YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Temel Kavramlar & Sayı Kümeleri #1

Verilen denklemde $a$ ve $b$ tam sayıdır. $a \cdot b = 12$ eşitliğinde toplamın en büyük olması için $a$ ve $b$ pozitif seçilebilir. Eğer $b = 1$ alınırsa, $a = 12$ olur. Bu durumda $b + c = 7$ denkleminden $1 + c = 7 \implies c = 6$ bulunur. Buradan toplam: $a + b + c = 12 + 1 + 6 = 19$. Eğer $b$ negatif seçilirse (örneğin $b = -1$), $a = -12$ ve $c = 8$ olur, toplam $12$ olur. En büyük değer 19'dur. Sonuç: C şıkkı.

Verilen denklem: $3x + 5y = 2z$ Eşitliğin sağ tarafı ($2z$) her zaman çift sayıdır. Bu nedenle sol taraf da çift olmalıdır. $3x + 5y$ ifadesinin çift olabilmesi için $3x$ ve $5y$ ya ikisi de çift ya ikisi de tek olmalıdır (toplamın çift olması için). Ancak 3 ve 5 tek sayıdır. $3x$'in tek olması için $x$ tek, çift olması için $x$ çift olmalıdır; aynı şekilde $y$ için de geçerlidir. İki tek sayının toplamı çift olacağından $x$ ve $y$ aynı anda tek ya da aynı anda çift olmalıdır, bu da $x$ ve $y$ 'nin toplamının her zaman çift olduğunu gösterir ($x + y$ çifttir). Sonuç: B şıkkı.

$p$ bir asal sayıdır ve $p \cdot (p - q) = 35$ denklemini sağlamaktadır. 35 sayısının pozitif çarpanları 1, 5, 7 ve 35'tir. $p$ asal olduğu için 1 olamaz. $p$ ya 5 ya da 7 olabilir (çünkü 35 asal değildir). Durum 1: $p = 5$ olursa, $5 \cdot (5 - q) = 35 \implies 5 - q = 7 \implies q = -2$ olur. Ancak $q$ asal olmalıdır, bu yüzden bu durum geçersizdir. Durum 2: $p = 7$ olursa, $7 \cdot (7 - q) = 35 \implies 7 - q = 5 \implies q = 2$ olur. $q = 2$ bir asal sayıdır ve koşulları sağlar. Buna göre $p = 7$ ve $q = 2$'dir. Toplam: $p + q = 7 + 2 = 9$. Sonuç: C şıkkı.

Ortanca sayıyı bulmak için toplamı terim sayısı olan 5'e böleriz: $115 / 5 = 23$ Bu sayı ardışık 5 tek sayının ortancasıdır (3. sayıdır). Sayılar sırasıyla: $19, 21, 23, 25, 27$ olur. Bu durumda en büyük sayı 27'dir. Sonuç: D şıkkı.

Verilen ifadede pay ve paydayı küçük faktöriyel cinsinden paranteze alalım: Pay: $8! + 7! = 8 \cdot 7! + 7! = 7! \cdot (8 + 1) = 9 \cdot 7! = 9 \cdot 7 \cdot 6!$ Payda: $7! - 6! = 7 \cdot 6! - 6! = 6! \cdot (7 - 1) = 6 \cdot 6!$ Şimdi oranı yazalım: $\frac{9 \cdot 7 \cdot 6!}{6 \cdot 6!} = \frac{63}{6} = \frac{21}{2} = 10.5$ Sonuç: B şıkkı.

AB sayısı = $10A + B$ Rakamları yer değiştirdiğinde oluşan sayı BA = $10B + A$ Sayıdaki artış miktarını yazalım: $(10B + A) - (10A + B) = 36$ $9B - 9A = 36 \implies 9(B - A) = 36 \implies B - A = 4$ Bu şartı sağlayan (A, B) iki basamaklı sayı şartına uygun rakam ikilileri ($A \neq 0$): Eğer $A = 1$ ise $B = 5$ (15) Eğer $A = 2$ ise $B = 6$ (26) Eğer $A = 3$ ise $B = 7$ (37) Eğer $A = 4$ ise $B = 8$ (48) Eğer $A = 5$ ise $B = 9$ (59) Toplamda 5 farklı AB sayısı yazılabilir. Sonuç: C şıkkı.

Bir sayının 15 ile kalansız bölünebilmesi için aralarında asal olan 3 ve 5 ile ayrı ayrı kalansız bölünmesi gerekir. 1) 5 ile bölünebilme kuralı: Son basamak 0 veya 5 olmalıdır. Yani $B = 0$ veya $B = 5$. Durum 1: $B = 0$ ise sayı $4A20$ olur. 3 ile bölünebilme kuralı için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır: $4 + A + 2 + 0 = 6 + A$ $6 + A$ ifadesinin 3'ün katı olması için A'nın alabileceği değerler: $0, 3, 6, 9$. Durum 2: $B = 5$ ise sayı $4A25$ olur. Rakamları toplamı: $4 + A + 2 + 5 = 11 + A$ $11 + A$ ifadesinin 3'ün katı olması için A'nın alabileceği değerler: $1, 4, 7$. A'nın alabileceği tüm değerler: $0, 1, 3, 4, 6, 7, 9$. Bu değerlerin toplamı: $0 + 1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 9 = 30$. Sonuç: D şıkkı.

En az sayıda kare parsel elde etmek için karelerin kenar uzunluğu olabildiğince büyük olmalıdır. Bu uzunluk 36 ve 60 sayılarını kalansız bölen en büyük sayı, yani EBOB(36, 60)'tır. $36 = 2^2 \cdot 3^2$ $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ $EBOB(36, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12$ cm. Oluşan bir karenin alanı = $12 \cdot 12$ Kartonun alanı = $36 \cdot 60$ Gerekli parsel sayısı = (Kartonun Alanı) / (Bir Karenin Alanı) $\frac{36 \cdot 60}{12 \cdot 12} = 3 \cdot 5 = 15$. Sonuç: B şıkkı.

İşlemdeki her parantezi kendi içinde düzenleyelim: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{12}$ Bu çarpımda pay ve paydalar çapraz olarak birbirini sadeleştirir (teleskopik çarpım): $\frac{1}{n} = \frac{1}{12}$ Buradan $n = 12$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Denklemi açarak düzenleyelim: $3x - 6 - 2x - 2 = 4x - 12$ $x - 8 = 4x - 12$ $-8 + 12 = 4x - x$ $4 = 3x \implies x = \frac{4}{3}$ Sonuç: A şıkkı.

$2x - 3y$ ifadesinin en küçük değerini bulmak için $x$'i olabildiğince küçük, $y$'yi ise olabildiğince büyük seçmeliyiz. Verilen aralıklar tam sayıları kapsadığı için: $x$ için alınabilecek en küçük değer: $x = -2$ $y$ için alınabilecek en büyük değer: $y = 6$ Bu değerleri ifadede yerine koyalım: $2(-2) - 3(6) = -4 - 18 = -22$. Sonuç: B şıkkı.

$|3 - x|$ ifadesi, mutlak değerin özelliğinden ötürü $|x - 3|$ ile eşittir. Denklemi bu şekilde düzenleyelim: $|x - 3| + 2|x - 3| = 15$ $3|x - 3| = 15$ $|x - 3| = 5$ Bu durumda mutlak değer denkleminin iki çözümü vardır: 1) $x - 3 = 5 \implies x = 8$ 2) $x - 3 = -5 \implies x = -2$ Bulunan değerlerin toplamı: $8 + (-2) = 6$. Sonuç: C şıkkı.

Verilen ifadeyi $2^x$ cinsinden yazalım: $2^{x+2} + 4^{x} = 2^x \cdot 2^2 + (2^2)^x = 2^x \cdot 4 + (2^x)^2$ $2^x = 5$ değerini yerine koyalım: $= 5 \cdot 4 + 5^2 = 20 + 25 = 45$. Sonuç: D şıkkı.

Köklü sayıları dışarı çıkaralım: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$ $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$ $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ İfadenin pay kısmını toplayalım: $4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$ Paydaya bölelim: $\frac{7\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{2} = 3.5$ Sonuç: B şıkkı.

İki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanalım: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ Verilen değerleri yerine yazalım: $5^2 = x^2 - 2(6) + y^2$ $25 = x^2 - 12 + y^2$ $x^2 + y^2 = 25 + 12 = 37$. Sonuç: D şıkkı.

Kızların sayısı $3k$, erkeklerin sayısı $4k$ olsun. Sınıfa 4 kız öğrenci katıldığında kızların sayısı $3k + 4$ olur, erkeklerin sayısı değişmez ($4k$). Yeni oran 1'dir: $\frac{3k + 4}{4k} = 1$ $3k + 4 = 4k \implies k = 4$ Başlangıçtaki öğrenci sayısı: Kızlar $3 \cdot 4 = 12$, Erkekler $4 \cdot 4 = 16$. Son durumda sınıfa 4 kız eklendiğinden toplam öğrenci sayısı: $12 + 16 + 4 = 32$. Sonuç: C şıkkı.

2 yataklı oda sayısı $x$ olsun. Toplam 25 oda olduğundan 3 yataklı oda sayısı $25 - x$ olur. Toplam yatak sayısı 64 olduğuna göre denklemimizi kuralım: $2x + 3(25 - x) = 64$ $2x + 75 - 3x = 64$ $75 - x = 64 \implies x = 11$ 2 yataklı oda sayısı 11'dir. Sonuç: B şıkkı.

Önce %40 kârlı satış fiyatını bulalım: $300 \cdot \frac{140}{100} = 300 \cdot 1.4 = 420$ TL. Şimdi bu satış fiyatı üzerinden %20 indirim uygulayalım: $420 \cdot \frac{80}{100} = 420 \cdot 0.8 = 336$ TL. Sonuç: C şıkkı.

Karşılaşma problemlerinde iki aracın hızları toplamı, süresiyle çarpılarak toplam yol bulunur. İki aracın hızları toplamı: $70 + 50 = 120$ km/s. Karşılaşma süresi: 4 saat. Toplam yol = (Hızlar Toplamı) $\cdot$ Zaman $Yol = 120 \cdot 4 = 480$ km. Sonuç: D şıkkı.

Küme elemanlarını kurala göre yerleştirelim: Sadece futbol oynayanlar = $2x$ Sadece basketbol oynayanlar = $x$ Her iki sporu yapanlar (Kesişim) = 4 Sınıftaki toplam öğrenci sayısı (Birleşim): $2x + x + 4 = 28$ $3x + 4 = 28 \implies 3x = 24 \implies x = 8$ Futbol oynayan toplam öğrenci sayısı (Sadece futbol + Her ikisi): $2x + 4 = 2(8) + 4 = 16 + 4 = 20$. Sonuç: E şıkkı.