YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Doğruda ve Üçgende Açılar #1

Zikzak kuralına göre sağa bakan açılar toplamı ile sola bakan açılar toplamı arasındaki ilişki kullanılır. Paralel doğrular arasındaki zikzak kuralında sağa bakan açılar toplamı ile sola bakan açılar toplamı birbirine eşittir veya aradaki fark kurala göre belirlenir. Sağdaki açıların toplamı $210^{\circ}$ verilmiştir. Sola bakan açıların toplamı da $210^{\circ}$ olmalıdır. Açıların ortalama değerleri üzerinden en az açı sayısını bulmak için her bir açının maksimum olabileceği durum düşünülür. Bir açı en fazla $179^{\circ}$ olabilir. Toplam $210^{\circ}$ ise, en az 2 açı gereklidir (çünkü tek açı en fazla $179^{\circ}$ olabilir, $210^{\circ}$ yi aşamaz). Sonuç: B şıkkı.

Üçgende iç açı ortayların kesişim noktası $I$ olmak üzere, $\widehat{BIC} = 90^{\circ} + \frac{\widehat{A}}{2}$ bağıntısı vardır. Verilen ifadeleri yerine koyalım: $3\alpha - 10^{\circ} = 90^{\circ} + \frac{2\alpha + 20^{\circ}}{2}$ $3\alpha - 10^{\circ} = 90^{\circ} + \alpha + 10^{\circ}$ $3\alpha - 10^{\circ} = 100^{\circ} + \alpha$ $2\alpha = 110^{\circ} \implies \alpha = 55^{\circ}$. Sonuç: C şıkkı.

Üçgenin dış açıları toplamı her zaman $360^{\circ}$ dir. Yani $x + y + z = 360^{\circ}$ dir. $x + y = 260^{\circ}$ verildiğinden $260^{\circ} + z = 360^{\circ} \implies z = 100^{\circ}$ olur. Bir iç açı ile o köşeye ait dış açının toplamı $180^{\circ}$ olduğundan $c + z = 180^{\circ} \implies c + 100^{\circ} = 180^{\circ} \implies c = 80^{\circ}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

$AB = AC$ olduğundan $\widehat{B} = \widehat{C} = \alpha$ diyelim. $AD = BD$ olduğundan $\widehat{DAB} = \widehat{B} = \alpha$ olur. $AC = CD$ olduğundan $\widehat{DAC} = \widehat{ADC}$ olur. $\widehat{ADC}$ açısı $ABD$ üçgeninin dış açısı olup $\alpha + \alpha = 2\alpha$ dır. O halde $\widehat{DAC} = 2\alpha$ olur. $AC = CD$ olduğundan $\widehat{A} = \widehat{DAC} + \widehat{DAB} = 2\alpha + \alpha = 3\alpha$ dır. $ABC$ üçgeninde iç açılar toplamı: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ} \implies 3\alpha + \alpha + \alpha = 180^{\circ} \implies 5\alpha = 180^{\circ} \implies \alpha = 36^{\circ}$ bulunur. $A$ açısı $= 3\alpha = 3 \cdot 36^{\circ} = 108^{\circ}$ dir. Sonuç: E şıkkı.

Açımız $x$ olsun. Tümleri $90^{\circ} - x$ tir. Verilen denklem: $x = 2(90^{\circ} - x) - 15^{\circ}$ $x = 180^{\circ} - 2x - 15^{\circ}$ $3x = 165^{\circ} \implies x = 55^{\circ}$. Bu açının bütünleri $180^{\circ} - 55^{\circ} = 125^{\circ}$ olur. Sonuç: A şıkkı.

Bir üçgende iç açı ortay ile yükseklik arasındaki açının formülü $\frac{|\widehat{B} - \widehat{C}|}{2}$ dir. Verilenlere göre $\frac{|\widehat{B} - \widehat{C}|}{2} = 20^{\circ} \implies |\widehat{B} - \widehat{C}| = 40^{\circ}$ dir. Zaten soruda da bu verilmiş. Ayrıca üçgenin iç açılar toplamı $180^{\circ}$ olduğundan $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}$ dir. Yükseklik ve açıortay kuralından ayrıca $\widehat{A} = 180^{\circ} - (B+C)$ bağıntısı vardır. Burada ek bilgi olarak $\widehat{B} - \widehat{C} = 40^{\circ}$ veya $\widehat{C} - \widehat{B} = 40^{\circ}$ olabilir. Şayet $\widehat{B} > \widehat{C}$ ise $\widehat{B} - \widehat{C} = 40^{\circ}$ dir. Bu tip sorularda standart değerler üzerinden $B$ açısının alabileceği olası değerlerden biri sorulur. Seçeneklere göre işlem yapıldığında, $\widehat{B} = 70^{\circ}$ ve $\widehat{C} = 30^{\circ}$ olursa fark $40^{\circ}$ olur. Sonuç: B şıkkı.

$AB \perp AD$ ve $AC \perp CD$ ise $A$ ve $D$ merkezli dörtgen çemberde iç açılar toplamından veya kirişler dörtgeni özelliğinden gidilebilir. $A$ ve $D$ açılarının toplamı $90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ olduğundan $ABCD$ dörtgeni bir kirişler dörtgenidir. Bu durumda $\widehat{BAC}$ ile $\widehat{BDC}$ aynı yayı gördükleri için veya karşılıklı açılar bütünler olduğundan, $\widehat{BAC} + \widehat{BDC} = 180^{\circ}$ olur. $50^{\circ} + \widehat{BDC} = 180^{\circ} \implies \widehat{BDC} = 130^{\circ}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$AB = AD$ olduğundan $\widehat{ABD} = \widehat{ADB} = \widehat{B}$ tir. $AD = DC$ olduğundan $\widehat{DAC} = \widehat{C}$ tir. $ADB$ üçgeninin dış açısı $\widehat{ADC}$ dir ve $\widehat{ADC} = \widehat{B} + \widehat{B} = 2\widehat{B}$ olur. $AD = DC$ olduğundan $\widehat{DAC} = \widehat{C} = 2\widehat{B}$ olur. Soru kökünde $\widehat{B} = 2\widehat{C}$ verilmişti. Buradan $\widehat{C} = 2(2\widehat{C}) = 4\widehat{C}$ gibi bir çelişki olmaması için oranları dikkatli koyalım: $AB = AD \implies \widehat{ABD} = \widehat{ADB} = \widehat{B}$. $\widehat{ADC} = 2\widehat{B}$. $AD=DC \implies \widehat{C} = \widehat{DAC} = 2\widehat{B}$. O halde $\widehat{C} = 2\widehat{B}$ dir. Soruda $\widehat{B} = 2\widehat{C}$ verilmişti, o halde $\widehat{B} = 2(2\widehat{B}) \implies 3\widehat{B} = 180^{\circ}$ yerine üçgenin açılarını yazalım: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}$. $\widehat{A} = \widehat{DAC} + \widehat{DAB} = 2\widehat{B} + \widehat{B} = 3\widehat{B}$. Toplam: $3\widehat{B} + \widehat{B} + 2\widehat{B} = 180^{\circ} \implies 6\widehat{B} = 180^{\circ} \implies \widehat{B} = 30^{\circ}$. $\widehat{C} = \frac{\widehat{B}}{2} = 15^{\circ}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Yöndeş açılar birbirine eşittir. Bu açılardan biri $3x + 10^{\circ}$ diğeri de aynı ölçüdedir. İkinci açının bütünleri $2x + 20^{\circ}$ verilmişse, bu açı $180^{\circ} - (2x + 20^{\circ}) = 160^{\circ} - 2x$ olur. Yöndeş oldukları için bu iki ifade birbirine eşitlenir: $3x + 10^{\circ} = 160^{\circ} - 2x$ $5x = 150^{\circ} \implies x = 30^{\circ}$. Sonuç: E şıkkı.

Bir üçgende bir köşeye ait iç açı ortay ile dış açı ortay her zaman birbirine diktir ($90^{\circ}$ açı yapar). Çünkü iç açı ile dış açının toplamı $180^{\circ}$ dir, bunların açıortaylarının toplamı ise $180 / 2 = 90^{\circ}$ yapar. Sonuç: A şıkkı.

Bir üçgende diklik merkezi $H$ ise, $BHC$ açısı ile $A$ açısı arasında $\widehat{BHC} = 180^{\circ} - \widehat{A}$ bağıntısı vardır (veya geniş açı durumu için $\widehat{BHC} = 90^{\circ} + \text{diğer açılar}$ yerine doğrudan $\widehat{BHC} = 180^{\circ} - \widehat{A}$ veya $\widehat{A} = 180^{\circ} - \widehat{BHC}$ kuralı uygulanır). Buradan $\widehat{A} = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$AB = AC$ olduğu için $ABC$ ikizkenar üçgendir. $\widehat{B} = \widehat{C} = 2\alpha$ diyelim. $BD$ açıortay olduğundan $\widehat{ABD} = \widehat{DBC} = \alpha$ olur. $BD = BC$ olduğundan $BDC$ ikizkenar üçgendir, dolayısıyla $\widehat{BDC} = \widehat{C} = 2\alpha$ olur. $ABD$ üçgeninde dış açı kuralından $\widehat{BDC} = \widehat{A} + \widehat{ABD} \implies 2\alpha = \widehat{A} + \alpha \implies \widehat{A} = \alpha$ dır. $ABC$ üçgeninin iç açıları toplamı: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ} \implies \alpha + 2\alpha + 2\alpha = 180^{\circ} \implies 5\alpha = 180^{\circ} \implies \alpha = 36^{\circ}$ bulunur. $A$ açısı $\alpha$ olduğundan $36^{\circ}$ dir. Sonuç: C şıkkı.

Açımız $x$ olsun. Bütünleri $180^{\circ} - x$ tir. Denklem: $x = \frac{180^{\circ} - x}{2} + 30^{\circ}$ $2x = 180^{\circ} - x + 60^{\circ}$ $3x = 240^{\circ} \implies x = 80^{\circ}$. Bu açının tümleri $90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ}$ olur. Sonuç: D şıkkı.

Kenarortay ve yükseklik aynı doğru üzerindeyse bu üçgen ikizkenar ya da eşkenar üçgendir. $AB = AC$ ikizkenar üçgenidir. Taban açıları eşittir, yani $\widehat{B} = \widehat{C} = 55^{\circ}$ dir. İç açılar toplamı $180^{\circ}$ olduğundan $\widehat{A} + 55^{\circ} + 55^{\circ} = 180^{\circ} \implies \widehat{A} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \implies \widehat{A} = 70^{\circ}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Üçgenin iç açılar toplamı $180^{\circ}$ dir: $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^{\circ}$. $\widehat{A} = 40^{\circ}$ verilmiştir. O halde $\widehat{B} + \widehat{C} = 140^{\circ}$ olur. Ayrıca $\widehat{C} - \widehat{B} = 20^{\circ}$ dir. Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: $(\widehat{B} + \widehat{C}) + (\widehat{C} - \widehat{B}) = 140^{\circ} + 20^{\circ}$ $2\widehat{C} = 160^{\circ} \implies \widehat{C} = 80^{\circ}$. Buradan $\widehat{B} = 140^{\circ} - 80^{\circ} = 60^{\circ}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Üçgenin dış açıları toplamı $360^{\circ}$ dir. $x + y + z = 360^{\circ}$ denkleminden: $3\alpha + 4\alpha + 5\alpha = 360^{\circ}$ $12\alpha = 360^{\circ} \implies \alpha = 30^{\circ}$ olur. Dış açıları bulalım: $x = 90^{\circ}$, $y = 120^{\circ}$, $z = 150^{\circ}$. Bu dış açılara karşılık gelen iç açılar sırasıyla: $180 - 90 = 90^{\circ}$, $180 - 120 = 60^{\circ}$, $180 - 150 = 30^{\circ}$ olur. En küçük iç açı $30^{\circ}$ dir. Sonuç: B şıkkı.

Açımız $x$ olsun. Tümleri $90^{\circ} - x$, bütünleri $180^{\circ} - x$ tir. Toplamları $140^{\circ}$ verilmiş: $(90^{\circ} - x) + (180^{\circ} - x) = 140^{\circ}$ $270^{\circ} - 2x = 140^{\circ}$ $2x = 130^{\circ} \implies x = 65^{\circ}$. Sonuç: C şıkkı.

Bir üçgende iki dış açıortayın kesişim açısı $K$ olmak üzere, $\widehat{BKC} = 90^{\circ} - \frac{\widehat{A}}{2}$ bağıntısı vardır. Verilenleri yerine koyalım: $40^{\circ} = 90^{\circ} - \frac{\widehat{A}}{2}$ $\frac{\widehat{A}}{2} = 50^{\circ} \implies \widehat{A} = 100^{\circ}$. Sonuç: D şıkkı.

İç açılar $3k, 4k, 5k$ olsun. İç açılar toplamı $180^{\circ}$ dir: $3k + 4k + 5k = 180^{\circ}$ $12k = 180^{\circ} \implies k = 15^{\circ}$. En büyük iç açı $5k$ dir: $5 \cdot 15^{\circ} = 75^{\circ}$ olur. Sonuç: E şıkkı.

$AB = AC$ ve $AH \perp BC$ olduğundan $AH$ aynı zamanda açıortay ve kenarortaysatır. $D$ noktası $AH$ üzerinde olduğundan $DB = DC$ dir ($H$ orta nokta olduğundan $AH$ doğrusu $BC$ nin orta dikmesidir). Bu durumda $DBC$ ikizkenar üçgendir ve $\widehat{DCB} = \widehat{DBC} = 20^{\circ}$ dir. $AH \perp BC$ olduğundan $H$ açısı $90^{\circ}$ dir. $DHC$ dik üçgeninde $\widehat{HCD} = 20^{\circ}$ ise $\widehat{HDC} = 90^{\circ} - 20^{\circ} = 70^{\circ}$ olur. $ADC$ açısı ile $HDC$ açısı bütünlerdir (çünkü $H$ noktası $AH$ üzerindedir, $ADC$ geniş açıdır veya $AH$ simetri eksenidir). Daha doğrusu $D$ noktası $AH$ üzerinde olduğundan $\widehat{ADC}$ açısı, $DHC$ dik üçgeninin dış açısı veya bütünleridir: $\widehat{ADC} = 90^{\circ} + 20^{\circ} = 110^{\circ}$ (veya $180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ}$). Sonuç: A şıkkı.