KPSS KPSS Ön Lisans Temel Kavramlar Testi #1

1. Adım: $a + b$ çift sayı ise iki durum vardır: Ya $a$ ve $b$'nin ikisi de çifttir ya da ikisi de tektir. 2. Adım: 1. Durum (İkisi de çift): $a$ çift ve $b$ çift ise $a \cdot b$ çarpımı çift olur. $(a \cdot b) + c$ toplamının tek olabilmesi için $c$'nin tek sayı olması gerekir. (a=Ç, b=Ç, c=T) 3. Adım: 2. Durum (İkisi de tek): $a$ tek ve $b$ tek ise $a \cdot b$ çarpımı tek olur. $(a \cdot b) + c$ toplamının tek olabilmesi için $c$'nin çift sayı olması gerekir. (a=T, b=T, c=Ç) 4. Adım: Öncülleri inceleyelim. I. $a \cdot c$: 1. durumda (Ç x T = Ç), 2. durumda (T x Ç = Ç). Her zaman çifttir. II. $b + c$: 1. durumda (Ç + T = T), 2. durumda (T + Ç = T). Her zaman tektir. III. $a \cdot b \cdot c$: Her iki durumda da sayılardan en az biri çifttir (1. durumda a ve b, 2. durumda c çifttir). Dolayısıyla çarpım her zaman çifttir. Sonuç: I ve III kesinlikle çift sayıdır. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $x^2 \cdot y < 0$ eşitsizliğinde, bir sayının karesi daima pozitiftir ($x \neq 0$). Dolayısıyla $x^2 > 0$ olur. Çarpımın negatif olması için $y < 0$ olmalıdır. (y'nin işareti: -) 2. Adım: $y \cdot z > 0$ eşitsizliğinde, $y$'nin negatif olduğunu bulduk. Çarpımın pozitif olması için $z$'nin de negatif olması gerekir. $z < 0$ (z'nin işareti: -) 3. Adım: $x^3 \cdot z < 0$ eşitsizliğinde, $z$'nin negatif olduğunu biliyoruz. Çarpımın negatif olabilmesi için $x^3 > 0$ olmalıdır. Bir sayının küpü pozitifse, sayının kendisi de pozitif olmak zorundadır. $x > 0$ (x'in işareti: +) Sonuç: Sırasıyla işaretler +, -, - şeklindedir. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: En küçük tek tam sayıya $x$ diyelim. Ardışık tek sayılar 2'şer 2'şer arttığı için sayılarımız: $x$, $(x+2)$, $(x+4)$, $(x+6)$ ve $(x+8)$ olur. 2. Adım: Bu 5 sayının toplamı: $x + (x+2) + (x+4) + (x+6) + (x+8) = 5x + 20$ olarak bulunur. 3. Adım: Soruda verilen bilgiye göre bu toplam, en küçük sayının (x'in) 6 katından 11 eksiktir: $5x + 20 = 6x - 11$ 4. Adım: Denklem çözüldüğünde; $20 + 11 = 6x - 5x \Rightarrow x = 31$ (En küçük sayı). 5. Adım: Bizden en büyük sayı isteniyor. En büyük sayı $x + 8$'dir. $31 + 8 = 39$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Pay ve paydadaki ifadeleri faktöriyel özelliklerini kullanarak düzenleyelim. $(n+1)!$ ifadesini $n! \cdot (n+1)$ şeklinde yazabiliriz. 2. Adım: Pay: $n! \cdot (n+1) + n! = n!(n + 1 + 1) = n!(n+2)$ 3. Adım: Payda: $n! \cdot (n+1) - n! = n!(n + 1 - 1) = n!(n)$ 4. Adım: Düzenlenmiş ifadeleri oranlayalım: $\frac{n!(n+2)}{n!(n)} = \frac{n+2}{n}$ 5. Adım: Soruda bu oran $\frac{5}{4}$ olarak verilmiştir. $\frac{n+2}{n} = \frac{5}{4}$ 6. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım: $4 \cdot (n+2) = 5 \cdot n \Rightarrow 4n + 8 = 5n \Rightarrow n = 8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Verilen bilgiyi matematiksel denkleme dökelim. $AB = 7 \cdot (A + B)$ 2. Adım: İki basamaklı $AB$ sayısını çözümleyelim: $10A + B = 7A + 7B$ 3. Adım: Aynı türden terimleri bir araya toplayalım: $10A - 7A = 7B - B \Rightarrow 3A = 6B$ 4. Adım: Her iki tarafı 3'e bölersek $A = 2B$ eşitliğini elde ederiz. 5. Adım: Bizden $BA$ sayısının rakamları toplamının kaç katı olduğu isteniyor. $BA$ sayısını çözümleyelim: $10B + A$ 6. Adım: $A = 2B$ bilgisini $BA$ sayısında yerine yazalım: $10B + 2B = 12B$ 7. Adım: Rakamları toplamı $A + B$'dir. $A = 2B$ yazarsak toplam $2B + B = 3B$ olur. 8. Adım: Sayı ($12B$), rakamları toplamının ($3B$) kaç katıdır? $\frac{12B}{3B} = 4$ katıdır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: $ABC = 26 \cdot BC$ denklemini basamak analizi ile çözümleyelim. 2. Adım: Üç basamaklı $ABC$ sayısını $100A + BC$ şeklinde yazabiliriz. Böylece denklem $100A + BC = 26 \cdot BC$ şekline dönüşür. 3. Adım: $BC$'yi karşıya atıp çıkaralım: $100A = 25 \cdot BC$ 4. Adım: Her iki tarafı 25'e bölelim: $4A = BC$. (Burada $A$ bir rakam, $BC$ ise iki basamaklı bir sayıdır.) 5. Adım: Toplamın en çok olması için $A$'nın alabileceği en büyük değeri seçmeliyiz. $A = 9$ dersek $BC = 4 \cdot 9 = 36$ olur. 6. Adım: Bu durumda $A = 9$, $B = 3$, $C = 6$ elde edilir. 7. Adım: $A + B + C$ toplamı: $9 + 3 + 6 = 18$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: $35$ sayısının pozitif çarpanları $1, 5, 7, 35$'tir. $p$ ve $p-q$ bu çarpanlardan olmalıdır. 2. Adım: $p$ bir asal sayı olduğundan, sadece $5$ veya $7$ olabilir. 3. Adım: Eğer $p = 5$ olursa, $5 \cdot (5 - q) = 35 \Rightarrow 5 - q = 7 \Rightarrow q = -2$ olur. Fakat asal sayılar negatif olamaz. Bu durum elenir. 4. Adım: Eğer $p = 7$ olursa, $7 \cdot (7 - q) = 35 \Rightarrow 7 - q = 5 \Rightarrow q = 2$ olur. 5. Adım: $q = 2$ bir asal sayıdır, dolayısıyla şartlar sağlanır. 6. Adım: Bizden $p + q$ toplamı isteniyor. $7 + 2 = 9$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: $3x = 48 - 4y$ denkleminde her iki tarafı 3'e bölelim: $x = \frac{48 - 4y}{3} = 16 - \frac{4y}{3}$. 2. Adım: $x$'in pozitif tam sayı olabilmesi için $\frac{4y}{3}$ ifadesinin tam sayı olması, dolayısıyla $y$'nin 3'ün katı olması gerekir. 3. Adım: Pozitif $y$ değerlerini sırasıyla deneyelim: - $y = 3$ için $x = 16 - \frac{12}{3} = 16 - 4 = 12$ - $y = 6$ için $x = 16 - \frac{24}{3} = 16 - 8 = 8$ - $y = 9$ için $x = 16 - \frac{36}{3} = 16 - 12 = 4$ - $y = 12$ için $x = 16 - \frac{48}{3} = 16 - 16 = 0$ (Fakat $x$ pozitif tam sayı olmak zorundadır, 0 olamaz. Sonraki değerler negatif çıkar.) 4. Adım: $x$'in alabileceği değerler: $12, 8, 4$'tür. 5. Adım: Değerlerin toplamı: $12 + 8 + 4 = 24$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Seçeneklerdeki her bir sayının rakamları toplamını ve çarpımını bularak kuralı uygulayalım. 2. Adım: A) 234 için; Toplam = $2+3+4 = 9$, Çarpım = $2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$. $24$ sayısı $9$'a tam bölünmez. 3. Adım: B) 345 için; Toplam = $3+4+5 = 12$, Çarpım = $3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$. $60$ sayısı $12$'ye tam bölünür ($60 / 12 = 5$). Kural sağlandı. 4. Adım: C) 217 için; Toplam = $2+1+7 = 10$, Çarpım = $2 \cdot 1 \cdot 7 = 14$. Bölünmez. 5. Adım: D) 418 için; Toplam = $4+1+8 = 13$, Çarpım = $4 \cdot 1 \cdot 8 = 32$. Bölünmez. 6. Adım: E) 524 için; Toplam = $5+2+4 = 11$, Çarpım = $5 \cdot 2 \cdot 4 = 40$. Bölünmez. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Soruda sayıların 'birbirinden farklı doğal sayılar' olduğu belirtilmiştir. Doğal sayılar kümesi $0$'dan başlar. 2. Adım: Çarpımın en küçük değerini bulmak için sayılardan birini $0$ seçmeliyiz. $a=0, b=1, c=14$ seçersek toplam 15 olur ve çarpım $0 \cdot 1 \cdot 14 = 0$ bulunur. En küçük değer $0$'dır. 3. Adım: Çarpımın en büyük değerini bulmak için sayıları birbirine olabildiğince yakın seçmeliyiz. $15 / 3 = 5$'tir. Sayılar birbirinden farklı olacağı için $4, 5, 6$ seçebiliriz. Toplamları $4+5+6 = 15$'tir. 4. Adım: Çarpımın en büyük değeri: $4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$ olarak bulunur. 5. Adım: En büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark: $120 - 0 = 120$'dir. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Aralarında asal iki sayının oranı verildiğinde, karşı taraftaki kesrin de en sade halinde (aralarında asal formda) olması gerekir. 2. Adım: $\frac{21}{35}$ kesrini sadeleştirelim. Her iki tarafı 7'ye bölersek $\frac{3}{5}$ elde edilir. $3$ ile $5$ aralarında asaldır. 3. Adım: Şimdi eşitliği kurabiliriz: $\frac{2x - 3}{y + 2} = \frac{3}{5}$. 4. Adım: Pay paya, payda paydaya eşittir: $2x - 3 = 3$ ve $y + 2 = 5$. 5. Adım: $2x = 6 \Rightarrow x = 3$ bulunur. 6. Adım: $y + 2 = 5 \Rightarrow y = 3$ bulunur. 7. Adım: Bizden istenen $x + y = 3 + 3 = 6$'dır. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir sayının sonunda kaç tane sıfır varsa, o sayıdan 1 çıkarıldığında sonda o kadar 9 rakamı oluşur (Örneğin: $1000 - 1 = 999$, 3 sıfır var, 3 tane 9 oluştu). 2. Adım: Bu nedenle, aslında $42!$ sayısının sondan kaç basamağının sıfır olduğunu bulmamız gerekiyor. 3. Adım: Bir faktöriyelli sayının sonundaki sıfır sayısını bulmak için sayıyı sürekli 5'e böler ve bölümleri toplarız. 4. Adım: $42 / 5 = 8$ (Bölüm 8, kalan bizi ilgilendirmez). 5. Adım: Çıkan bölüm 5'ten büyükse tekrar 5'e böleriz: $8 / 5 = 1$. 6. Adım: Bölümlerin toplamı: $8 + 1 = 9$. 7. Adım: $42!$ sayısının sondan 9 basamağı sıfır olduğu için, $42! - 1$ sayısının sondan 9 basamağı 9'dur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Birinci denklemden $\ast$ ve $\oplus$ işaretlerini bulmaya çalışalım. $18 \ast (5 \oplus 2) = 6$. İşlemin sonucunun 6 olabilmesi için 18'in 3'e bölünmesi en mantıklı yoldur. Eğer $\ast$ bölme ( / ) işlemi olursa, parantez içinin 3 olması gerekir. Bu durumda $5 \oplus 2 = 3$ olmalıdır. Dolayısıyla $\oplus$ işlemi çıkarma ( - ) olur. 2. Adım: Bulduğumuz $\ast = /$ (bölme) ve $\oplus = -$ (çıkarma) tahminlerini ikinci denklemde deneyerek doğrulayalım: $(12 / 4) - 1 = 3 - 1 = 2$. Eşitlik sağlandı. O halde işaretler kesinlikle doğrudur. 3. Adım: İstenilen işleme bu işaretleri yerleştirelim: $24 \ast (6 \oplus 2) = 24 / (6 - 2)$. 4. Adım: İşlem önceliğine göre önce parantez içini yapalım: $6 - 2 = 4$. 5. Adım: Kalan işlem: $24 / 4 = 6$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: $a$ bir asal sayı olduğu için sadece iki pozitif tam böleni vardır: 1 ve kendisi. Eşitliğin sağ tarafı 13 ve $(b-c)$'nin çarpımından oluşmaktadır. 2. Adım: 13 asal bir sayı olduğundan, $a$'nın asal kalabilmesi için yandaki çarpanın mutlaka 1 olması gerekir. Yani $b - c = 1$ olmalıdır. 3. Adım: Bu durumda $a = 13 \cdot 1 = 13$ olur (13 asaldır, kurala uyar). 4. Adım: Aralarındaki fark 1 olan tek asal sayı çifti 3 ve 2'dir. Dolayısıyla $b = 3$ ve $c = 2$ olmak zorundadır. 5. Adım: Bulunan değerleri toplayalım: $a = 13$, $b = 3$, $c = 2$. 6. Adım: $13 + 3 + 2 = 18$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: $5x + 3$ tek sayı ise, denklemi $5x + Tek = Tek$ şeklinde düşünebiliriz. Toplamı tek olan iki sayıdan biri tek ise diğeri çift olmak zorundadır. Bu nedenle $5x$ çift sayıdır. 2. Adım: 5 tek bir sayı olduğundan, çarpımın çift çıkması için $x$'in kesinlikle çift sayı olması gerekir. ($x = Çift$) 3. Adım: Şıkları $x$'in çift sayı olduğu kuralına göre inceleyelim. A) $x + 3 \Rightarrow Çift + Tek = Tek$ B) $2x - 1 \Rightarrow Çift - Tek = Tek$ C) $x^2 + 5 \Rightarrow Çift + Tek = Tek$ D) $x^2 + 4x \Rightarrow Çift^2 + Çift \cdot Çift = Çift + Çift = Çift$. (Örneğin $x=2$ için $4+8=12$ çifttir.) E) $x^3 - 3x + 1 \Rightarrow Çift - Çift + Tek = Tek$ Sonuç: D şıkkı her zaman çifttir. Sonuç: D şıkkı.

1. Adım: Verilen ifadeyi denkleme çevirelim: $AB - BA = 45$ 2. Adım: Sayıları çözümleyelim: $(10A + B) - (10B + A) = 45$ 3. Adım: İfadeyi düzenleyelim: $9A - 9B = 45 \Rightarrow 9(A - B) = 45 \Rightarrow A - B = 5$ 4. Adım: Farkı 5 olan rakam ikililerini (A,B) yazalım: (9,4), (8,3), (7,2), (6,1) ve (5,0). 5. Adım: Ancak, soruda hem $AB$ hem de $BA$ sayılarının iki basamaklı olduğu belirtilmiştir. Eğer $B=0$ olursa $BA$ sayısı $05$ olur, bu tek basamaklı bir sayıdır (5). Bu nedenle (5,0) durumu elenir. 6. Adım: Şarta uyan $AB$ sayıları: $94, 83, 72, 61$'dir. Toplam 4 farklı sayı yazılabilir. Sonuç: B şıkkı.

1. Adım: Bir sayının yüzler basamağını 3 artırmak, o sayının değerini $3 \cdot 100 = 300$ artırır. (+300) 2. Adım: Bir sayının onlar basamağını 5 azaltmak, o sayının değerini $5 \cdot 10 = 50$ azaltır. (-50) 3. Adım: Sayıdaki toplam net değişim: $+300 - 50 = +250$ olur. 4. Adım: Sonuç pozitif çıktığı için yeni sayı ilk sayıya göre 250 daha büyüktür, yani sayı 250 artmıştır. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Bölünebilme kurallarında, işlemler kalanın üzerinden yapılabilir. İşlem yaparken sayılar yerine doğrudan 7'ye bölümünden kalanları yazabiliriz. 2. Adım: İfadede $A$ yerine 4, $B$ yerine 5 yazalım. 3. Adım: $A^2 + A \cdot B + 3 = 4^2 + (4 \cdot 5) + 3$ 4. Adım: İşlemleri yapalım: $16 + 20 + 3 = 39$ 5. Adım: Bulduğumuz 39 sonucunun 7 ile bölümünden kalanı bulmalıyız. $39 / 7 = 5$ (Kalan 4'tür). Zira $7 \cdot 5 = 35$ ve $39 - 35 = 4$'tür. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: İşlem önceliği kuralına göre ilk olarak parantez içi, sonra çarpma/bölme, son olarak toplama/çıkarma işlemleri yapılır. 2. Adım: Köşeli parantez içini hesaplayalım: $[(-2) + 4] = 2$ 3. Adım: Çarpma işlemini yapalım: $(-3) \cdot 2 = -6$ 4. Adım: Bölme işlemini yapalım: $(-8) / 2 = -4$ 5. Adım: Ana işlemi bu bulduğumuz sonuçlarla yeniden yazalım: $(-12) - (-6) - (-4)$ 6. Adım: Eksi ve eksi yan yana geldiğinde artıya dönüşür: $-12 + 6 + 4$ 7. Adım: Toplama işlemlerini yapalım: $-12 + 10 = -2$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

1. Adım: Ortak değişken olan $y$'nin katsayılarını eşitleyerek orantı kuralım. İlk denklemde $y$'nin katsayısı (karşı taraftan) 2'nin katı, ikinci denklemde 5'in katıdır. O halde $y$ hem 2'nin hem de 5'in katı, yani 10'un katı olmalıdır. 2. Adım: $y = 10k$ diyelim. 3. Adım: $2x = 3(10k) \Rightarrow 2x = 30k \Rightarrow x = 15k$ 4. Adım: $4(10k) = 5z \Rightarrow 40k = 5z \Rightarrow z = 8k$ 5. Adım: Bizden toplamın en çok (yani sıfıra en yakın) olması isteniyor. Değişkenler negatif tam sayı olduğu için $k$ değerine verilebilecek en büyük negatif tam sayı olan $-1$'i vermeliyiz. 6. Adım: $k = -1$ için; $y = -10, x = -15, z = -8$ olur. 7. Adım: Toplam = $(-15) + (-10) + (-8) = -33$ olarak bulunur. Sonuç: B şıkkı.