YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Bölünebilme Kuralları & EBOB-EKOK #1

36 ile kalansız bölünebilen bir sayı, aralarında asal olan 4 ve 9 ile ayrı ayrı kalansız bölünmelidir. 1) 4 ile bölünebilme kuralı: Son iki basamak ($3B$) 4'ün katı olmalıdır. $3B$ için $B = 2$ veya $B = 6$ olabilir. Durum 1: $B = 2$ için sayı $7A232$ olur. 9 ile bölünebilme kuralı için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır: $7 + A + 2 + 3 + 2 = 14 + A$ $14 + A$ ifadesinin 9'un katı olması için $A = 4$ olmalıdır. Durum 2: $B = 6$ için sayı $7A236$ olur. Rakamları toplamı: $7 + A + 2 + 3 + 6 = 18 + A$ $18 + A$ ifadesinin 9'un katı olması için $A = 0$ veya $A = 9$ olmalıdır. Buna göre $A$'nın alabileceği değerler 0, 4 ve 9 olmak üzere 3 tanedir. Sonuç: B şıkkı.

11 ile bölünebilme kuralı için sayının rakamları sağdan sola doğru sırasıyla $+$, $-$, $+$, $-$ işaretleriyle çarpılır ve toplanır. Sayı: $X4Y2$ İşlem: $(2 + Y) - (4 + X) = 11K$ ($K$ bir tam sayıdır). $2 + Y - 4 - X = Y - X - 2 = 11K$ Buradan $Y - X - 2$ ifadesi 11'in katı olmalıdır. $X$ ve $Y$ birer rakam olduğu için $Y - X$ farkı en az $-9$, en çok $9$ olabilir. Bu durumda $Y - X - 2$ ifadesi yalnızca 0 olabilir (çünkü 11 veya $-11$ olamaz): $Y - X - 2 = 0 \implies Y - X = 2 \implies Y = X + 2$ $X$ ve $Y$ birer rakam olduğundan: $X = 0 \implies Y = 2$ $X = 1 \implies Y = 3$ $X = 2 \implies Y = 4$ $X = 3 \implies Y = 5$ $X = 4 \implies Y = 6$ $X = 5 \implies Y = 7$ $X = 6 \implies Y = 8$ $X = 7 \implies Y = 9$ $X$'in alabileceği 8 farklı değer vardır. Sonuç: D şıkkı.

9 ile bölünebilme kuralı rakamlar toplamının 9'un katından kalanı bulmaktır. $4 + 5 + 6 + 7 + A = 22 + A$ $22 + A$ sayısının 9 ile bölümünden kalan 5 olduğuna göre: $22 + A = 9k + 5$ $17 + A = 9k$ $17$'den büyük ve 9'un katı olan ilk sayı 18'dir. Bu durumda $17 + A = 18 \implies A = 1$ olur. Sonuç: A şıkkı.

Parçaların en büyük hacimli olması için küplerin bir kenar uzunluğu 48, 72 ve 96 sayılarının EBOB'u olmalıdır. $48 = 2^4 \cdot 3$ $72 = 2^3 \cdot 3^2$ $96 = 2^5 \cdot 3$ $EBOB(48, 72, 96) = 2^3 \cdot 3 = 24$ cm. Küplerin bir kenarı 24 cm'dir. Toplam küp sayısı, büyük prizmanın hacminin bir küpün hacmine bölünmesiyle bulunur: $\text{Küp Sayısı} = \frac{48 \cdot 72 \cdot 96}{24 \cdot 24 \cdot 24} = 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. Sonuç: C şıkkı.

Sayılarımız $a$ ve $b$ olsun. EBOB'ları 6 olduğu için bu sayıları $a = 6x$ ve $b = 6y$ şeklinde yazabiliriz; burada $x$ ve $y$ aralarında asaldır. EKOK kuralına göre: $EBOB \cdot (x \cdot y) = EKOK$ $6 \cdot (x \cdot y) = 120 \implies x \cdot y = 20$ Çarpımları 20 olan ve aralarında asal olan $x$ ve $y$ pozitif tam sayı ikilileri: 1) $x = 1, y = 20$ 2) $x = 4, y = 5$ Sayıların toplamının en az olması için $x$ ve $y$ birbirine en yakın seçilmelidir (4 ve 5). Sayılar: $a = 6 \cdot 4 = 24$ ve $b = 6 \cdot 5 = 30$. Toplamları: $24 + 30 = 54$. Sonuç: B şıkkı.

Verilen bilgiye göre $A = 12k + 5$ olarak yazılabilir. $A^2 + 3A$ ifadesinde $A$ yerine kalanı ($5$) yazarak da kalanı bulabiliriz: $Kalan = 5^2 + 3(5) = 25 + 15 = 40$ Bulunan 40 sayısını 12'ye bölelim: $40 / 12 = 3$ defa, kalan $40 - 36 = 4$ olur. Sonuç: C şıkkı.

Ortak nöbet tutma süreleri 3 ve 5'in EKOK'u kadardır. $EKOK(3, 5) = 15$ gündür. İki hemşire her 15 günde bir birlikte nöbet tutar. 1. ortak nöbet: Salı günü. 4. ortak nöbet için aradan $4 - 1 = 3$ tane 15 günlük süre geçmelidir. Yani toplam: $3 \cdot 15 = 45$ gün sonra olacaktır. 45 günün haftaya göre kalanı: $45 \pmod 7 = 3$ gündür (çünkü $45 = 6 \cdot 7 + 3$). Salı gününden 3 gün sonrasına bakalım: Salı + 1 gün = Çarşamba Salı + 2 gün = Perşembe Salı + 3 gün = Cuma Sonuç: D şıkkı.

45 ile kalansız bölünmesi için sayı 5 ve 9 ile kalansız bölünmelidir. 1) 5 ile bölünebilme kuralı: $B = 0$ veya $B = 5$. Durum 1: $B = 0$ ise sayı $A80$ olur. 9 ile bölünebilme kuralı için rakamları toplamı 9'un katı olmalıdır: $A + 8 + 0 = 8 + A \implies A = 1$ (çünkü $8 + 1 = 9$). Durum 2: $B = 5$ ise sayı $A85$ olur. Rakamları toplamı: $A + 8 + 5 = 13 + A \implies A = 5$ (çünkü $13 + 5 = 18$). Buna göre $A$ için 1 ve 5 olmak üzere 2 farklı değer vardır. Sonuç: A şıkkı.

Direkler arasındaki mesafe olabildiğince büyük olmalıdır ve bu mesafe 12 ile 18'in EBOB'u olmalıdır. $EBOB(12, 18) = 6$ metredir (her bir direk aralığı 6 metredir). Çevre uzunluğu / Direkler arası mesafe bize toplam direk sayısını verir: $\text{Çevre} = 2 \cdot (12 + 18) = 2 \cdot 30 = 60$ metre. $\text{Direk Sayısı} = \frac{\text{Çevre}}{EBOB(12, 18)} = \frac{60}{6} = 10$. Sonuç: B şıkkı.

30 ile kalansız bölünmesi için sayı 3 ve 10 ile kalansız bölünmelidir. 1) 10 ile bölünebilme kuralı: $Y = 0$ olmalıdır. Sayı $X50$ şeklini alır. 2) 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır: $X + 5 + 0 = X + 5$ $X + 5$ ifadesinin 3'ün katı olması için $X$ rakamları: 1, 4 ve 7 olabilir. $X$'in alabileceği değerler toplamı: $1 + 4 + 7 = 12$. Sonuç: C şıkkı.

Bilye sayısı $N$ olsun. Bilyeler 4, 6 ve 8'e bölündüğünde 3 kalanı vermektedir: $N = 4a + 3 = 6b + 3 = 8c + 3$ Bu eşitlikten her taraftan 3 çıkardığımızda $N - 3$ sayısı 4, 6 ve 8'in ortak katı (EKOK) olur. $EKOK(4, 6, 8) = 24$'tür. Buna göre $N - 3 = 24k \implies N = 24k + 3$. Depoda 300'den fazla bilye olduğu belirtilmiştir. $24$'ün 300'den büyük olan en küçük katını bulalım: $24 \cdot 12 = 288$ $24 \cdot 13 = 312$ O halde $N - 3 = 312 \implies N = 312 + 3 = 315$. Sonuç: D şıkkı.

8 ile bölünebilme kuralı için sayının son üç basamağı ($37B$) 8'in katı olmalıdır. $370 / 8 = 46$ (Kalan 2) $37B$ sayısını inceleyelim: $370 + B$ ifadesi 8'e tam bölünmelidir. $370 = 8 \cdot 46 + 2$ $2 + B$ ifadesi 8 veya 8'in katı olmalıdır. $B$ bir rakam olduğu için $2 + B = 8 \implies B = 6$. Başka bir katı için $2 + B = 16 \implies B = 14$ (rakam olamaz). Buna göre $B$ yalnızca 1 farklı değer (6) alabilir. Sonuç: A şıkkı.

Aralarında asal iki sayının EKOK'u bu sayıların çarpımına eşittir. $a \cdot b = 156$ ve $a + b = 25$. Çarpımları 156, toplamları 25 olan iki sayı arıyoruz. Bu sayıları bulmak için 156'nın çarpanlarına bakalım: $156 = 12 \cdot 13$ Kontrol edelim: $12 + 13 = 25$ ve 12 ile 13 aralarında asaldır. Buna göre sayılar 12 ve 13'tür. Büyük sayı 13'tür. Sonuç: C şıkkı.

99 ile kalansız bölünebilen bir sayı, aralarında asal olan 9 ve 11 ile ayrı ayrı kalansız bölünmelidir. 11 ile bölünebilme kuralı için sağdan sola işaret verelim ($+$ ve $-$): Sayı: $X2Y3Z$ $(Z + Y + X) - (3 + 2) = Z + Y + X - 5 = 11K$ Buradan $X + Y + Z = 11K + 5$ olur. $X, Y, Z$ birer rakam olduğu için toplamları en az $0$, en çok $27$ olabilir. Bu durumda $11K + 5$ şartını sağlayan tek durum $K = 1$ için $X + Y + Z = 11 + 5 = 16$'dır. (9 ile kontrol ettiğimizde rakamları toplamı 16 ve 2'nin toplamı 18 olup 9'un katıdır, tutarlıdır). Sonuç: B şıkkı.

Öncelikle 210 sayısının asal çarpanlarını bulalım: $210 = 21 \cdot 10 = (3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$ Asal bölenleri: 2, 3, 5 ve 7'dir. Bu asal bölenlerin toplamı: $2 + 3 + 5 + 7 = 17$. Şimdi seçeneklerdeki hangi sayının 17'ye tam bölündüğünü inceleyelim: A) 34 = $2 \cdot 17$ (17'ye tam bölünür) B) 30 C) 42 D) 51 = $3 \cdot 17$ (ancak seçenekler arasında kontrol edelim; 34 sayısı tam olarak 17'nin 2 katıdır). Bakalım 34 sayısı tam bölünmektedir. Sonuç: A şıkkı.

Aradığımız sayı $N$ olsun. 6 ve 8 ile bölündüğünde 2 kalanı veriyorsa: $N = 6a + 2 = 8b + 2$ Buradan $N - 2$ sayısı 6 ve 8'in ortak katı olmalıdır. $EKOK(6, 8) = 24$'tür. $N - 2 = 24k \implies N = 24k + 2$ Üç basamaklı en küçük doğal sayıyı bulmak için $k$'ya değer verelim: $k = 4$ için $N = 24 \cdot 4 + 2 = 96 + 2 = 98$ (iki basamaklıdır) $k = 5$ için $N = 24 \cdot 5 + 2 = 120 + 2 = 122$ (üç basamaklı en küçük sayıdır) Bu sayının rakamları toplamı: $1 + 2 + 2 = 5$. Sonuç: B şıkkı.

Parçaların eşit ve en büyük uzunlukta olması için parça boyu 120 ve 180'in EBOB'u olmalıdır. $EBOB(120, 180) = 60$ cm'dir. 1) 120 cm'lik çubuk için parça sayısı: $120 / 60 = 2$ parça. Kesim sayısı = $2 - 1 = 1$ kesim. 2) 180 cm'lik çubuk için parça sayısı: $180 / 60 = 3$ parça. Kesim sayısı = $3 - 1 = 2$ kesim. Toplam kesim sayısı: $1 + 2 = 3$ kesim. Her kesim 3 saniye sürdüğüne göre toplam süre: $3 \cdot 3 = 9$ saniyedir. Sonuç: C şıkkı.

12 ile kalansız bölünmesi için sayı 3 ve 4 ile ayrı ayrı kalansız bölünmelidir. 1) 4 ile bölünebilme kuralı: Son iki basamak ($56$) zaten 4'ün katıdır ($56 = 4 \cdot 14$). Bu durumda $B$ rakamı 0'dan 9'a kadar tüm değerleri alabilir ($B'nin en büyük değeri 9$'dur). 2) 3 ile bölünebilme kuralı: Rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır. $B = 9$ seçildiğinde sayı $A4956$ olur: $A + 4 + 9 + 5 + 6 = 24 + A$ $24 + A$ ifadesinin 3'ün katı olması için $A$'nın alabileceği en büyük rakam 9'dur (çünkü $24 + 9 = 33$). Buna göre $A = 9$ ve $B = 9$ olduğunda toplam en çok $9 + 9 = 18$ olur. Sonuç: D şıkkı.

İki doğal sayının EBOB'u ile EKOK'unun çarpımı, bu iki sayının çarpımına eşittir: $EBOB(A, B) \cdot EKOK(A, B) = A \cdot B$ Verilen değerleri formülde yerine koyalım: $4 \cdot EKOK(A, B) = 384$ $EKOK(A, B) = \frac{384}{4} = 96$. Sonuç: B şıkkı.

Verilen bilgilere göre $abc = 15k + 7$ olarak ifade edilebilir. 15 sayısı 3 ve 5'in çarpımıdır. $15k$ sayısı hem 3'e hem de 5'e tam bölünür. Ancak sayımız $15k + 7$ şeklindedir. - 7'yi 3'e böldüğümüzde kalan 1 olur (yani 3'e tam bölünemez). - 7'yi 5'e böldüğümüzde kalan 2 olur (yani 5'e tam bölünemez). Seçeneklerde yer alan çarpanlardan hangisinin bu duruma uymadığını kontrol edelim: 15'in çarpanları olan 3 ve 5 bu sayıyı tam bölemez. Seçenekler arasından 3 veya 5'ten biri olmalıdır. Sonuç: A şıkkı (3).