KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Sayısal Mantık ve Akıl Yürütme Testi #1

$A, B, C \in \{1, 2, \dots, 9\}$ ve $B = A \cdot C$ olmalıdır. $B$ bir rakam olduğundan $A \cdot C \le 9$ olmalıdır: - $B = 1$ için $(A, C) \in \{(1, 1)\} \implies 1$ sayı - $B = 2$ için $(A, C) \in \{(1, 2), (2, 1)\} \implies 2$ sayı - $B = 3$ için $(A, C) \in \{(1, 3), (3, 1)\} \implies 2$ sayı - $B = 4$ için $(A, C) \in \{(1, 4), (2, 2), (4, 1)\} \implies 3$ sayı - $B = 5$ için $(A, C) \in \{(1, 5), (5, 1)\} \implies 2$ sayı - $B = 6$ için $(A, C) \in \{(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)\} \implies 4$ sayı - $B = 7$ için $(A, C) \in \{(1, 7), (7, 1)\} \implies 2$ sayı - $B = 8$ için $(A, C) \in \{(1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1)\} \implies 4$ sayı - $B = 9$ için $(A, C) \in \{(1, 9), (3, 3), (9, 1)\} \implies 3$ sayı Toplam çarpanlı sayı adedi: $1 + 2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 2 + 4 + 3 = 23$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

İşlemleri 5. adımdan geriye doğru takip edelim: 5. Adım: 1 4. Adım: $3k + 1 = 1 \implies k = 0$ (pozitif değil), dolayısıyla önceki sayı sadece $\frac{k}{2} = 1 \implies 2$'dir. 3. Adım: $3k + 1 = 2 \implies k = \frac{1}{3}$ (tam sayı değil), dolayısıyla sadece $4$'tür. 2. Adım: $3k + 1 = 4 \implies k = 1$ (1 olursa işlem daha önce biterdi), dolayısıyla sadece $8$'dir. 1. Adım: $3k + 1 = 8 \implies k = \frac{7}{3}$ (tam sayı değil), dolayısıyla sadece $16$'dır. Başlangıçtaki $n$ sayısı (0. adım): - Çift sayıdan gelmişse: $\frac{n}{2} = 16 \implies n = 32$ - Tek sayıdan gelmişse: $3n + 1 = 16 \implies 3n = 15 \implies n = 5$ $n$'nin alabileceği değerler toplamı: $32 + 5 = 37$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

En olumsuz durumu (en kötü senaryoyu) düşünelim: Her renkten 10'dan az olacak şekilde en fazla sayıda bilye çekelim. Her renkten 9'ar bilye çekilebilir (çünkü her renkten en az 9 bilye vardır): Mavi: 9 adet Kırmızı: 9 adet Sarı: 9 adet Yeşil: 9 adet Toplam çekilen bilye sayısı: $9 \times 4 = 36$ bilye. Bu durumda henüz hiçbir renkten 10 bilyeye ulaşılamamıştır. Torbadan çekilecek 1 bilye daha, hangi renkten gelirse gelsin o rengin bilye sayısını 10'a tamamlayacaktır. Dolayısıyla en az $36 + 1 = 37$ bilye çekilmelidir. Sonuç: D şıkkı.

32 takımlı tek maçlı eleme usulü bir turnuvada şampiyon belirlenene kadar toplam $32 - 1 = 31$ maç yapılır. Her maçta kazanan takım kesin olarak 3 puan almaktadır. 31 maçta kazanan takımlara verilen toplam puan: $31 \times 3 = 93$ puandır. Turnuvada dağıtılan toplam puan 108 olduğuna göre elenen takımlara verilen puanların toplamı: $108 - 93 = 15$ puandır. Elenen takımlar maçtan ya 0 ya da 1 puan alabildiğinden, 1 puan alan elenmiş takım sayısı doğrudan bu puana eşittir. Dolayısıyla elenen takımın 1 puan aldığı maç sayısı 15'tir. Sonuç: A şıkkı.

Patatesin ağırlığı $P = 19\text{ kg}$'dır. Terazideki denge denklemi: $P + \text{Patatesin kefesindeki ağırlıklar} = \text{Diğer kefedeki ağırlıklar}$ 19 sayısını $1, 3, 9, 27$ kuvvetleri cinsinden ifade edelim: $19 = 27 - 8 = 27 - 9 + 1$ Buradan düzenlersek: $19 + 9 = 27 + 1 = 28\text{ kg}$ Buna göre patatesin bulunduğu kefeye 9 kg'lık ağırlık, diğer kefeye ise 27 kg ve 1 kg'lık ağırlıklar konulmalıdır. Dolayısıyla patatesin bulunduğu kefeye yalnızca 9 kg konulmalıdır. Sonuç: E şıkkı.

Verilen çıkarma işlemini basamak çözümlemesiyle yazalım: $A B C - C B A = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C)$ $99(A - C) = 495 \implies A - C = 5$ Verilen diğer eşitlik: $A + C = 11$ İki denklemi taraf tarafa toplayalım: $2A = 16 \implies A = 8$ $C = 8 - 5 = 3$ $A B C$ sayısının en büyük olması için onlar basamağındaki $B$ rakamı mümkün olan en büyük değeri almalıdır. $A, B, C$ birbirinden farklı rakamlar olduğundan $B \neq 8$ ve $B \neq 3$'tür. Dolayısıyla $B$ en fazla 9 seçilebilir. En büyük sayı: $893$'tür. Çarpım: $A \cdot B \cdot C = 8 \cdot 9 \cdot 3 = 216$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Koşu derecelerini 1'den 5'e kadar sıralayalım: 1. sıra: Kesin olarak Emre'dir. Burak, Cem'in hemen önünde ve Ali, Cem'in hemen arkasında olduğuna göre bu üç sporcu art arda gelmelidir: (Burak, Cem, Ali). Deniz ise Burak'tan sonra bitirmiştir. Kalan sıralar 2, 3, 4, 5 olduğuna göre (Burak, Cem, Ali) üçlü bloğu 2, 3 ve 4. sıralara yerleşmek zorundadır: 2. sıra: Burak 3. sıra: Cem 4. sıra: Ali 5. sıra: Deniz (Burak'tan sonra bitirdiği doğrulanır). Dolayısıyla yarışı 4. sırada tamamlayan sporcu Ali'dir. Sonuç: A şıkkı.

Her 1 saatlik gerçek zaman diliminde: - Duvar saati 3 dakika geri kalır ($-3\text{ dk}$). - Masa saati 2 dakika ileri gider ($+2\text{ dk}$). İki saat arasındaki fark saat başına: $3 + 2 = 5\text{ dakika}$ açılmaktadır. İki saat arasındaki farkın 120 dakika olması için geçmesi gereken gerçek zaman: $t = \frac{120}{5} = 24\text{ saat}$tir. Pazartesi saat 09.00'dan 24 saat sonrası: Salı günü saat 09.00 olur. Sonuç: C şıkkı.

75 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $75 = 3^1 \cdot 5^2$ 75'in asal bölenleri 3 ve 5'tir. Asal bölenlerin toplamı: $3 + 5 = 8$ 75'in pozitif bölen sayısı: $(1 + 1) \cdot (2 + 1) = 2 \cdot 3 = 6$ Fonksiyon tanımına göre: $f(75) = 8 \cdot 6 = 48$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

İfadeleri mantıksal olarak inceleyelim: B: 'Vazoyu D kırdı.' D: 'B yalan söylüyor.' B ile D'nin ifadeleri birbirinin tam çelişiğidir. Dolayısıyla biri doğru ise diğeri mutlaka yalan söylemektedir. Soru kökünde 'yalnızca biri doğru söylediğine göre' dendiğinden, doğru söyleyen kişi B ve D'den biridir. Bu durumda A ve C KESİNLİKLE yalan söylemektedir: - C'nin 'Vazoyu ben kırmadım' ifadesi yalan olduğuna göre bu ifadenin değili doğrudur: Vazoyu C kırmıştır. Doğrulama: Vazoyu C kırdıysa: A: 'B kırdı' $\implies$ Yalan B: 'D kırdı' $\implies$ Yalan C: 'Ben kırmadım' $\implies$ Yalan D: 'B yalan söylüyor' $\implies$ Doğru Gerçekten de sadece D doğru söylemiş olur. Sonuç: C şıkkı.

İlk birkaç terimi hesaplayarak dizinin periyodunu bulalım: $f(1) = 2$ $f(2) = \frac{1}{1 - 2} = \frac{1}{-1} = -1$ $f(3) = \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{2}$ $f(4) = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$ Dizi 3 adımda bir kendini tekrar etmektedir (periyot = 3). $f(n)$ değeri, $n$'nin 3 ile bölümünden kalana bağlıdır: $2026$ sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım: $2 + 0 + 2 + 6 = 10 \implies 10 \equiv 1 \pmod 3$ Kalan 1 olduğuna göre: $f(2026) = f(1) = 2$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

İlk 11 satırda yazılan toplam sayı adedi: $1 + 2 + 3 + \dots + 11 = \frac{11 \cdot 12}{2} = 66$'dır. Demek ki 11. satırın son sayısı 66. tek sayıdır. 12. satırın ilk sayısı 67. tek sayıdır: $2(67) - 1 = 134 - 1 = 133$ 12. satırda 12 sayı bulunduğundan bu satırın son sayısı $66 + 12 = 78$. tek sayıdır: $2(78) - 1 = 156 - 1 = 155$ İlk ve son sayının toplamı: $133 + 155 = 288$ bulunur. (Kural: $n$. satırdaki sayıların toplamı $n^3$'tür. Aritmetik dizi olduğundan ilk ve son terimin toplamı $2n^2$'dir: $2 \cdot 12^2 = 288$.) Sonuç: B şıkkı.

Para türleri: 5, 10, 20 ve 50 TL. Kullanılan adetler $a, b, c, d \ge 1$ olmak üzere: $5a + 10b + 20c + 50d = 285$ Toplam para adedi olan $a + b + c + d$ değerinin en az olması için en büyük değere sahip olan 50 TL'lik paradan mümkün olduğunca çok, küçük değerli paralardan en az kullanılmalıdır. Her birinden en az 1 tane kullanılması gerektiğinden: $a = 1, b = 1, c = 1$ seçelim. Bu üç paranın toplamı: $5 + 10 + 20 = 35\text{ TL}$ Geriye kalan tutar: $285 - 35 = 250\text{ TL}$ 250 TL, 50 TL'lik paralardan tam olarak karşılanabilir: $250 \div 50 = 5$ adet daha 50 TL eklenir. Böylece $d = 5$ adet 50 TL kullanılır. Toplam para sayısı: $1 + 1 + 1 + 5 = 8$ adet bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Kurye kara ve demir yolunun her ikisini de kullanmak istediğinden iki durum oluşur: 1. Durum: A'dan B'ye kara yolu, B'den C'ye demir yolu kullanımı: A'dan B'ye 4 kara yolu, B'den C'ye 1 demir yolu vardır: $4 \times 1 = 4$ farklı yol. 2. Durum: A'dan B'ye demir yolu, B'den C'ye kara yolu kullanımı: A'dan B'ye 2 demir yolu, B'den C'ye 3 kara yolu vardır: $2 \times 3 = 6$ farklı yol. Toplam farklı yol sayısı: $4 + 6 = 10$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Verilen sayı kümesi: $\{2, 3, 4, 5, 6\}$. $B \cdot C = 18$ koşulunu sağlayan çarpan çifti bu kümede yalnızca $3 \times 6$'dır. Dolayısıyla $\{B, C\} = \{3, 6\}$ olur. Geriye $\{2, 4, 5\}$ sayıları kalır. Bu sayılardan ikisi $A$ ve $D$, üçüncüsü ise $E$ olacaktır. $A + B = C + D \implies |A - D| = |C - B|$ $|C - B| = |6 - 3| = 3$ olduğundan $|A - D| = 3$ olmalıdır. Kalan $\{2, 4, 5\}$ kümesinde farkı 3 olan sayılar yalnızca 5 ve 2'dir ($5 - 2 = 3$). Dolayısıyla $\{A, D\} = \{2, 5\}$'tir. Kullanılmayan ve E kutusuna kalan tek sayı 4'tür. Sonuç: C şıkkı.

Ortak nöbet aralığı üç sayının en küçük ortak katıdır: $\operatorname{EKOK}(4, 5, 6) = 60$ gündür. 1. ortak nöbet Cuma günü tutulmuştur. 5. ortak nöbete kadar $5 - 1 = 4$ nöbet aralığı geçmelidir. Geçen toplam gün sayısı: $4 \times 60 = 240$ gün. 240 günün 7 ile bölümünden kalanı bulalım: $240 = 7 \times 34 + 2$ (kalan 2'dir). Cuma gününden 2 gün sonrası: 1 gün sonra Cumartesi, 2 gün sonra Pazar olur. Dolayısıyla 5. nöbet Pazar gününe denk gelir. Sonuç: B şıkkı.

Bu zaman aralığında saat kısmı daima $14$'tür. Dakika kısmı $D \in \{00, 01, 02, \dots, 59\}$ olabilir. Toplam $14 + D$ ifadesi bir tam kare sayı olmalıdır. $0 \le D \le 59$ olduğuna göre toplam $14 + D$ değeri $[14, 73]$ aralığındadır. Bu aralıktaki tam kare sayılar: - $4^2 = 16 \implies 14 + D = 16 \implies D = 02$ ($14:02$) - $5^2 = 25 \implies 14 + D = 25 \implies D = 11$ ($14:11$) - $6^2 = 36 \implies 14 + D = 36 \implies D = 22$ ($14:22$) - $7^2 = 49 \implies 14 + D = 49 \implies D = 35$ ($14:35$) - $8^2 = 64 \implies 14 + D = 64 \implies D = 50$ ($14:50$) $9^2 = 81 > 73$ olduğundan başka tam kare yoktur. Dolayısıyla 5 farklı kare zaman vardır. Sonuç: D şıkkı.

Bir turda bir oyuncu 1 ile 3 arası para alabildiğinden, iki oyuncunun bir turdaki toplam para alımı $1 + 3 = 4$'e tamamlanabilir. Oyunu kazanmak isteyen oyuncu her hamlesinde rakibe 4'ün tam katı kadar para bırakmalıdır. Başlangıçtaki para sayısı 23'tür. $23 = 4 \times 5 + 3$ Arda ilk hamlesinde 3 para alırsa masada geriye $23 - 3 = 20$ para kalır (20, 4'ün tam katıdır). Sonraki her turda Berk $x$ kadar para aldığında Arda $4 - x$ para alarak masadaki parayı sırasıyla 16, 12, 8, 4 ve 0'a indirir. Böylece son parayı mutlaka Arda alır ve oyunu kazanır. Dolayısıyla Arda ilk hamlesinde 3 para almalıdır. Sonuç: C şıkkı.

Kartlar: Tek sayılar: $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ (5 adet) Çift sayılar: $\{2, 4, 6, 8\}$ (4 adet) - Çarpımın çift olması için en az bir kart çift sayı olmalıdır. - Toplamın tek sayı olması için seçilen tek sayı adedi tek olmalıdır (1 tek veya 3 tek). Toplamın en büyük olması için durumları inceleyelim: 1. Durum (1 Tek, 3 Çift): En büyük 1 tek: 9 En büyük 3 çift: 8, 6, 4 Toplam: $9 + 8 + 6 + 4 = 27$ 2. Durum (3 Tek, 1 Çift): En büyük 3 tek: 9, 7, 5 En büyük 1 çift: 8 Toplam: $9 + 7 + 5 + 8 = 29$ Her iki şart da sağlanır: Çarpım çift ($9 \times 7 \times 5 \times 8 = 2520$), toplam tek ($29$). Dolayısıyla toplam en fazla 29 olabilir. Sonuç: D şıkkı.

Saat yönündeki hareketi $(+)$, ters yönü $(-)$ kabul edelim. 30 adım sonundaki net yer değiştirme: $S = +1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \dots + 29 - 30$ Terimleri ikişerli gruplayalım: $(1 - 2) + (3 - 4) + (5 - 6) + \dots + (29 - 30)$ Toplam 15 grup vardır ve her grubun değeri $-1$'dir: $S = 15 \times (-1) = -15$ birimdir. İbre saat yönünün tersine 15 birim dönmüştür. Çark 12 bölmeli olduğundan: $-15 \equiv -15 + 24 = 9 \pmod{12}$ Başlangıç noktası 12 olduğundan 12'den saat yönünün tersine 15 birim geriye gidildiğinde: $12 - 15 = -3 \equiv 9$ bulunur. Dolayısıyla ibre 9 sayısını gösterir. Sonuç: A şıkkı.