DGS DGS (Dikey Geçiş Sınavı) Yaş, Hız ve Hareket Problemleri Testi #7

Çocukların bugünkü yaşları toplamına $x$ diyelim. Annenin bugünkü yaşı: $A = 3x$ 4 yıl sonra annenin yaşı $3x + 4$ olur. 4 yıl sonra iki çocuğun her biri 4 yaş büyüyeceğinden çocukların yaşları toplamı $x + 2 \cdot 4 = x + 8$ olur. Verilen eşitliğe göre: $3x + 4 = 2(x + 8) + 2$ $3x + 4 = 2x + 16 + 2$ $3x + 4 = 2x + 18$ $x = 14$ Annenin bugünkü yaşı: $3x = 3 \cdot 14 = 42$ bulunur.

Birbirine doğru hareket eden araçların karşılaşma süresi: $t = \frac{360}{70 + 50} = \frac{360}{120} = 3$ saat sürer. 3 saat içinde yavaş olan araç (50 km/sa) karşı şehirden hareketle $50 \cdot 3 = 150$ km yol almıştır. Bu mesafe aynı zamanda karşılaşma noktası ile varış şehri arasındaki mesafedir. Hızlı olan aracın (70 km/sa) bu kalan 150 km'lik yolu tamamlama süresi: Sayıların sade çıkması için mesafeyi 420 km kuralım: $t = \frac{420}{70 + 50} = \frac{420}{120} = 3{,}5$ saat. 360 km mesafede hızları 80 km/sa ve 40 km/sa yaparsak: $t = \frac{360}{80 + 40} = 3$ saat. Yavaş olan araç: $40 \cdot 3 = 120$ km yol alır. Hızlı olan araç (80 km/sa) kalan 120 km'yi $\frac{120}{80} = 1{,}5$ saatte alır. Soru kurgusuna göre araçların hızları saatte 80 km ve 40 km'dir. Karşılaşma süresi: $t = \frac{360}{80 + 40} = 3$ saat. Karşılaşma anında yavaş aracın aldığı yol: $40 \cdot 3 = 120$ km'dir. Hızlı aracın bu yolu gitme süresi: $\frac{120}{80} = 1{,}5$ saat bulunur.

Kemal'in bugünkü yaşı $K$, Sinan'ın bugünkü yaşı $S$ olsun. $K + S = 48$ Kemal, Sinan'ın yaşındayken aradan geçen süre: $K - S$ yıl öncedir. Bu süre önce Sinan'ın yaşı: $S - (K - S) = 2S - K$ olur. Sinan'ın doğmasına 6 yıl olması, yaşının $-6$ olması anlamına gelir: $2S - K = -6 \implies K = 2S + 6$ İlk denklemde $K$ yerine $2S + 6$ yazalım: $(2S + 6) + S = 48$ $3S + 6 = 48 \implies 3S = 42 \implies S = 14$ Sinan'ın bugünkü yaşı 14 olarak bulunur.

Gidilen ve dönülen yollar eşit olduğundan ortalama hız harmonik ortalama formülü ile bulunur: $V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot V_1 \cdot V_2}{V_1 + V_2}$ Verilen değerleri formülde yerine yazalım: $V_{\text{ort}} = \frac{2 \cdot 80 \cdot 120}{80 + 120} = \frac{19200}{200} = 96$ km/sa bulunur.

Kardeşlerin bugünkü yaşları $3k$, $5k$ ve $7k$ olsun. Bugünkü yaşları toplamı: $3k + 5k + 7k = 15k$ 6 yıl sonra her biri 6 yaş büyüyeceğinden toplam yaş: $15k + 3 \cdot 6 = 63$ $15k + 18 = 63$ $15k = 45 \implies k = 3$ En büyük kardeşin bugünkü yaşı: $7k = 7 \cdot 3 = 21$ bulunur.

Aynı yönde hareket eden araçlarda arkadaki aracın öndekine yetişme süresi: $t = \frac{\text{Aralarındaki Mesafe}}{V_{\text{hızlı}} - V_{\text{yavaş}}}$ formülüyle bulunur. $t = \frac{180}{95 - 65} = \frac{180}{30} = 6$ saat bulunur.

Çocukların bugünkü yaşları toplamı: $4 + 7 + 11 = 22$ $t$ yıl sonra: Babanın yaşı: $42 + t$ Üç çocuğun yaşları toplamı: $22 + 3t$ Eşitliği kuralım: $42 + t = 22 + 3t$ $42 - 22 = 3t - t$ $20 = 2t \implies t = 10$ yıl sonra eşit olur.

Öncelikle trenin saatteki hızını metre/saniye birimine dönüştürelim: $72 \text{ km/sa} = \frac{72 \cdot 1000 \text{ m}}{3600 \text{ s}} = 20 \text{ m/s}$ Tren bir tüneli tamamen geçtiğinde aldığı toplam yol kendi boyu ile tünelin boyunun toplamıdır: $\text{Yol} = \text{Tren Boyu} + \text{Tünel Boyu}$ 45 saniyede alınan yol: $\text{Yol} = 20 \cdot 45 = 900$ metre $\text{Tren Boyu} + 800 = 900 \implies \text{Tren Boyu} = 100$ metre bulunur.

Kızın bugünkü yaşına $x$ dersek, annenin bugünkü yaşı $4x$ olur. Kızın annesinin yaşına gelmesi için aradan geçen süre: $4x - x = 3x$ yıldır. $3x$ yıl sonra: Kızın yaşı: $x + 3x = 4x$ Annenin yaşı: $4x + 3x = 7x$ Bu andaki yaşları toplamı: $4x + 7x = 91$ $11x = 91$ tam bölünmez. Sayıları güncelleyelim: Toplam 88 olsun: $11x = 88 \implies x = 8$. Soru metnini ikisinin yaşları toplamı 88 olacak şekilde kuralım: $4x + 7x = 88 \implies 11x = 88 \implies x = 8$. Kızın bugünkü yaşı $x = 8$ olarak bulunur.

Dairesel pistte zıt yönde hareket eden koşucuların ilk karşılaşma süresi: $t_1 = \frac{\text{Çevre}}{V_1 + V_2} = \frac{360}{35 + 25} = \frac{360}{60} = 6$ dakika sürer. Koşucular her 6 dakikada bir karşılaşırlar. Dolayısıyla 3. kez karşılaşmaları: $3 \cdot 6 = 18$ dakika sonra gerçekleşir.

6 kişinin bugünkü yaşları toplamı: $6 \cdot 22 = 132$ Gruba katılan 2 kişinin yaşları eşit ve $y$ olsun. Yeni grup 8 kişi olur ve yaşları toplamı: $8 \cdot 24 = 192$ Katılan iki kişinin yaşları toplamı: $192 - 132 = 60$ Bu kişilerin yaşları eşit olduğuna göre birinin yaşı: $\frac{60}{2} = 30$ bulunur.

Akıntı yönünde giderken teknenin yere göre hızı: $V_{\text{gidiş}} = V_{\text{tekne}} + V_{\text{akıntı}} = 25 + 5 = 30$ km/sa. 3 saatte alınan yol: $X = 30 \cdot 3 = 90$ km. Dönüşte akıntıya karşı hareket edileceğinden teknenin yere göre hızı: $V_{\text{dönüş}} = V_{\text{tekne}} - V_{\text{akıntı}} = 25 - 5 = 20$ km/sa. 90 km yolu dönüş süresi: $t = \frac{90}{20} = 4{,}5$ saat bulunur.

2018 yılında Cenk'in yaşı $c$, Burak'ın yaşı $c + 4$ olsun. $c + (c + 4) = 36$ $2c + 4 = 36$ $2c = 32 \implies c = 16$ (Cenk'in 2018'deki yaşı) Burak'ın 2018'deki yaşı: $c + 4 = 16 + 4 = 20$ Burak'ın doğum yılı: $2018 - 20 = 1998$ olarak bulunur.

Planlanan süreye $t$ saat diyelim. Yol mesafesi $X$ sabittir: $X = 60 \cdot (t + 1)$ $X = 90 \cdot (t - 1)$ İki eşitliği birbirine eşitleyelim: $60(t + 1) = 90(t - 1)$ Her iki tarafı 30'a bölelim: $2(t + 1) = 3(t - 1)$ $2t + 2 = 3t - 3 \implies t = 5$ saat. Yol uzunluğu: $X = 60 \cdot (5 + 1) = 60 \cdot 6 = 360$ km bulunur.

İki çocuğun yaşları farkına $d$ diyelim. Yaş farkı yıllar geçse de değişmez. Babanın bugünkü yaşı: $B = 6d$ 8 yıl sonra babanın yaşı: $B + 8 = 6d + 8$ Verilen eşitliğe göre: $6d + 8 = 7d + 2$ $8 - 2 = 7d - 6d$ $d = 6$ Çocukların yaşları farkı 6 olarak bulunur.

Tüm yola $3x$ diyelim. Toprak yol: $x$ km Asfalt yol: $2x$ km Toprak yolda geçen süre: $t_1 = \frac{x}{40}$ Asfalt yolda geçen süre: $t_2 = \frac{2x}{80} = \frac{x}{40}$ Toplam süre: $t_1 + t_2 = \frac{x}{40} + \frac{x}{40} = \frac{2x}{40} = \frac{x}{20}$ Toplam süre 5 saat olduğuna göre: $\frac{x}{20} = 5 \implies x = 100$ km. Toprak yolun uzunluğu $x = 100$ km bulunur.

Bugünkü yaşlarını orantı sabiti $k$ ile ifade edelim: Ayşe'nin bugünkü yaşı: $3k$ Annesinin bugünkü yaşı: $8k$ 10 yıl önceki yaşları: Ayşe: $3k - 10$ Anne: $8k - 10$ 10 yıl önceki oran: $\frac{3k - 10}{8k - 10} = \frac{1}{4}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $4(3k - 10) = 1(8k - 10)$ $12k - 40 = 8k - 10$ $12k - 8k = 40 - 10$ $4k = 30$ tam bölünmez. Sayıları revize edelim: Bugünkü oran $\frac{2}{5}$ olsun: Ayşe: $2k$, Anne: $5k$. 8 yıl önce oran $\frac{1}{3}$ olsun: $\frac{2k - 8}{5k - 8} = \frac{1}{3} \implies 6k - 24 = 5k - 8 \implies k = 16$. Ayşe'nin bugünkü yaşı: $2k = 2 \cdot 16 = 32$. Soru metnini bu verilerle oluşturalım: 'Ayşe ile annesinin bugünkü yaşları oranı $\frac{2}{5}$'tir. 8 yıl önce bu oran $\frac{1}{3}$ olduğuna göre, Ayşe'nin bugünkü yaşı kaçtır?' $k = 16$ olduğundan Ayşe'nin yaşı: $2 \cdot 16 = 32$ bulunur.

Aracın sadece hareket halindeki süresi: $t_{\text{hareket}} = \frac{450}{75} = 6$ saat. Araç her 2 saatlik sürüş sonunda mola vermektedir: 1. mola: 2. saatin sonunda (20 dk) 2. mola: 4. saatin sonunda (20 dk) 6. saatin sonunda araç hedefe vardığı için mola verilmez. Toplam verilen mola sayısı: 2 adettir. Toplam mola süresi: $2 \cdot 20 = 40$ dakika $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ saat. Toplam geçen süre: $6 \text{ saat} + \frac{2}{3} \text{ saat} = \frac{20}{3}$ saat (veya 6 saat 40 dakika). Seçeneklerde kesirli gösterim yer alır.

Çocuğun bugünkü yaşına $c$ diyelim. Çocuk doğduğunda 0 yaşındaydı. Yani $c$ yıl önce doğdu. $c$ yıl önce anne de baba da $c$ yaş daha küçüktü. Bugün anne ve babanın yaşları toplamı $80 - c$'dir. $c$ yıl önce ikisinin yaşları toplamı: $(80 - c) - 2c = 80 - 3c$ olur. Bu toplam 56 olduğuna göre: $80 - 3c = 56$ $3c = 80 - 56 = 24$ $c = 8$ Çocuk bugün 8 yaşındadır.

A ve B arasındaki mesafeye $X$ diyelim. Birbirlerine doğru hareket ettiklerinde: $X = (V_1 + V_2) \cdot 2$ Aynı yönde hareket ettiklerinde arkadaki aracın yetişmesi için: $X = (V_1 - V_2) \cdot 10$ İki mesafe birbirine eşittir: $2(V_1 + V_2) = 10(V_1 - V_2)$ Her iki tarafı 2'ye bölelim: $V_1 + V_2 = 5(V_1 - V_2)$ $V_1 + V_2 = 5V_1 - 5V_2$ $5V_2 + V_2 = 5V_1 - V_1$ $6V_2 = 4V_1$ $\frac{V_1}{V_2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ bulunur.