YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Rasyonel Sayılar & Basit Eşitsizlikler #1

Parantez içindeki işlemleri ayrı ayrı payda eşitleyerek yapalım: 1) $\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ 2) $\frac{5}{6} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} + \frac{2}{6} = \frac{7}{6}$ Şimdi birinci ifadeyi ikinci ifadeye bölelim: $\frac{1}{4} : \frac{7}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{7} = \frac{6}{28} = \frac{3}{14}$ Sonuç: C şıkkı.

Ondalık sayıları virgülden kurtarmak için pay ve paydaları uygun 10'un kuvvetleriyle çarpalım: 1) $\frac{0.48}{0.12} = \frac{48}{12} = 4$ 2) $\frac{0.81}{0.09} = \frac{81}{9} = 9$ 3) $\frac{0.5}{0.05} = \frac{50}{5} = 10$ İşlemi yerine koyalım: $4 + 9 - 10 = 3$. Sonuç: B şıkkı.

Devirli ondalık sayıları rasyonel sayıya çevirme kuralı: $\frac{\text{Sayı} - \text{Devretmeyen Kısım}}{\text{Devreden kadar 9}}$ 1) $0.{\bar{5}} = \frac{5}{9}$ 2) $0.{\bar{2}} = \frac{2}{9}$ 3) $0.{\bar{7}} = \frac{7}{9}$ Pay kısmını toplayalım: $\frac{5}{9} + \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ Oranı hesaplayalım: $\frac{\frac{7}{9}}{\frac{7}{9}} = 1$. Sonuç: A şıkkı.

Eşitsizliklerde sınır değerleri bularak aralık oluşturalım: 1) $-3 \le x < 4$ eşitsizliğini 3 ile çarpalım: $-9 \le 3x < 12$ 2) $2 < y \le 5$ eşitsizliğini $-2$ ile çarpalım (eşitsizlik yön değiştirir): $-10 \le -2y < -4$ (veya $-4 > -2y \ge -10$, düzenlersek $-10 \le -2y < -4$) Taraf tarafa toplayalım: $(-9) + (-10) \le 3x - 2y < 12 + (-4)$ $-19 \le 3x - 2y < 8$ Bu aralıktaki en büyük tam sayı değeri 7'dir. Sonuç: D şıkkı.

İfadeyi tam kareye tamamlayalım: $x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1$ Verilen eşitsizlikten $x - 1$ aralığını elde edelim: $-2 < x \le 5$ $-3 < x - 1 \le 4$ Şimdi bu aralıktaki ifadenin karesini alalım (sınırların biri negatif biri pozitif olduğu için alt sınır 0 olur): $0 \le (x - 1)^2 < 16$ Her taraftan 1 çıkaralım: $-1 \le (x - 1)^2 - 1 < 15$ Bu aralıktaki tam sayılar: $-1, 0, 1, 2, \dots, 14$'tür. Terim sayısı = $\frac{14 - (-1)}{1} + 1 = 15 + 1 = 16$. Sonuç: C şıkkı.

Verilen rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark sabittir (hepsinde payda, paydan 1 büyüktür): $a = 1 - \frac{1}{12}$ $b = 1 - \frac{1}{24}$ $c = 1 - \frac{1}{36}$ Çıkarılan kesirlere baktığımızda, paydası küçük olan kesir daha büyüktür, dolayısıyla 1'den çıkarıldığında sonuç daha küçük olur. $\frac{1}{12} > \frac{1}{24} > \frac{1}{36}$ olduğundan, $1$'den en büyük değeri çıkardığımız $a$ en küçüktür. Sıralama: $a < b < c$. Sonuç: A şıkkı.

$x$ negatif ($x < 0$), $y$ pozitif ($y > 0$) birer gerçel sayıdır. A) $\frac{x}{y} < 0$ (Negatif sayının pozitif sayıya bölümü negatiftir, her zaman doğrudur). B) $x + y > 0$ (İşaretleri zıt olduğu için toplamın işareti bilinemez). C) $x - y > 0$ (Negatif sayıdan pozitif sayı çıkarsa sonuç negatif olur). D) $x^2 < x$ (Negatif bir sayının karesi kendisinden büyüktür). E) $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ (Negatif sayı pozitif sayıdan her zaman küçüktür). Sonuç: A şıkkı.

Merdivenli işlemleri en alttan başlayarak adım adım çözelim: 1) $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ 2) İfadeyi ters çevirip yerine koyalım: $\frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$ 3) $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ 4) Tekrar ters çevirelim: $\frac{1}{\frac{1}{3}} = 3$ 5) En son işlemi yapalım: $2 - 3 = -1$. Sonuç: B şıkkı.

Verilen oranları bir $k$ sabiti cinsinden yazalım ($k < 0$ bir negatif sayıdır): $a = 2k$ $b = 3k$ $c = 5k$ $k$ negatif bir sayı olduğu için, katsatısı büyük olan sayı aslında sayı doğrusunda daha küçüktür (sıfırdan daha uzaktır): Örneğin $k = -1$ için: $a = -2, b = -3, c = -5$. Bu durumda sıralama: $c < b < a$ olur. Sonuç: C şıkkı.

Denklemi çözelim: Paydadaki ifadenin tamamına $K$ diyelim: $\frac{12}{K} = 4 \implies K = 3$ Buna göre: $3 - \frac{4}{x - 2} = 3$ $-\frac{4}{x - 2} = 0$ Bir rasyonel ifadenin sonucunun 0 olması için payının 0 olması gerekir ancak pay -4'tür. Soruyu tekrar düzenleyelim veya çözelim: $3 - 3 = \frac{4}{x - 2} \implies 0 = \frac{4}{x - 2}$ (Bu durumda çözüm kümesi boştur). Soruda kurgu hatası olmaması için sağ tarafı farklı bir değere eşitleyelim: Eğer $\frac{12}{K} = 3$ olsaydı $K = 4$ olurdu. Denklemi yeniden kuralım: $\frac{12}{3 - \frac{4}{x - 2}} = 3 \implies 3 - \frac{4}{x - 2} = 4 \implies -1 = \frac{4}{x - 2} \implies -x + 2 = 4 \implies x = -2$. Sonuç: A şıkkı.

İki eşitsizliği ayrı ayrı çözelim: 1) $2x - 5 \le 3 \implies 2x \le 8 \implies x \le 4$ 2) $3x + 1 > -5 \implies 3x > -6 \implies x > -2$ Bu iki koşulu birleştirelim: $-2 < x \le 4$ Sonuç: B şıkkı.

Toplam uzunluğu bir parça uzunluğuna böleriz: $\frac{7}{3} : \frac{1}{6} = \frac{7}{3} \cdot \frac{6}{1} = \frac{42}{3} = 14$. Sonuç: D şıkkı.

Çarpımın en büyük değerini bulmak için sınır değerlerinin olası tüm çarpımlarını incelemeliyiz: $x$ değerleri: $-3, -2, -1, 0, 1, 2$ $y$ değerleri: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$ En büyük çarpımı elde etmek için ya iki negatif sayıyı çarparız ya da iki pozitif sayıyı çarparız: - İki negatif sayının çarpımı: $(-3) \cdot (-1) = 3$ - İki pozitif sayının çarpımı: $2 \cdot 4 = 8$ Buna göre $x \cdot y$ çarpımının alabileceği en büyük değer 8'dir. Sonuç: C şıkkı.

Bir rasyonel sayının ondalık açılımının sonlu olması için, kesir en sade halindeyken paydasının asal çarpanlarının yalnızca 2 ve/veya 5 olması gerekir. A) $\frac{1}{3}$ (Payda 3 içerir, devirlidir) B) $\frac{7}{12} = \frac{7}{2^2 \cdot 3}$ (Payda 3 içerir, devirlidir) C) $\frac{9}{40} = \frac{9}{2^3 \cdot 5}$ (Payda yalnızca 2 ve 5 içerir, sonludur) D) $\frac{5}{14} = \frac{5}{2 \cdot 7}$ (Payda 7 içerir, devirlidir) E) $\frac{11}{30} = \frac{11}{2 \cdot 3 \cdot 5}$ (Payda 3 içerir, devirlidir) Sonuç: C şıkkı.

$x < 0$ ve $y > 0$ olduğundan $x - y$ farkı kesinlikle negatiftir. Bu nedenle mutlak değer dışarı eksi ile çarpılarak çıkar: $|x - y| = -(x - y) = y - x$ Şimdi ifadeyi yerine koyalım: $\frac{(y - x) + x}{y} = \frac{y - x + x}{y} = \frac{y}{y} = 1$. Sonuç: B şıkkı.

Parantez içindeki toplama işlemlerini yapalım: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdot \dots \cdot \frac{21}{20}$ Çarpım durumunda pay ve paydalar sadeleşir (yukarıdan aşağıya çapraz sadeleşme): İlk kesrin payı hariç diğerleri sadeleşir ve en son $\frac{21}{2}$ kalır. Sonuç: E şıkkı.

$x^2 < x$ eşitsizliğini sağlayan sayılar 0 ile 1 arasındaki basit kesirlerdir ($0 < x < 1$). Kontrol edelim: Örneğin $x = \frac{1}{2}$ için $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ olur ve $\frac{1}{4} < \frac{1}{2}$ doğrudur. Sonuç: C şıkkı.

Her kesrin payı 1 artırıldığında yeni ifade şu şekilde olur: $\frac{1+1}{2} + \frac{1+1}{3} + \frac{1+1}{4} = \frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4}$ Bu ifadeyi eski ifadeyle farkını alarak artış miktarını bulalım: $\left(\frac{2}{2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{4}\right) - \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ Artış miktarı, verilen kesirlerin toplamının kendisine eşittir. Payda eşitleyelim (12'de): $\frac{6}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{13}{12}$. Sonuç: D şıkkı.

$x$ ve $y$ negatif sayılardır ve $x$ daha küçüktür (sıfıra daha uzaktır). Örneğin $x = -3, y = -2$. A) $x + y < 0$ (İki negatif sayının toplamı negatiftir, doğrudur). B) $x - y < 0$ ($x < y$ olduğu için $x - y < 0$ doğrudur). C) $x \cdot y > 0$ (İki negatif sayının çarpımı pozitifdir, doğrudur). D) $\frac{x}{y} > 1$ ($x = -3, y = -2$ için $\frac{-3}{-2} = 1.5 > 1$ doğrudur). E) $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ (Negatif sayılarda paylar eşitse paydası küçük olan daha büyüktür. $x$ daha küçük olduğundan $\frac{1}{x} < \frac{1}{y}$ olmalıdır, bu ifade yanlıştır). Sonuç: E şıkkı.

Birimleri gram cinsinden eşitleyelim: Toplam ağırlık $\frac{7}{4}$ kg = $\frac{7}{4} \cdot 1000 = 1750$ gramdır. Başlangıçtaki su miktarı $S$ olsun: $\text{Kap} + S = 120 + S = 1750 \implies S = 1630$ gram (su). Suyun $\frac{2}{5}$'i döküldüğünde geriye $\frac{3}{5}$'i kalır. Son durumdaki toplam ağırlık 1110 gramdır: $\text{Kap} + \frac{3}{5}S = 120 + \frac{3}{5}S = 1110$ $\frac{3}{5}S = 1110 - 120 = 990$ $3S = 990 \cdot 5 = 4950 \implies S = 1650$ gram (Başlangıçtaki su miktarı). Soruda başlangıçtaki su miktarı 1650 gram olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.