DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Temel Kavramlar & Dört İşlem Testi #6

İşlem önceliğine göre önce parantez içi hesaplanır: $(-18) \div 3 = -6$ $2 \cdot (-5) = -10$ Parantez içi: $-6 - (-10) = -6 + 10 = 4$ Ardından çarpma işlemi yapılır: $(-4) \cdot (-3) = 12$ İfadeleri birleştirelim: $24 - [4] + 12 = 20 + 12 = 32$ Doğru cevap D seçeneğidir.

$a$'nın en büyük olması için $b$'nin en küçük pozitif tam sayı seçilmesi gerekir. $b = 1$ için: $3a + 5(1) = 82 \implies 3a = 77$ (77, 3'e tam bölünmez). $b = 2$ için: $3a + 5(2) = 82 \implies 3a = 72 \implies a = 24$. $a = 24$ ve $b = 2$ birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. Böylece $a$'nın alabileceği en büyük değer 24 olur. Doğru cevap C seçeneğidir.

İçler dışlar çarpımı yapıldığında: $a \cdot b + 3 = 4c$ $4c$ ifadesi $c$ ne olursa olsun daima çift bir tam sayıdır. $a \cdot b + 3 = \text{Çift}$ Tek sayı ile tek sayının toplamı çift sayı olduğundan: $a \cdot b$ tek sayı olmak zorundadır. İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek sayıdır. Dolayısıyla hem $a$ hem de $b$ tek sayıdır. $c$ hakkında ise kesin bir yorum yapılamaz. Seçeneklerde 'a ve b tek sayıdır' ifadesi yer alır. Doğru cevap E seçeneğidir.

$b \neq 0$ olduğundan $b^4 > 0$'dır. $a^3 \cdot b^4 < 0 \implies a^3 < 0 \implies a < 0$ (negatif). $a \cdot c^5 > 0$ ve $a < 0$ olduğuna göre, $c^5 < 0$ olmalıdır. Dolayısıyla $c < 0$ (negatif). $b \cdot c < 0$ ve $c < 0$ olduğuna göre, $b > 0$ (pozitif) olmalıdır. Buna göre işaretler sırasıyla: $a$ (-), $b$ (+), $c$ (-)'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Ardışık 5 çift sayının ortancasındaki (3. sayı) sayı toplamın 5'e bölümüdür: Ortanca sayı: $\frac{130}{5} = 26$ Sayılar sırasıyla: 22, 24, 26, 28, 30'dur. En küçük sayı: 22 En büyük sayı: 30 Bu iki sayının toplamı: $22 + 30 = 52$ bulunur. (Not: Ardışık terimlerde baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin toplamı ortanca terimin 2 katıdır: $26 \cdot 2 = 52$.) Doğru cevap C seçeneğidir.

$\frac{21}{33}$ kesrini aralarında asal olacak şekilde sadeleştirelim: $\frac{21 \div 3}{33 \div 3} = \frac{7}{11}$ $(2x - y)$ ile $(x + y)$ aralarında asal olduğundan: $2x - y = 7$ $x + y = 11$ Taraf tarafa toplarsak: $(2x - y) + (x + y) = 7 + 11$ $3x = 18 \implies x = 6$ İkinci denklemde $x = 6$ yazalım: $6 + y = 11 \implies y = 5$ Buradan $x \cdot y = 6 \cdot 5 = 30$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Pay kısmını $7!$ parantezine alalım: $8! = 8 \cdot 7!$ $8! - 2 \cdot 7! = 7! \cdot (8 - 2) = 6 \cdot 7!$ Payda kısmını $5!$ parantezine alalım: $6! = 6 \cdot 5!$ $6! + 5! = 5! \cdot (6 + 1) = 7 \cdot 5!$ İfadeleri oranlayalım: $\frac{6 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 6 \cdot 6 = 36$ Doğru cevap B seçeneğidir.

En büyük sayının en çok olması için diğer üç sayının mümkün olan en küçük sayılar seçilmesi gerekir. İki basamaklı ve rakamları farklı en küçük doğal sayıları belirleyelim: 1. sayı: 10 (rakamları farklı) 2. sayı: 12 (rakamları farklı ve 10'dan farklı) 3. sayı: 13 (rakamları farklı ve diğerlerinden farklı) Bu üç sayının toplamı: $10 + 12 + 13 = 35$ En büyük sayı: $98 - 35 = 63$ 63 sayısının rakamları farklıdır ve diğer sayılardan farklıdır. Dolayısıyla en büyük sayı en çok 63 olabilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Bölme kuralına göre kalan, bölen sayıdan küçük ve negatif olamaz: $0 \leq \text{Kalan} < 14 \implies 0 \leq B^2 - 2 < 14$ $B^2 < 16$ $B$ doğal sayı olduğuna göre $B$ en fazla 3 olabilir ($3^2 = 9 < 14$). $B = 3$ seçilirse: Kalan: $3^2 - 2 = 7$ Bölünen sayı formülü: $A = 14 \cdot B + \text{Kalan}$ $A = 14 \cdot 3 + 7 = 42 + 7 = 49$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Bir sayının 15 ile bölünebilmesi için aralarında asal olan 3 ve 5 ile tam bölünmesi gerekir. 1) 5 ile bölünebilme için birler basamağı $b = 0$ veya $b = 5$ olmalıdır. Ancak sayının rakamları farklı olduğundan ve başta 5 bulunduğundan $b = 5$ olamaz. Dolayısıyla $b = 0$'dır. Sayı $52a70$ halini alır. 2) 3 ile bölünebilme için rakamları toplamı 3'ün katı olmalıdır: $5 + 2 + a + 7 + 0 = 14 + a$ $14 + a$ ifadesinin 3'ün katı olması için $a \in \{1, 4, 7\}$ olmalıdır. Rakamları farklı dendiği için: $a = 7$ olamaz (onlar basamağında 7 vardır). $a = 1$ ve $a = 4$ kullanılmayan rakamlardır ve şartları sağlar. $a$'nın alabileceği değerler: 1 ve 4'tür. Toplamları: $1 + 4 = 5$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

720 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $720 = 72 \cdot 10 = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^1$ Tek bölenleri bulmak için 2 asal çarpanı tamamen elenir, geriye kalan tek asal çarpanların kuvvetleri 1 artırılarak çarpılır: Kalan kısım: $3^2 \cdot 5^1$ Pozitif tek bölen sayısı: $(2 + 1) \cdot (1 + 1) = 3 \cdot 2 = 6$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Parsellerin kare ve en büyük boyutta olması için karenin kenar uzunluğu 48 ve 60 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) olmalıdır: $48 = 12 \cdot 4$ $60 = 12 \cdot 5$ $\text{EBOB}(48, 60) = 12$ metredir. Kare parsel sayısı, arsanın alanının bir kare parselin alanına bölünmesiyle bulunur: $\text{Parsel Sayısı} = \frac{48 \cdot 60}{12 \cdot 12} = \left(\frac{48}{12}\right) \cdot \left(\frac{60}{12}\right) = 4 \cdot 5 = 20$ adet elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Her iki dizideki terim sayısını kontrol edelim: $A$ dizisi için: $\text{Terim Sayısı} = \frac{46 - 7}{3} + 1 = \frac{39}{3} + 1 = 13 + 1 = 14$ $B$ dizisi için: $\text{Terim Sayısı} = \frac{44 - 5}{3} + 1 = \frac{39}{3} + 1 = 13 + 1 = 14$ Her iki dizide de eşit sayıda (14 adet) terim vardır. $A - B$ farkını terim terim çıkararak yazalım: $A - B = (7 - 5) + (10 - 8) + (13 - 11) + \dots + (46 - 44)$ Her bir parantezin sonucu $2$'dir. 14 adet terim çifti olduğuna göre: $A - B = 14 \cdot 2 = 28$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Basamak çözümlemesi yapalım: $AB + BA = (10A + B) + (10B + A) = 11(A + B)$ $11(A + B) = 154 \implies A + B = 14$ Verilen diğer denklem: $A - B = 2$ Taraf tarafa toplarsak: $2A = 16 \implies A = 8$ $8 + B = 14 \implies B = 6$ Bizden istenen çarpım: $A \cdot B = 8 \cdot 6 = 48$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Pay kısmını hesaplayalım (paydaları 6'da eşitleyelim): $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{6 - 3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$ Payda kısmını hesaplayalım: $1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{6 + 3 - 2}{6} = \frac{7}{6}$ Kesirleri oranlayalım: $\frac{\frac{5}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} = \frac{5}{7}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Tek basamaklı tek mükemmel sayı 6'dır ($1 + 2 + 3 = 6$). İki basamaklı mükemmel sayıları inceleyelim: 28 sayısının pozitif bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14, 28'dir. Kendisi dışındaki bölenlerin toplamı: $1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28$'dir. Dolayısıyla iki basamaklı en küçük mükemmel sayı 28'dir. 28 sayısının rakamları toplamı: $2 + 8 = 10$ olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Modüler aritmetik ve kalan kurallarına göre $x$ yerine 4, $y$ yerine 5 yazabiliriz: $x \equiv 4 \pmod 7$ $y \equiv 5 \pmod 7$ İfadede yerine yazalım: $4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + 3 = 16 + 40 + 3 = 59$ 59 sayısını 7'ye bölelim: $59 = 7 \cdot 8 + 3$ Dolayısıyla kalan 3 bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Verilenler: $a < 0$, $b > 0$, $c > 0$ ve $-a > c \implies a + c < 0$. Seçenekleri analiz edelim: $a + c < 0$ olduğunu biliyoruz. Ayrıca $b > c$ değil, $0 < b < c$'dir. $a + b$ toplamına bakalım: $|a| > c > b \implies -a > b \implies a + b < 0$. Dolayısıyla $a + b$ ifadesi kesinlikle negatiftir. Diğer seçeneklerde örneğin $c - a > 0$ (pozitif), $b \cdot c > 0$ (pozitif), $b - a > 0$ (pozitif) olur. Buna göre daima negatif olan ifade $a + b$'dir. Doğru cevap A seçeneğidir.

Bir $N - 1$ sayısının sondan kaç basamağının 9 olduğu, $N$ sayısının sondan kaç basamağının 0 olduğuna eşittir. $45!$ sayısının sonundaki sıfır sayısını bulmak için 45 sürekli 5'e bölünür ve bölümler toplanır: $45 \div 5 = 9$ $9 \div 5 = 1$ Bölümler toplamı: $9 + 1 = 10$ Dolayısıyla $45!$ sayısının sonunda 10 adet sıfır vardır. Bu sayıdan 1 çıkarıldığında sondaki 10 sıfırın tamamı 9'a dönüşür. Böylece $45! - 1$ sayısının sondan 10 basamağı 9 olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

2, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katı $\text{EKOK}(2, 3, 5) = 30$'dur. Eşitliği ortak bir kat üzerinden yazalım: $2x = 3y = 5z = 30k$ $x = 15k$ $y = 10k$ $z = 6k$ $x, y, z$ negatif tam sayılar olduğundan $k$ negatif bir tam sayı olmalıdır. $x + y + z$ toplamının en büyük (yani 0'a en yakın) olması için negatif tam sayı olan $k$'nın en büyük seçilmesi gerekir. En büyük negatif tam sayı $k = -1$'dir. $k = -1$ için: $x = 15(-1) = -15$ $y = 10(-1) = -10$ $z = 6(-1) = -6$ Toplam: $x + y + z = -15 + (-10) + (-6) = -31$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.