonuç pozitif olur: $2^4 = 16$. 4. Adım: Üçüncü terim: $(-1)^{2024}$. Üs çift sayı olduğu için sonuç pozitif olur: $1$. (Ancak ifadenin başında eksi işareti var). 5. Adım: Bulunan tüm değerleri denklemde yerlerine koyalım: $(-8) + 16 - 1$. 6. Adım: Toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru yapalım: $8 - 1 = 7$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

1. Adım: İç içe olan köklerde dışarıdaki sayıları en içteki kökün içine atarak ifadeleri tek bir kök halinde toparlayalım. 2. Adım: Birinci ifade: $\sqrt{2\sqrt[3]{2}}$. Dışarıdaki 2, küpkökün içine $2^3 = 8$ olarak girer. İfade $\sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{16}}$ olur. Kök dereceleri (2 ve 3) çarpılarak tek kök yapılır: $\sqrt[6]{16}$. 3. Adım: İkinci ifade: $\sqrt[3]{4\sqrt{2}}$. Dışarıdaki 4, karekökün içine $4^2 = 16$ olarak girer. İfade $\sqrt[3]{\sqrt{16 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{32}}$ olur. Dereceler çarpılır: $\sqrt[6]{32}$. 4. Adım: İki yeni ifadeyi çarpalım: $\sqrt[6]{16} \cdot \sqrt[6]{32}$. Kök dereceleri aynı olduğu için içlerini çarpabiliriz: $\sqrt[6]{16 \cdot 32}$. 5. Adım: Sayıları 2'nin kuvveti olarak yazalım: $16 = 2^4$ ve $32 = 2^5$. Çarpımları $2^4 \cdot 2^5 = 2^9$ olur. 6. Adım: Kalan ifade $\sqrt[6]{2^9}$'dur. Bu ifadeyi rasyonel üs olarak yazalım: $2^{\frac{9}{6}}$. 7. Adım: Üssü sadeleştirelim: $2^{\frac{3}{2}}$. Bu ifade, tekrar köklü olarak yazıldığında $\sqrt{2^3} = \sqrt{8}$ olur. 8. Adım: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ olarak çıkar. Sonuç: C şıkkı.