KPSS KPSS Lisans (Genel Yetenek & Genel Kültür) Asal Sayılar Testi #1

İki kare farkı özdeşliği uygulanırsa: $(p - q)(p + q) = 45$ $p$ ve $q$ asal sayılar olduğundan $p + q > p - q > 0$ olmalıdır. 45 sayısının pozitif çarpan çiftleri $(1, 45)$, $(3, 15)$ ve $(5, 9)$'dur: 1) $p - q = 1$ ve $p + q = 45 \implies 2p = 46 \implies p = 23, q = 22$ (22 asal değildir). 2) $p - q = 3$ ve $p + q = 15 \implies 2p = 18 \implies p = 9, q = 6$ (ikisi de asal değildir). 3) $p - q = 5$ ve $p + q = 9 \implies 2p = 14 \implies p = 7, q = 2$ (her ikisi de asal sayıdır). Buradan $p = 7$ ve $q = 2$ bulunur. Çarpımları: $p \cdot q = 7 \times 2 = 14$ elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

Eşitliğin sağındaki kesir en sade haline getirilir: $\frac{45}{72} = \frac{45 : 9}{72 : 9} = \frac{5}{8}$ 5 ile 8 aralarında asal olduğundan ve $(2a - 3)$ ile $(3b + 2)$ de aralarında asal verildiğinden pay paya, payda paydaya eşitlenir: $2a - 3 = 5 \implies 2a = 8 \implies a = 4$ $3b + 2 = 8 \implies 3b = 6 \implies b = 2$ Buradan $a \cdot b = 4 \times 2 = 8$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

$A$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $A = (2 \cdot 3^2)^2 \cdot (3 \cdot 5)^3 = (2^2 \cdot 3^4) \cdot (3^3 \cdot 5^3) = 2^2 \cdot 3^7 \cdot 5^3$ $A$ sayısının pozitif tam bölen sayısı (PBS): $\text{PBS} = (2 + 1)(7 + 1)(3 + 1) = 3 \times 8 \times 4 = 96$ $A$ sayısının asal bölenleri 2, 3 ve 5 olmak üzere 3 tanedir. Asal olmayan pozitif bölen sayısı: $96 - 3 = 93$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Üç asal sayının toplamı çift bir sayı (34) olduğuna göre, bu sayılardan biri kesinlikle çift asal sayı olan 2 olmalıdır (çünkü üçü de tek olsaydı toplam tek olurdu). $a = 2$ olsun. Bu durumda: $b + c = 34 - 2 = 32$ $b$ ve $c$ sayıları toplamı 32 olan birbirinden ve 2'den farklı asal sayılardır. Çarpımın en büyük olması için sayıların birbirine mümkün olduğunca yakın seçilmesi gerekir: - $b = 13$ ve $c = 19$ (ikisi de asaldır ve $13 + 19 = 32$). - $b = 3$ ve $c = 29$ (çarpımları daha küçük kalır). Buradan en büyük çarpım: $a \cdot b \cdot c = 2 \times 13 \times 19 = 2 \times 247 = 494$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$6^n = 2^n \cdot 3^n$ olduğundan, $45!$ içerisindeki 2 ve 3 asal çarpanlarının sayıları incelenir. 3 çarpanının sayısı daha az olacağından sınırlayıcı olan 3 asalıdır: $45 / 3 = 15$ $15 / 3 = 5$ $5 / 3 = 1$ Toplam 3 çarpanı sayısı: $15 + 5 + 1 = 21$'dir. $45!$ içindeki 2 çarpanı sayısı 21'den çok daha fazla olduğundan en fazla 21 adet 6 çarpanı elde edilebilir. Dolayısıyla $n$'nin alabileceği en büyük değer 21'dir. Doğru cevap D seçeneğidir.

İki basamaklı en küçük asal sayı 11'dir. Rakamları toplamı $1 + 1 = 2$ olup asaldır. Dolayısıyla en küçük iki basamaklı toplamsal asal sayı 11'dir. İki basamaklı en büyük asal sayıları inceleyelim: - 97 asaldır, fakat rakamlar toplamı $9 + 7 = 16$ (asal değildir). - 89 asaldır, rakamlar toplamı $8 + 9 = 17$ (asaldır). Dolayısıyla en büyük iki basamaklı toplamsal asal sayı 89'dur. Bu iki sayının farkı: $89 - 11 = 78$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

Asal bölenlerinin toplamı 5 olan bir sayının asal bölenleri yalnızca: 1) Tek başına 5 olabilir ($p + 1 = 5^k$). 2) 2 ve 3 olabilir ($2 + 3 = 5$, yani $p + 1 = 2^a \cdot 3^b$, $a, b \ge 1$). $p$ iki basamaklı bir asal sayı olduğundan $11 \le p + 1 \le 100$ olmalıdır. En büyük $p$ değerini bulmak için 100'e yakın değerleri inceleyelim: - $p + 1 = 5^k$ için $5^2 = 25 \implies p = 24$ (asal değil). - $p + 1 = 2^a \cdot 3^b$ için 100'den küçük en büyük değer $96 = 2^5 \cdot 3^1$'dir. Buradan $p = 95$ olur ($95 = 5 \times 19$ asal değildir). - Bir sonraki değer $72 = 2^3 \cdot 3^2$'dir. Buradan $p = 71$ olur. 71 bir asal sayıdır ve $71 + 1 = 72$'nin asal bölenleri yalnızca 2 ve 3 olup toplamları $2 + 3 = 5$'tir. Dolayısıyla iki basamaklı en büyük $p$ asal sayısı 71'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

540 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $540 = 54 \times 10 = (2 \cdot 3^3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1$ Eşitliğin sağ tarafı $y^3$ bir tam küp olduğundan, sol taraftaki tüm asal çarpanların üsleri 3'ün katı olmalıdır: $2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^1 \cdot x = y^3$ $x$'in en küçük pozitif tam sayı değeri için eksik üsler tamamlanır: - 2 çarpanı için: $2^1$ - 3 çarpanı için: $3^0 = 1$ (zaten küptür) - 5 çarpanı için: $5^2$ Buradan $x = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \times 25 = 50$ bulunur. Bu durumda: $y^3 = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 3 \cdot 5)^3 = 30^3 \implies y = 30$ Toplam: $x + y = 50 + 30 = 80$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$a$ ve $b$ aralarında asal olduğundan $\text{EBOB}(a, b) = 1$ ve $\text{EKOK}(a, b) = a \cdot b$'dir. Verilen birinci denklemde yerine yazılırsa: $a \cdot b + 1 = 73 \implies a \cdot b = 72$ İkinci denklemde payda eşitlenirse: $\frac{a \cdot b + 16}{b} = 11$ $a \cdot b = 72$ yazılırsa: $\frac{72 + 16}{b} = 11 \implies \frac{88}{b} = 11 \implies b = 8$ $a \cdot 8 = 72 \implies a = 9$ 8 ile 9 aralarında asaldır ve koşulu sağlar. Buradan $a + b = 9 + 8 = 17$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

İfade ortak çarpan parantezine alınır: $a(b + c) = 93$ 93 sayısının çarpanları 1, 3, 31 ve 93'tür. $a$ asal sayı olduğundan $a = 3$ veya $a = 31$ olabilir: - $a = 31$ olursa $b + c = 3$ olur. Toplamı 3 olan iki asal sayı yoktur (çünkü $2 + 1$ olmalı ama 1 asal değildir). - $a = 3$ olursa $b + c = 31$ olur. $b + c = 31$ tek sayı olduğundan, iki asal sayının toplamının tek olması için sayılardan biri mutlaka çift asal olan 2 olmalıdır. $a < b \implies 3 < b$ olduğundan küçük olan asal $c = 2$ olmalıdır. Buradan $b = 31 - 2 = 29$ bulunur (29 bir asal sayıdır). İstenen fark: $b - c = 29 - 2 = 27$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$A$ sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $A = (2^2 \cdot 5)^n \cdot (2 \cdot 3^2) = 2^{2n} \cdot 5^n \cdot 2^1 \cdot 3^2 = 2^{2n+1} \cdot 3^2 \cdot 5^n$ Pozitif tam bölen sayısı (PBS): $\text{PBS} = (2n + 1 + 1)(2 + 1)(n + 1) = 96$ $(2n + 2) \cdot 3 \cdot (n + 1) = 96$ $2(n + 1) \cdot 3 \cdot (n + 1) = 96$ $6(n + 1)^2 = 96$ $(n + 1)^2 = 16 \implies n + 1 = 4 \implies n = 3$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Asal rakamlar kümesi: $\{2, 3, 5, 7\}$'dir. Sayımız $abc$ olsun. 1) 5 ile bölümünden kalan 2 olduğundan birler basamağı $c \in \{2, 7\}$ olmalıdır. 2) Sayının en büyük olması için yüzler basamağını en büyük asal rakam olan 7 seçmeyi deneyelim ($a = 7$): Rakamlar farklı olduğundan $c = 2$ olmalıdır. Onlar basamağı $b \in \{3, 5\}$ olabilir: - $b = 5 \implies 752$, rakamlar toplamı $14 \equiv 2 \pmod 3$ (kalan 1 değil). - $b = 3 \implies 732$, rakamlar toplamı $12 \equiv 0 \pmod 3$ (kalan 1 değil). Dolayısıyla $a = 7$ olamaz. 3) $a = 5$ seçilirse: En büyük sayı için $b = 7$ veya $b = 3$ denenir. $c = 2$ alınırsa: - $b = 7 \implies 572$, rakamlar toplamı $14 \equiv 2 \pmod 3$ (olmaz). - $b = 3 \implies 532$, rakamlar toplamı $5 + 3 + 2 = 10$'dur ve $10 = 3 \times 3 + 1$ olup 3 ile bölümünden kalan 1'dir. Koşulları sağlayan en büyük sayı 532'dir. Rakamları toplamı: $5 + 3 + 2 = 10$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

İfadeyi tam sayılı biçimde ayıralım: $x = \frac{3(y - 1) + 20}{y - 1} = 3 + \frac{20}{y - 1}$ $x$ bir asal sayı olduğundan pozitif bir tam sayıdır. Dolayısıyla $(y - 1)$ sayısı 20'nin bir tam sayı böleni olmalıdır. 20'nin bölenleri incelenerek $x$'in asal çıktığı durumlar bulunur: - $y - 1 = 1 \implies x = 3 + 20 = 23$ (asal) - $y - 1 = 2 \implies x = 3 + 10 = 13$ (asal) - $y - 1 = 4 \implies x = 3 + 5 = 8$ (asal değil) - $y - 1 = 5 \implies x = 3 + 4 = 7$ (asal) - $y - 1 = 10 \implies x = 3 + 2 = 5$ (asal) - $y - 1 = 20 \implies x = 3 + 1 = 4$ (asal değil) Negatif bölenler incelenirse: - $y - 1 = -20 \implies x = 3 - 1 = 2$ (asal) (Diğer negatif bölenler için $x \le 1$ olacağından asal sayı elde edilmez). $x$'in alabileceği asal değerler: 2, 5, 7, 13 ve 23'tür. Toplamları: $2 + 5 + 7 + 13 + 23 = 50$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

Pozitif tam bölen sayısı: $\text{PBS}(K) = (3 + 1)(a + 1)(2 + 1) = 60$ $4 \times (a + 1) \times 3 = 60 \implies 12(a + 1) = 60 \implies a + 1 = 5 \implies a = 4$ Buna göre $K = 2^3 \cdot 3^4 \cdot 7^2$'dir. 6'nın tam katı olan bölenleri bulmak için birer adet 2 ve 3 çarpanı paranteze alınır: $K = 6 \cdot (2^2 \cdot 3^3 \cdot 7^2)$ Parantez içindeki sayının pozitif bölen sayısı: $(2 + 1)(3 + 1)(2 + 1) = 3 \times 4 \times 3 = 36$ Soru kökünde 'tam sayı bölenleri' dendiğinden negatif bölenler de dahil edilir: $2 \times 36 = 72$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

$A = p(p + 2) + 1 = p^2 + 2p + 1 = (p + 1)^2$'dir. I. $A = (p + 1)^2$ olduğundan daima bir tam karedir (I doğru). II. $p > 3$ bir asal sayı olduğundan tektir, dolayısıyla $p + 1$ çift bir sayıdır (2 ile bölünür). Ayrıca $p, p + 1, p + 2$ ardışık üç tam sayıdan biri mutlaka 3'ün katıdır. $p$ ve $p + 2$ 3'ten büyük asal sayılar olduğundan 3'e bölünemezler; dolayısıyla $p + 1$ kesinlikle 3'ün katıdır. Hem 2 hem 3'e bölünen $p + 1$ sayısı 6'nın tam katıdır. Buradan $A = (p + 1)^2$ sayısı $6^2 = 36$'nın katı olur. 36'ya bölünen bir sayı 12 ile de kesinlikle tam bölünür (II doğru). III. $p + 1$ çift olduğundan karesi olan $A$ sayısı da daima çifttir (III doğru). Doğru cevap E seçeneğidir.

$\text{EBOB}(A, B) = 36 = 2^2 \cdot 3^2$'dir. Ortak asal çarpanların en küçük üsleri EBOB'u verir: - 2 asalı için: $\min(a, 2) = 2$ - 3 asalı için: $\min(2, b) = 2$ Ortak asal çarpanların en büyük üsleri EKOK'u verir: - 2 asalı için: $\max(a, 2) = 3 \implies a = 3$ - 3 asalı için: $\max(2, b) = 3 \implies b = 3$ Buradan $a = 3$ ve $b = 3$ bulunur. Toplamları: $a + b = 3 + 3 = 6$ elde edilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

$p$ asal sayısı için: - $p = 3$ ise $q = 3^2 + 8 = 9 + 8 = 17$ (17 asal sayıdır). - $p \neq 3$ ise $p$ sayısı 3 ile tam bölünmez. Dolayısıyla $p \equiv 1$ veya $p \equiv 2 \pmod 3$ olur. Her iki durumda da $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ elde edilir. Bu durumda $q = p^2 + 8 \equiv 1 + 8 = 9 \equiv 0 \pmod 3$ olur. $q > 3$ olduğundan ve 3'ün katı olacağından $q$ asal olamaz. Dolayısıyla eşitliği sağlayan tek asal $p = 3$'tür ve bu durumda $q = 17$ olur. Toplam: $p + q = 3 + 17 = 20$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

Verilen eşitliği çarpanlarına ayıralım: $x(y + 3) - 2(y + 3) + 6 = 41$ $(x - 2)(y + 3) = 35$ $y$ bir rakam ($0 \le y \le 9$) olduğundan $3 \le y + 3 \le 12$ aralığındadır. 35'in bu aralıktaki bölenleri 5 ve 7'dir: 1) $y + 3 = 5 \implies y = 2$ ve $x - 2 = 7 \implies x = 9$ (9 bir rakamdır, 7 ile 5 aralarında asaldır). Bu durumda $x + y = 9 + 2 = 11$ olur. 2) $y + 3 = 7 \implies y = 4$ ve $x - 2 = 5 \implies x = 7$ (7 bir rakamdır, 5 ile 7 aralarında asaldır). Bu durumda $x + y = 7 + 4 = 11$ olur. Her iki durumda da $x + y = 11$ elde edilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

Toplam 17 (tek sayı) olduğuna göre, $p^q$ ve $q^p$ terimlerinden biri tek, diğeri çift olmalıdır. Bir asal sayının pozitif tam sayı kuvvetinin çift olması ancak o asal sayının 2 olmasıyla mümkündür. Dolayısıyla sayılardan biri 2'dir. $q = 2$ olsun: $p^2 + 2^p = 17$ $p$ asal sayısını deneyelim: - $p = 3$ için: $3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17$ eşitliği sağlanır ve 3 bir asal sayıdır. - $p \ge 5$ için: $p^2 + 2^p \ge 25 + 32 = 57 > 17$ olduğundan başka çözüm yoktur. Buradan asal sayılar 2 ve 3'tür. Kareleri toplamı: $p^2 + q^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.