KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Rasyonel ve Ondalık Sayılar Testi #1

İlk kesrin payı: $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ İlk kesrin paydası: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$ İlk kesir: $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2}{5}$ Parantez içi: $\frac{5}{2} - \frac{3}{4} = \frac{10 - 3}{4} = \frac{7}{4}$ Çarpım: $\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{5}$ Toplama: $\frac{2}{5} + \frac{7}{5} = \frac{9}{5}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

En alt basamaktan başlanır: $2 - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ $\frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}$ $1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ $\frac{2}{\frac{8}{5}} = 2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{4}$ $1 + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ elde edilir. Doğru cevap E seçeneğidir.

Kesirleri ondalık sayıya çevirelim: $\frac{1}{5} = 0{,}2$ olduğundan pay: $0{,}4 + 0{,}2 = 0{,}6$ $\frac{1}{4} = 0{,}25$ olduğundan payda: $0{,}75 - 0{,}25 = 0{,}5$ Birinci oran: $\frac{0{,}6}{0{,}5} = \frac{6}{5}$ İkinci oran: $\frac{0{,}25}{0{,}05} = \frac{25}{5} = 5$ Çarpım: $\frac{6}{5} \cdot 5 = 6$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Devirli sayıları rasyonel biçime dönüştürelim: $0{,}2\overline{7} = \frac{27 - 2}{90} = \frac{25}{90}$ $0{,}4\overline{2} = \frac{42 - 4}{90} = \frac{38}{90}$ Pay kısmı: $\frac{25}{90} + \frac{38}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$ Payda kısmı: $0{,}\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ Bölme işlemi: $\frac{7}{10} \div \frac{2}{3} = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{2} = \frac{21}{20}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Önce sayıların mutlak değerlerini karşılaştıralım: $|x| = \frac{15}{17} = 1 - \frac{2}{17}$ $|y| = \frac{17}{19} = 1 - \frac{2}{19}$ $|z| = \frac{19}{21} = 1 - \frac{2}{21}$ Paylar eşit olduğunda paydası küçük olan kesir daha büyüktür: $\frac{2}{17} > \frac{2}{19} > \frac{2}{21}$ 1'den daha büyük bir miktar çıkarıldığında sonuç daha küçük olacağından: $\frac{15}{17} < \frac{17}{19} < \frac{19}{21} \implies |x| < |y| < |z|$ Negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan daha küçük olduğundan: $z < y < x$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Adım adım dıştan içe doğru çözelim: 1) $3 + (\dots) = 5 \implies \cfrac{8}{2 + \cfrac{12}{x - 1}} = 2$ 2) $\frac{8}{\dots} = 2 \implies 2 + \cfrac{12}{x - 1} = 4$ 3) $2 + (\dots) = 4 \implies \cfrac{12}{x - 1} = 2$ 4) $\frac{12}{\dots} = 2 \implies x - 1 = 6 \implies x = 7$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Her çarpan $1 - \frac{1}{n^2} = \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$ şeklinde iki kare farkı olarak çarpanlarına ayrılır: $n=2: \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 2}$ $n=3: \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 3}$ $n=4: \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 4}$ $n=5: \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 5}$ $n=6: \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 6}$ $n=7: \frac{6 \cdot 8}{7 \cdot 7}$ Bu çarpanlar yan yana çarpıldığında içteki tüm pay ve paydalar sadeleşir: Sonuç $= \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{7} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

Payda eşitlemek yerine pay ve paydaları ortak çarpan parantezine alalım: Birinci kesirde: Pay $= 2 \cdot \left(\frac{1}{7} + \frac{2}{9} - \frac{3}{11}\right)$ Payda $= 3 \cdot \left(\frac{1}{7} + \frac{2}{9} - \frac{3}{11}\right)$ Parantez içleri aynı olduğundan oran $\frac{2}{3}$'tür. İkinci kesirde: Pay $= 5 \cdot \left(\frac{1}{13} - \frac{2}{17}\right)$ Payda $= 1 \cdot \left(\frac{1}{13} - \frac{2}{17}\right)$ Parantez içleri sadeleştiğinde oran $5$'tir. Toplam: $\frac{2}{3} + 5 = \frac{2 + 15}{3} = \frac{17}{3}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Sayıları çözümleyerek yazalım: $a{,}b = a + \frac{b}{10} = \frac{10a + b}{10}$ $b{,}a = b + \frac{a}{10} = \frac{10b + a}{10}$ Pay kısmı: $\frac{10a + b + 10b + a}{10} = \frac{11(a + b)}{10}$ Payda kısmı devirli ondalık sayılardır: $0{,}\overline{a} = \frac{a}{9}$ ve $0{,}\overline{b} = \frac{b}{9}$ Payda toplamı: $\frac{a + b}{9}$ Oran: $\frac{\frac{11(a + b)}{10}}{\frac{a + b}{9}} = \frac{11(a + b)}{10} \cdot \frac{9}{a + b} = \frac{99}{10} = 9{,}9$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Telin başlangıçtaki boyuna $L$ diyelim. Bir telin iki ucundan farklı miktarlarda parça kesildiğinde orta nokta kesilen parçaların farkının yarısı kadar yer değiştirir: Kayma miktarı $= \frac{|\text{Sol kesim} - \text{Sağ kesim}|}{2}$ $\text{Sol kesim} = \frac{L}{4}$ $\text{Sağ kesim} = \frac{L}{6}$ Fark: $\frac{L}{4} - \frac{L}{6} = \frac{3L - 2L}{12} = \frac{L}{12}$ Orta noktanın kayması: $\frac{\frac{L}{12}}{2} = \frac{L}{24}$ Verilen kayma miktarı $5\text{ cm}$ olduğuna göre: $\frac{L}{24} = 5 \implies L = 120\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

Tam sayılı kesirleri tam ve kesir kısımlarına ayırarak yazalım: $2027\frac{4}{11} = 2027 + \frac{4}{11}$ $2024\frac{3}{8} = 2024 + \frac{3}{8}$ $2\frac{4}{11} = 2 + \frac{4}{11}$ İfadeyi parantezleri dağıtarak açalım: $= 2027 + \frac{4}{11} - 2024 - \frac{3}{8} - 2 - \frac{4}{11} + \frac{11}{8}$ Benzer terimleri gruplayalım: Tam sayılar: $2027 - 2024 - 2 = 1$ Paydası 11 olanlar: $\frac{4}{11} - \frac{4}{11} = 0$ Paydası 8 olanlar: $-\frac{3}{8} + \frac{11}{8} = \frac{8}{8} = 1$ Sonuç: $1 + 0 + 1 = 2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Sayıların virgülden sonraki basamaklarını alt alta açalım: $a = 3{,}124\mathbf{2}42\dots$ $b = 3{,}124\mathbf{1}24\dots$ $c = 3{,}124\mathbf{4}44\dots$ İlk üç ondalık basamak ($1, 2, 4$) her üç sayıda da aynıdır. Virgülden sonraki 4. basamaklara baktığımızda: $b$'de 1 $a$'da 2 $c$'de 4 $1 < 2 < 4$ olduğundan doğru sıralama $b < a < c$ şeklindedir. Doğru cevap A seçeneğidir.

Paydaları 36'da eşitleyelim: $\frac{1}{4} = \frac{9}{36}$ ve $\frac{5}{6} = \frac{30}{36}$ Eşitsizlik: $\frac{9}{36} < \frac{a}{36} < \frac{30}{36} \implies 10 \le a \le 29$ $\frac{a}{36}$ kesrinin sadeleşemez olması, $a$ ile $36$'nın aralarında asal olması demektir. $36 = 2^2 \cdot 3^2$ olduğundan, $a$ sayısı 2 ve 3 ile bölünemez. 10 ile 29 arasındaki tek sayılar: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29 Bu sayılardan 3'ün katı olanları (15, 21, 27) çıkarırsak geriye kalan değerler: 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29 Bu koşulu sağlayan 7 farklı $a$ değeri vardır. Doğru cevap D seçeneğidir.

Kesri tam sayılı biçime dönüştürelim: $\frac{3x + 22}{x + 2} = \frac{3(x + 2) + 16}{x + 2} = 3 + \frac{16}{x + 2}$ Bu ifadenin tam sayı olması için $(x + 2)$ ifadesinin 16'nın tam sayı böleni olması gerekir. 16'nın tam bölenleri: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ (toplam 10 tane bölen). Her $d$ böleni için $x = d - 2$ olur. $x$ değerlerinin toplamı: $\sum x = \sum (d - 2) = \sum d - 10 \cdot 2$ 16'nın simetrik pozitif ve negatif bölenlerinin toplamı $\sum d = 0$ olduğundan: $\sum x = 0 - 20 = -20$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Deponun toplam hacmine $V$ diyelim. Başlangıçtaki su miktarı: $\frac{3}{7}V$ Kullanılan su: $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7}V = \frac{1}{7}V$ Kalan su: $\frac{3}{7}V - \frac{1}{7}V = \frac{2}{7}V$ Deponun dolması için gereken su: $V - \frac{2}{7}V = \frac{5}{7}V$ Eklenen su 80 litre olduğundan: $\frac{5}{7}V = 80 \implies V = 80 \cdot \frac{7}{5} = 112\text{ litre}$ Başlangıçtaki su miktarı: $\frac{3}{7}V = \frac{3}{7} \cdot 112 = 3 \cdot 16 = 48\text{ litre}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Her bir kesri ayrı ayrı hesaplayalım: 1) $\frac{0{,}048}{0{,}016} = \frac{48}{16} = 3$ 2) $(0{,}2)^2 = 0{,}04$ olduğundan $\frac{0{,}04}{0{,}08} = \frac{4}{8} = 0{,}5 = \frac{1}{2}$ 3) $\frac{0{,}1}{0{,}025} = \frac{100}{25} = 4$ İşlemi birleştirelim: $3 + 0{,}5 - 4 = -0{,}5 = -\frac{1}{2}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

Noktaların değerlerini hesaplayalım: 1 ile 2 arası 4 eşit parçaya bölündüğünden her aralık $\frac{1}{4}$ birimdir. $A = 1 + 3 \cdot \frac{1}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ 2 ile 3 arası 3 eşit parçaya bölündüğünden her aralık $\frac{1}{3}$ birimdir. $B = 2 + 1 \cdot \frac{1}{3} = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ İstenen oran: $\frac{B}{A} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{7}{4}} = \frac{7}{3} \cdot \frac{4}{7} = \frac{4}{3}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Parantez içlerini hesaplayalım: 1) $\frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9 - 2}{6} = \frac{7}{6}$ 2) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$ $\left(\frac{5}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}$ Bölme işlemi: $\frac{7}{6} \div \frac{6}{5} = \frac{7}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{35}{36}$ Çıkarma işlemi: $\frac{35}{36} - \frac{5}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Birinci eşitlik: $\frac{x}{9} + \frac{y}{9} = \frac{7}{9} \implies x + y = 7$ İkinci eşitlikte devirli kısımları açalım: $0{,}x\overline{y} = \frac{10x + y - x}{90} = \frac{9x + y}{90}$ $0{,}y\overline{x} = \frac{10y + x - y}{90} = \frac{9y + x}{90}$ Fark: $\frac{(9x + y) - (9y + x)}{90} = \frac{8(x - y)}{90}$ Bu fark $\frac{4}{15}$'e eşittir: $\frac{8(x - y)}{90} = \frac{4}{15} \implies \frac{8(x - y)}{90} = \frac{24}{90} \implies 8(x - y) = 24 \implies x - y = 3$ Denklem sistemini çözelim: $x + y = 7$ $x - y = 3$ Taraf tarafa toplarsak $2x = 10 \implies x = 5$ ve $y = 2$ olur. Çarpım: $x \cdot y = 5 \cdot 2 = 10$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

Ondalık sayıları kesir olarak yazalım: $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ $0{,}\overline{6} = \frac{2}{3}$ $0{,}25 = \frac{1}{4}$ Eşitlik: $\frac{x}{3} = \frac{2y}{3} = \frac{z}{4} = k$ ($k > 0$) Buradan değişkenleri $k$ cinsinden çekelim: $x = 3k$ $2y = 3k \implies y = 1{,}5k$ $z = 4k$ $k > 0$ olduğundan katsayıları karşılaştıralım: $1{,}5k < 3k < 4k \implies y < x < z$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.