ALES ALES Sayısal Temel Kavramlar & Dört İşlem Testi #5

1. Adım: Verilen eşitlikte içler dışlar çarpımı yapalım: $3a + 7b = 2(4c + 3) = 8c + 6$ 2. Adım: Eşitliğin sağ tarafı $8c + 6 = 2(4c + 3)$ olup $c$ ne olursa olsun daima ÇİFT bir sayıdır. 3. Adım: Bu durumda $3a + 7b$ toplamı çift olmalıdır. İki sayının toplamının çift olması için bu sayıların teklik-çiftlik durumları aynı olmalıdır. Yani $a$ ve $b$ ya ikisi de tek ya da ikisi de çift tam sayıdır. - $a$ ve $b$ aynı türden olduğu için $a + b$ toplamı daima ÇİFTTİR (I kesinlikle doğru). - $a$ ve $b$ çift seçilirse (örneğin $a = 2, b = 2$), $a \cdot b = 4$ çift olur (II her zaman doğru değil). - $a = 2, b = 2, c = 1$ seçilirse $a \cdot c + b = 2 \cdot 1 + 2 = 4$ çift olur (III her zaman doğru değil). Dolayısıyla yalnızca I daima doğrudur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Sayıları cebirsel olarak ifade edelim. En küçük tek tam sayı $x$ olsun. Ardışık 5 tek tam sayı: $x, x+2, x+4, x+6, x+8$ Toplamı: $A = 5x + 20$ 2. Adım: Bu tek sayıların en büyüğü $x + 8$'dir. $x$ tek olduğu için bundan sonra gelen ilk çift tam sayı $(x + 8) + 1 = x + 9$'dur. Ardışık 4 çift tam sayı: $(x+9), (x+11), (x+13), (x+15)$ Toplamı: $B = 4x + 48$ 3. Adım: $A - B = 17$ eşitliğini kullanalım: $(5x + 20) - (4x + 48) = 17$ $x - 28 = 17 \implies x = 45$ 4. Adım: Bu 9 sayının en büyüğü son çift sayı olan $x + 15$'tir: En büyük sayı = $45 + 15 = 60$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: $y \neq 0$ olduğundan $y^{2} > 0$'dır. $x \cdot y^{2} < 0$ eşitsizliğinde $y^{2}$ pozitif olduğundan $x < 0$ (negatif) olmalıdır. 2. Adım: $x - z > 0 \implies x > z$ olur. $x$ negatif bir sayı olduğuna göre, $x$'ten daha küçük olan $z$ sayısı da kesinlikle negatif ($z < 0$) olmak zorundadır. 3. Adım: $z < 0$ olduğundan tek kuvveti olan $z^{3} < 0$ (negatiftir). $y \cdot z^{3} > 0$ eşitsizliğinde sonucun pozitif olması için $y$'nin de negatif ($y < 0$) olması gerekir. Sonuç olarak işaretler sırasıyla $-, -, -$ olur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Kesrin payını $(n+1)!$ parantezine alalım: $(n+2)! - (n+1)! = (n+1)! \cdot (n + 2) - (n+1)! \cdot 1 = (n+1)! \cdot [(n + 2) - 1] = (n+1)! \cdot (n + 1)$ 2. Adım: Elde edilen ifadeyi paydadaki $n!$ ile sadeleştirelim: $\frac{(n+1)! \cdot (n+1)}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n! \cdot (n+1)}{n!} = (n+1)^{2}$ 3. Adım: Eşitliği çözelim: $(n+1)^{2} = 121$ $n$ pozitif bir tam sayı olduğundan $n + 1 = 11 \implies n = 10$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: $(AB)^{2} - (BA)^{2} = (AB - BA)(AB + BA)$ 2. Adım: İki basamaklı sayıları basamak değerlerine göre açalım: $AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B)$ $AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A + B)$ 3. Adım: Çarpımı oluşturalım: $9(A - B) \cdot 11(A + B) = 99(A^{2} - B^{2})$ $99(A^{2} - B^{2}) = 3960 \implies A^{2} - B^{2} = 40$ 4. Adım: $(A - B)(A + B) = 40$ eşitliğinde $A$ ve $B$ birer rakamdır. $A - B$ ve $A + B$ aynı pariteye (ikisi de çift) sahip olmalıdır: $A - B = 4$ ve $A + B = 10$ Taraf tarafa toplarsak $2A = 14 \implies A = 7$, buradan $B = 3$ bulunur. 5. Adım: $A \cdot B = 7 \cdot 3 = 21$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Bölme algoritmasına göre; $A = 18 \cdot B + K$ ve $0 \le K < 18$ olmalıdır. 2. Adım: Kalan $K = B^{2} - 2$ olduğuna göre; $0 \le B^{2} - 2 < 18$ Buradan $2 \le B^{2} < 20$ elde edilir. 3. Adım: $A$'nın en büyük olması için bölüm olan $B$ doğal sayısını mümkün olan en büyük seçmeliyiz: $B^{2} < 20$ koşulunu sağlayan en büyük doğal sayı $B = 4$'tür. 4. Adım: $B = 4$ için kalan: $K = 4^{2} - 2 = 16$ (kalan şartı $16 < 18$ sağlanır). 5. Adım: $A$ sayısını hesaplayalım: $A = 18 \cdot 4 + 16 = 72 + 16 = 88$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: İki denklemi taraf tarafa çıkaralım: $(a \cdot b + c) - (a + b \cdot c) = 29 - 25$ $a \cdot b - a - b \cdot c + c = 4$ 2. Adım: Ortak çarpan parantezine alalım: $a(b - 1) - c(b - 1) = 4$ $(a - c)(b - 1) = 4$ 3. Adım: Pozitif tam sayılar üzerinde çarpanları inceleyelim: $a, b, c$ birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. - Eğer $b - 1 = 4 \implies b = 5$ alınırsa $a - c = 1 \implies a = c + 1$ olur. İlk denklemde $5(c+1) + c = 29 \implies 6c = 24 \implies c = 4, a = 5$ çıkar. Ancak $a = b = 5$ olamaz çünkü sayılar birbirinden farklıdır. - Dolayısıyla $b - 1 = 1 \implies b = 2$ olmalıdır. Buradan $a - c = 4 \implies a = c + 4$ olur. 4. Adım: İlk denklemde yerine koyalım: $(c + 4) \cdot 2 + c = 29 \implies 2c + 8 + c = 29 \implies 3c = 21 \implies c = 7$ $a = 7 + 4 = 11$, $b = 2$ olur. (İkinci denklem kontrolü: $11 + 2 \cdot 7 = 25$, doğrulanır). 5. Adım: Toplamı bulalım: $a + b + c = 11 + 2 + 7 = 20$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: 29 sayısı bir asal sayı olduğundan pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve 29'dur. 2. Adım: $a$ bir asal sayı olduğuna göre $a = 29$ olmalıdır. Buradan parantez içi $b - c = 1$ olmalıdır. 3. Adım: Farkları 1 olan iki asal sayı yalnızca 3 ve 2'dir. Dolayısıyla $b = 3$ ve $c = 2$'dir. 4. Adım: Toplamı hesaplayalım: $a + b + c = 29 + 3 + 2 = 34$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: Sayıyı çözümleyip denklem kuralım: $100A + 10B + C = 25(A + B + C)$ $100A + 10B + C = 25A + 25B + 25C$ $75A = 15B + 24C$ 2. Adım: Eşitliğin her terimini 3 ile sadeleştirelim: $25A = 5B + 8C \implies 5(5A - B) = 8C$ 3. Adım: Eşitliğin sol tarafı 5'in katı olduğuna göre sağ tarafındaki $8C$ de 5'in katı olmalıdır. Rakamlar sıfırdan farklı olduğundan $C = 5$ olmak zorundadır. 4. Adım: $C = 5$ değerini yerine yazalım: $5(5A - B) = 40 \implies 5A - B = 8 \implies B = 5A - 8$ - $A = 2$ için $B = 2$ olur; fakat rakamlar birbirinden farklı olmalıdır ($A \neq B$). - $A = 3$ için $B = 5 \cdot 3 - 8 = 7$ olur. Bu durumda rakamlar 3, 7, 5 olup hepsi sıfırdan ve birbirinden farklıdır. - $A \ge 4$ için $B \ge 12$ olur ki bu rakam olamaz. 5. Adım: Sayı 375'tir. Rakamları toplamı: $A + B + C = 3 + 7 + 5 = 15$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: 36 ile tam bölünebilen bir sayı aralarında asal olan 4 ve 9 ile tam bölünmelidir. 2. Adım: 4 ile bölünebilme için son iki basamak olan $7b$ sayısı 4'ün katı olmalıdır. 70 ile başlayan 4'ün katı olan sayılar 72 ve 76'dır. Dolayısıyla $b = 2$ veya $b = 6$ olur. 3. Adım: 9 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 9'un katı olmalıdır. - Durum 1 ($b = 2$): Sayı $4a72$ olur. Rakamlar toplamı $4 + a + 7 + 2 = 13 + a$ sayısı 9'un katı olmalıdır. Buradan $a = 5$ bulunur. - Durum 2 ($b = 6$): Sayı $4a76$ olur. Rakamlar toplamı $4 + a + 7 + 6 = 17 + a$ sayısı 9'un katı olmalıdır. Buradan $a = 1$ bulunur. 4. Adım: $a$'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı $5 + 1 = 6$ olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $a, b, c$ ardışık çift doğal sayılar olduğundan $b = a + 2$ ve $c = a + 4$'tür. 2. Adım: Parantez içlerindeki toplama işlemlerini yapalım: $1 + \frac{2}{a} = \frac{a+2}{a} = \frac{b}{a}$ $1 + \frac{2}{b} = \frac{b+2}{b} = \frac{c}{b}$ $1 + \frac{2}{c} = \frac{c+2}{c}$ 3. Adım: Çarpımı yazıp sadeleştirelim: $\frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{c+2}{c} = \frac{c+2}{a}$ 4. Adım: $c = a + 4$ olduğundan $c + 2 = a + 6$'dır: $\frac{a + 6}{a} = \frac{7}{4} \implies 4(a + 6) = 7a \implies 4a + 24 = 7a \implies 3a = 24 \implies a = 8$ 5. Adım: Sayıları ve toplamlarını bulalım: $a = 8, b = 10, c = 12$ $a + b + c = 8 + 10 + 12 = 30$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $\text{EBOB}(x, y) = 6$ olduğuna göre $x = 6a$ ve $y = 6b$ yazılabilir (burada $a$ ile $b$ aralarında asaldır). 2. Adım: Verilen oranı kullanalım: $\frac{x}{y} = \frac{6a}{6b} = \frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ 3 ve 5 aralarında asal olduğundan $a = 3$ ve $b = 5$'tir. 3. Adım: Sayıları hesaplayalım: $x = 6 \cdot 3 = 18$ $y = 6 \cdot 5 = 30$ $x + y = 18 + 30 = 48$ 4. Adım: Sayıların EKOK değerini hesaplayalım: $\text{EKOK}(x, y) = 6 \cdot 3 \cdot 5 = 90$ 5. Adım: İstenen farkı bulalım: $90 - 48 = 42$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: $A$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $18^{n} = (2 \cdot 3^{2})^{n} = 2^{n} \cdot 3^{2n}$ $20 = 2^{2} \cdot 5^{1}$ $A = (2^{n} \cdot 3^{2n}) \cdot (2^{2} \cdot 5^{1}) = 2^{n+2} \cdot 3^{2n} \cdot 5^{1}$ 2. Adım: Pozitif bölen sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımıdır: $\text{PBS} = (n + 2 + 1) \cdot (2n + 1) \cdot (1 + 1) = 2 \cdot (n + 3) \cdot (2n + 1)$ 3. Adım: Denklem kuralım: $2 \cdot (n + 3) \cdot (2n + 1) = 84$ $(n + 3) \cdot (2n + 1) = 42$ 4. Adım: $n = 3$ için $(3 + 3) \cdot (2 \cdot 3 + 1) = 6 \cdot 7 = 42$ eşitliği sağlanır. Dolayısıyla $n = 3$'tür. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $6 \Delta 3$ değerini bulalım: $6 \Delta 3 = \frac{6 \cdot 3}{6 + 3} = \frac{18}{9} = 2$ Buradan $\frac{1}{6 \Delta 3} = \frac{1}{2}$ olur. 2. Adım: $12 \Delta 4$ değerini bulalım: $12 \Delta 4 = \frac{12 \cdot 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3$ Buradan $\frac{1}{12 \Delta 4} = \frac{1}{3}$ olur. 3. Adım: İki değeri toplayalım: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Adım: İki basamaklı sayıları toplayalım: $AB + BC + CA = (10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 11(A + B + C)$ $11(A + B + C) = 198 \implies A + B + C = 18$ 2. Adım: En büyük $ABC$ sayısını oluşturalım: $A$'yı mümkün olan en büyük rakam olan 9 seçelim. $B + C = 9$ kalır. Rakamlar birbirinden ve 9'dan farklı olacağından $B = 8$ ve $C = 1$ seçilir. En büyük sayı $981$'dir. 3. Adım: En küçük $ABC$ sayısını oluşturalım: $A$'yı mümkün olan en küçük sıfırdan farklı rakam olan 1 seçelim. $B + C = 17$ kalır. Rakamlar birbirinden ve 1'den farklı olacağından $B = 8$ ve $C = 9$ seçilir. En küçük sayı $189$'dur. 4. Adım: İki sayının farkını hesaplayalım: $981 - 189 = 792$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Adım: $5x = 118 - 7y$ denklemini düzenleyelim. $5x$'in birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır. Dolayısıyla $118 - 7y$ ifadesi 5 ile tam bölünmelidir. 2. Adım: $118$'in 5 ile bölümünden kalan 3'tür. $3 - 7y \equiv 0 \pmod 5 \implies 2y \equiv 3 \equiv 8 \pmod 5 \implies y \equiv 4 \pmod 5$ olmalıdır. 3. Adım: $y$ pozitif tam sayı değerlerini ve karşılık gelen $x$ değerlerini bulalım: - $y = 4 \implies 5x = 118 - 28 = 90 \implies x = 18$ - $y = 9 \implies 5x = 118 - 63 = 55 \implies x = 11$ - $y = 14 \implies 5x = 118 - 98 = 20 \implies x = 4$ - $y = 19 \implies 5x = 118 - 133 = -15 < 0$ ($x$ pozitif tam sayı olamaz). 4. Adım: $x$'in alabileceği değerler 18, 11 ve 4'tür. Toplamları: $18 + 11 + 4 = 33$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: $6^{n} = 2^{n} \cdot 3^{n}$ biçiminde yazılır. $35!$ içerisindeki 6 çarpanının sayısını belirleyen çarpan, sayısı daha az olan büyük asal çarpan yani 3'tür. 2. Adım: $35!$ içindeki 3 asal çarpanının sayısını bulmak için 35'i sürekli 3'e bölüp bölümleri toplayalım: $35 \div 3 = 11$ $11 \div 3 = 3$ $3 \div 3 = 1$ Bölümlerin toplamı = $11 + 3 + 1 = 15$'tir. 3. Adım: $35!$ içinde 2 asal çarpanı ise çok daha fazladır ($17 + 8 + 4 + 2 + 1 = 32$ tane). Dolayısıyla en fazla 15 adet $(2 \cdot 3)$ grubu yani 6 çarpanı oluşturulabilir. Bu nedenle $n$'nin alabileceği en büyük değer 15'tir. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Adım: $a^{2} \cdot c < 0$ eşitsizliğinde, bir reel sayının karesi negatif olamayacağından ve sonuç sıfır olmadığından $a \neq 0$ ve $a^{2} > 0$'dır. Dolayısıyla $c < 0$ (negatif) olmalıdır. 2. Adım: $a \cdot b = 0$ verilmiştir. $a \neq 0$ olduğuna göre kesinlikle $b = 0$'dır. 3. Adım: $a + b > 0$ eşitsizliğinde $b = 0$ yazılırsa $a + 0 > 0 \implies a > 0$ (pozitif) elde edilir. Sonuç: $a$ pozitif (+), $b$ işaretsiz (0) ve $c$ negatif (-) olup işaret dizilimi sırasıyla $+, 0, -$ şeklindedir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Adım: Kesrin payındaki çıkarma işlemlerini yapalım: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ Payın çarpımı: $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ 2. Adım: Kesrin paydasındaki toplama işlemlerini yapalım: $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ $1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ Paydanın çarpımı: $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}$ 3. Adım: Payı paydaya bölelim: $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Adım: İki basamaklı sayımız $AB$ olsun ($A \in \{1, 2, \dots, 9\}$ ve $B \in \{0, 1, \dots, 9\}$). 2. Adım: Tanımı matematiksel denklem olarak yazalım: $A \cdot B + (A + B) = 10A + B$ 3. Adım: Eşitliği sadeleştirelim: $A \cdot B + A + B = 10A + B$ Her iki taraftan $B$ çıkaralım: $A \cdot B + A = 10A$ Her iki taraftan $A$ çıkaralım: $A \cdot B = 9A$ 4. Adım: $A$ iki basamaklı sayının onlar basamağı olduğundan $A \neq 0$'dır. Her iki tarafı $A$'ya bölelim: $B = 9$ elde edilir. 5. Adım: $B = 9$ olduğu sürece $A$ rakamı 1'den 9'a kadar her değeri alabilir. Yani birler basamağı 9 olan tüm iki basamaklı sayılar (19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99) bu kuralı sağlar. Toplamda 9 farklı özel sayı vardır. Doğru cevap E seçeneğidir.