YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) Limit ve Süreklilik #1

Verilen limitte $x = 2$ yazıldığında $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. Payı çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. İfadeyi sadeleştirirsek: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Trigonometrik limit kuralı olan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}$ özelliğini uygulayabiliriz. Buna göre $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x} = \frac{3}{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için sol limitin, sağ limite ve o noktadaki görüntüye eşit olması gerekir. Sol limit: $\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5$. Sağ limit ve değer: $\lim_{x \to 2^+} (mx - 3) = 2m - 3$. Süreklilik için $2m - 3 = 5 \implies 2m = 8 \implies m = 4$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

$x = 4$ yazıldığında $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. Payın eşleniği olan $(\sqrt{x} + 2)$ ile pay ve paydayı çarpalım: $\lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}$. $(x-4)$ terimleri sadeleşir: $\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Pay ve paydanın dereceleri eşittir (ikinci derece). Sonsuzda rasyonel ifadelerin limitinde derece eşitse sonuç başkatsayıların oranına eşittir: $\frac{3}{2}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$3$'e sağdan yaklaşırken ($x > 3$), $|x - 3| = x - 3$ olur. İfade $\lim_{x \to 3^+} \frac{x - 3}{x - 3} = 1$ olarak bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Bir rasyonel fonksiyon paydasını sıfır yapan noktalar hariç her yerde süreklidir. Paydayı sıfıra eşitleyelim: $x^2 - 5x + 6 = 0 \implies (x-2)(x-3) = 0$. Buradan $x = 2$ ve $x = 3$ değerlerinde payda sıfır olur ve fonksiyon tanımsız/süreksizdir. Toplam 2 tanedir. Sonuç: A şıkkı.

$(\infty - \infty)$ belirsizliğini ortadan kaldırmak için ifadenin eşleniği olan $(\sqrt{x^2 + 4x} + x)$ ile çarpıp bölelim: $\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + 4x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x}$. Paydadaki kök dışına $x$ olarak çıkar: $\lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x + x} = \frac{4x}{2x} = 2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$x = 0$ için $\frac{0}{0}$ belirsizliği vardır. $\cos(x) = 1 - 2\sin^2(x/2)$ yarım açı formülünü kullanalım: $1 - \cos(x) = 2\sin^2(x/2)$. Limiti düzenlersek: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x/2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 2 \cdot \left(\frac{\sin(x/2)}{x}\right)^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Limit değerinin bir reel sayı (5) çıkması ve paydanın $x=2$ için 0 olması, payın da $x=2$ için 0 olmasını gerektirir (0/0 belirsizliği kuralı). Bu durumda $P(2) - 3 = 0 \implies P(2) = 3$ olarak bulunur. Sonuç: D şıkkı.

$1$'e sol taraftan yaklaşırken ($x < 1$), $|x - 1| = -(x - 1)$ olur. Paydayı çarpanlarına ayıralım: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. İfadeyi düzenleyelim: $\lim_{x \to 1^-} \frac{-(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-1}{x + 1} = \frac{-1}{1 + 1} = -\frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

$x$ sıfıra sağdan yaklaşıken ($x \to 0^+$), $\frac{1}{x} \to +\infty$ olur. Bu durumda $3^{+\infty} = +\infty$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Fonksiyon $x = e$ noktasında sürekli olduğundan limit değeri direkt fonksiyonda $x = e$ yazarak bulunur: $\ln(e^2 - e^2 + e) = \ln(e) = 1$ elde edilir. Sonuç: C şıkkı.

$x \to -\infty$ iken $\sqrt{4x^2} = |2x| = -2x$ olur. Paydaki ifade kök dışına $-2x$ olarak çıkar. Payda ise $3x$'tir. Başkatsayılar oranı $\frac{-2}{3}$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Önce içteki fonksiyonun limitini bulalım: $\lim_{x \to 1} g(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 1^2 - 1 = 0$. Şimdi dıştaki fonksiyonda bu değeri yerine koyalım: $\lim_{u \to 0} f(u) = f(0) = 0 + 3 = 3$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Fonksiyonun $x = 3$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve fonksiyonun o noktadaki değerinin eşit olması gerekir. $f(3) = 10$'dur. Sol limit: $3a + 2 = 10 \implies 3a = 8 \implies a = \frac{8}{3}$. Sağ limit: $3^2 + b = 10 \implies 9 + b = 10 \implies b = 1$. Toplamları $a + b = \frac{8}{3} + 1 = \frac{11}{3}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

$x = \frac{\pi}{2}$ için $\frac{0}{0}$ belirsizliği vardır. $\frac{\pi}{2} - x = t$ dönüşümü yapalım. $x \to \frac{\pi}{2}$ iken $t \to 0$ olur ve $x = \frac{\pi}{2} - t$ olur. Limiti düzenleyelim: $\lim_{t \to 0} \frac{\cos(\frac{\pi}{2} - t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 1$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Payda $x=1$ için 0 olmaktadır. Limit bir reel sayıya eşit olduğundan pay da $x=1$ için 0 olmalıdır (0/0 belirsizliği). $1^3 - a(1) + 2 = 0 \implies 3 - a = 0 \implies a = 3$ bulunur. Değeri yerine koyup limit alırsak: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}$. Payı çarpanlarına ayıralım: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2+x-2)$. Payda: $(x-1)(x+1)$. Sadeleştirirsek: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-2}{x+1} = \frac{1+1-2}{1+1} = 0$, ancak soruda limit 2 verilmiş. Demek ki $a$ değerini tekrar kontrol edelim: $P(1) = 0 \implies 1 - a + 2 = 0 \implies a = 3$. Payın türevi veya çarpanı: $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2)$. Payda $(x-1)(x+1)$. Sadeleşirse $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{x+1} = \frac{0 \cdot 3}{2} = 0$. (Demek ki $a=3$ için limit 0 çıkıyor. Limiti 2 yapacak $a$ değerini bulalım: $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - ax + 2}{(x-1)(x+1)} = 2$. Pay $x=1$ de 0 olmalı $\implies 1 - a + 2 = 0 \implies a = 3$. L'Hopital kuralı uygulayalım: $\lim_{x \to 1} \frac{3x^2 - a}{2x} = \frac{3 - a}{2} = 2 \implies 3 - a = 4 \implies a = -1$). $a = -1$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$-2$'ye soldan ve sağdan yaklaşarak inceleyelim. Sağdan yaklaşırken ($x > -2$), $|x+2| = x+2$ olur ve limit $\lim_{x \to -2^+} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} = -4$ olur. Soldan yaklaşırken ($x < -2$), $|x+2| = -(x+2)$ olur ve limit $\lim_{x \to -2^-} \frac{(x-2)(x+2)}{-(x+2)} = 4$ olur. Sol ve sağ limitler birbirine eşit olmadığından ($4 \neq -4$) bu noktada limit yoktur (yoktur/tanımsız). Sonuç: D şıkkı.

Sıkıştırma teoremi (sandviç teoremi) gereği eşitsizlikteki uç fonksiyonların $x \to 1$ için limitlerine bakılır. $\lim_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$ ve $\lim_{x \to 1} (x^2) = 1^2 = 1$ olduğundan, aradaki $f(x)$ fonksiyonunun limiti de sıkıştırma teoremi gereği 1 olmalıdır. Sonuç: E şıkkı.