YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Mutlak Değer & Üslü-Köklü İfadeler #1

İkinci mutlak değer ifadesini paranteze alarak düzenleyelim: $|3x - 6| = |3(x - 2)| = 3|x - 2|$ Denklemi bu şekilde yeniden yazalım: $|x - 2| + 3|x - 2| = 16$ $4|x - 2| = 16$ $|x - 2| = 4$ Bu durumda iki farklı durum söz konusudur: 1) $x - 2 = 4 \implies x = 6$ 2) $x - 2 = -4 \implies x = -2$ Bulunan değerlerin toplamı: $6 + (-2) = 4$. Sonuç: B şıkkı.

Verilen şartlara göre $x$ negatif ($x < 0$), $y$ pozitif ($y > 0$) birer gerçel sayıdır. 1) $|x - 2y|$ yerine $|x - y|$ ifadesini inceleyelim: $x - y$ farkı negatiftir, bu nedenle dışarı eksi ile çarpılarak çıkar: $-(x - y) = y - x$. 2) $|y|$ ifadesi $y$ pozitif olduğu için doğrudan $y$ olarak çıkar. 3) $|2x|$ ifadesi $x$ negatif olduğu için dışarı eksi ile çarpılarak $-2x$ olarak çıkar. İfadeyi yerine koyalım: $(y - x) - y + (-2x) = y - x - y - 2x = -3x$. Sonuç: D şıkkı.

Mutlak değerli eşitsizlik kuralına göre: $-6 \le x + 4 \le 6$ Her taraftan 4 çıkaralım: $-6 - 4 \le x \le 6 - 4$ $-10 \le x \le 2$ Bu aralıktaki tam sayılar: $-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$'dir. $-10$ ile $10$ arasındaki tam sayıların toplamı sıfır olduğundan, geriye kalan sayılar: $-10 + (-9) + (-8) = -27$. Sonuç: A şıkkı.

Pay kısmındaki üslü ifadeleri $3^x$ parantezine alalım: $3^{x+2} + 3^{x+1} = 3^x \cdot 3^2 + 3^x \cdot 3^1 = 3^x \cdot (9 + 3) = 12 \cdot 3^x$ Paydadaki ifade: $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$ Şimdi oranı yazalım: $\frac{12 \cdot 3^x}{\frac{3^x}{3}} = 12 \cdot 3^x \cdot \frac{3}{3^x} = 12 \cdot 3 = 36$. Sonuç: C şıkkı.

İkinci denklemde 32 sayısını üslü olarak yazalım: $5^b = 2^5$ Birinci denklemden $2 = 5^{1/a}$ olarak yazılabilir veya $2^a = 5$ ifadesini kullanalım: $5^b = (2^a)^b = 2^{a \cdot b} = 32$ 32 sayısı $2^5$'e eşit olduğundan: $2^{a \cdot b} = 2^5 \implies a \cdot b = 5$. Sonuç: B şıkkı.

Önce birinci denklemi çözelim: $32 = 2^5$ $2^{2x - 1} = 2^5 \implies 2x - 1 = 5 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ Şimdi $x = 3$ değerini istenen ifadede yerine koyalım: $4^{x+1} = 4^{3+1} = 4^4 = (2^2)^4 = 2^8 = 256$. Sonuç: D şıkkı.

Köklü ifadeleri dışarı çıkaralım: 1) $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$ 2) $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ 3) $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ İşlemi yapalım: $5\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = (5 - 3 + 2)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. Sonuç: C şıkkı.

Birinci terimdeki paydayı eşleniği olan $(3 + \sqrt{3})$ ile çarpalım: $\frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6} = 3 + \sqrt{3}$ Şimdi orijinal işlemde yerine koyalım: $(3 + \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 3$. Sonuç: B şıkkı.

Köklü ifadeleri dışarı çıkaralım: $\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 24$ Benzer terimleri toplayalım: $6\sqrt{x} = 24$ Her iki tarafı 6'ya bölelim: $\sqrt{x} = 4$ Her iki tarafın karesini alalım: $x = 16$. Sonuç: D şıkkı.

İki mutlak değerin toplamı sıfır ise, her bir mutlak değerin içi ayrı ayrı sıfıra eşit olmalıdır (çünkü mutlak değer negatif olamaz). 1) $x - 2 = 0 \implies x = 2$ 2) $y + 3 = 0 \implies y = -3$ Çarpımları: $2 \cdot (-3) = -6$. Sonuç: A şıkkı.

$8^{a+1}$ ifadesini $2^a$ cinsinden düzenleyelim: $8^{a+1} = (2^3)^{a+1} = 2^{3(a+1)} = 2^{3a + 3} = (2^a)^3 \cdot 2^3$ $2^a = 3$ değerini yerine koyalım: $= 3^3 \cdot 8 = 27 \cdot 8 = 216$. Sonuç: E şıkkı.

Bu tür sonsuz köklü toplamalarda, sayı ($12$) aralarındaki fark 1 olan iki ardışık tam sayının çarpımı şeklinde yazılır: $12 = 4 \cdot 3$. Arada artı (+) işareti olduğu için büyük olan çarpan sonuç olur, yani 4. Sonuç: C şıkkı.

Mutlak değerlerin içindeki sayıları pozitif olarak dışarı çıkaralım: - $|-5| = 5$ - $|-3| = 3$ - $|-2| = 2$ - $|-4| = 4$ - $|-2| = 2$ İşlemde yerine koyalım: $\frac{5 + 3 \cdot 2}{4 - 2} = \frac{5 + 6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$. Sonuç: D şıkkı.

Negatif üsleri rasyonel sayıya çevirelim: - $2^{-2} = \frac{1}{4}$ - $3^{-1} = \frac{1}{3}$ - $2^{-1} = \frac{1}{2}$ - $4^{-1} = \frac{1}{4}$ Pay kısmını toplayalım: $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$ Paydayı çıkaralım: $\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ Oranı hesaplayalım: $\frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{4}} = \frac{7}{12} \cdot \frac{4}{1} = \frac{7}{3}$. Sonuç: B şıkkı.

Köklü sayıları karşılaştırabilmek için kök derecelerini eşitlemeliyiz. Dereceler 3, 2 ve 6'dır; ortak katları 6'dır. 1) $a = \sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}$ 2) $b = \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$ 3) $c = \sqrt[6]{30}$ Kök dereceleri eşit olduğuna göre içindeki sayılara bakarak sıralayabiliriz: $4 < 27 < 30 \implies \sqrt[6]{4} < \sqrt[6]{27} < \sqrt[6]{30}$ Sıralama: $a < b < c$. Sonuç: A şıkkı.

Mutlak değerli denklemi iki durumda çözelim: Durum 1: $2x - 1 = x + 5 \implies x = 6$ Bu değeri denklemde yerine koyup kontrol edelim: $|2(6) - 1| = 11$ ve $6 + 5 = 11$ (Sağlar). Durum 2: $2x - 1 = -(x + 5) \implies 2x - 1 = -x - 5 \implies 3x = -4 \implies x = -\frac{4}{3}$ Bu değeri kontrol edelim: $|2(-4/3) - 1| = |-11/3| = 11/3$ ve $-4/3 + 5 = 11/3$ (Sağlar). Bulunan değerlerin toplamı: $6 + \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{14}{3}$. Sonuç: C şıkkı.

Verilen denklemi $3^x$ değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem haline getirelim: $(3^x)^2 - 4 \cdot 3^1 \cdot 3^x + 27 = 0$ $(3^x)^2 - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$ $3^x = t$ dönüşümü yapalım: $t^2 - 12t + 27 = 0$ Çarpanlarına ayıralım: $(t - 9)(t - 3) = 0$ Buradan $t_1 = 9$ ve $t_2 = 3$ bulunur. 1) $3^x = 9 \implies x = 2$ 2) $3^x = 3 \implies x = 1$ Bulunan $x$ değerlerinin toplamı: $2 + 1 = 3$. Sonuç: B şıkkı.

İç içe kök kuralını hatırlayalım: $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ formatında olmalıdır. Verilen ifadeyi düzenleyelim: $\sqrt{9 + 2\sqrt{10}}$ Çarpımları 10'u, toplamları 9'u veren iki sayı 5 ve 2'dir ($5 \cdot 2 = 10$, $5 + 2 = 9$). Buna göre ifade dışarı $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ olarak çıkar. Sonuç: A şıkkı.

Mutlak değerli eşitsizliği çözelim: 1) $2x - 1 > 0 \implies x > \frac{1}{2}$ olmalıdır. 2) $- (2x - 1) < x - 3 < 2x - 1$ Sol tarafı çözelim: $-2x + 1 < x - 3 \implies 4 < 3x \implies x > \frac{4}{3}$ Sağ tarafı çözelim: $x - 3 < 2x - 1 \implies -2 < x$ Bulunan koşulları birleştirelim: $x > \frac{4}{3}$. Çözüm aralığı $(\frac{4}{3}, \infty)$ şeklindedir. Sonuç: E şıkkı.

Verilen ifadeyi $3^x$ cinsinden yazalım: $9^x = (3^x)^2$ $3^{x+1} = 3^x \cdot 3$ $3^x = 2$ değerini yerine koyalım: $= 2^2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$. Sonuç: C şıkkı.