YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) Logaritma ve Diziler #1

Taban değiştirme kuralını kullanalım. $\log_5(12)$ ifadesini 2 tabanına göre yazalım: $\log_5(12) = \frac{\log_2(12)}{\log_2(5)}$. Pay kısmındaki 12 sayısını çarpanlarına ayıralım: $\log_2(12) = \log_2(4 \cdot 3) = \log_2(4) + \log_2(3) = 2 + a$. Paydadaki $\log_2(5)$ ifadesini ise verilen $\log_2(3) = a$ ve $\log_3(5) = b$ ifadelerinden yararlanarak taban değiştirme ile bulalım: $\log_2(5) = \log_2(3) \cdot \log_3(5) = a \cdot b$. Bu durumda $\log_5(12) = \frac{2 + a}{a \cdot b}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Logaritma özelliklerinden $\log_a(A) + \log_a(B) = \log_a(A \cdot B)$ kuralını uygulayalım: $\log_3((x-1)(x+1)) = 1 \implies \log_3(x^2 - 1) = 1$. Logaritma tanımından $x^2 - 1 = 3^1 \implies x^2 - 1 = 3 \implies x^2 = 4$ elde edilir. Buradan $x = 2$ veya $x = -2$ bulunur. Logaritmanın tanım kümesi gereği içler pozitif olmalıdır: $x-1 > 0 \implies x > 1$. Bu nedenle $x = -2$ kökü denklemi tanımsız yapar ve alınamaz. Çözüm kümesi yalnızca $\{2\}$'dir. Sonuç: B şıkkı.

Logaritma tanımından taban 1'den büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirmeden çözülür: $x - 3 \leq 2^3 \implies x - 3 \leq 8 \implies x \leq 11$. Ayrıca logaritmanın içindeki ifade sıfırdan büyük olmalıdır: $x - 3 > 0 \implies x > 3$. Bu iki durumu birleştirirsek çözüm aralığı $3 < x \leq 11$ olur. Bu aralıktaki tam sayılar $4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ olmak üzere toplam 8 tanedir. Sonuç: C şıkkı.

Aritmetik dizide ilk $n$ terim toplamı formülü $S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]$ şeklindedir. Verilenleri yerine koyarsak: $S_{10} = \frac{10}{2} \cdot [2(3) + (10-1) \cdot 4] = 5 \cdot [6 + 9 \cdot 4] = 5 \cdot [6 + 36] = 5 \cdot 42 = 210$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Geometrik dizide genel terim formülü $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ şeklindedir. $a_6 = a_3 \cdot r^{6-3} \implies 96 = 12 \cdot r^3$. Her iki tarafı 12'ye bölersek $r^3 = \frac{96}{12} = 8$ bulunur. Buradan ortak çarpan $r = 2$ olarak elde edilir. Sonuç: A şıkkı.

Genel terimde $n = 4$ yazarak dördüncü terimi bulabiliriz: $a_4 = \frac{2(4) + 5}{4 + 1} = \frac{8 + 5}{5} = \frac{13}{5}$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Ters fonksiyonu bulmak için $f(x)$ yerine $y$ yazıp $x$ ile $y$'yi yer değiştirelim: $y = \log_3(x - 2) + 1 \implies x = \log_3(y - 2) + 1$. 1'i sol tarafa atalım: $x - 1 = \log_3(y - 2)$. Logaritma tanımından $y - 2 = 3^{x-1}$ olur. Buradan $y = 3^{x-1} + 2$ elde edilir. Dolayısıyla $f^{-1}(x) = 3^{x-1} + 2$'dir. Sonuç: B şıkkı.

Verilen denklemi düzenleyelim: $2 \cdot 2^x + (2^x)^2 = 24$. $2^x = t$ dönüşümü yapalım: $t^2 + 2t - 24 = 0$. Çarpanlarına ayıralım: $(t + 6)(t - 4) = 0$. Buradan $t = -6$ veya $t = 4$ bulunur. $2^x$ ifadesi negatif olamayacağı için $t = -6$ olamaz. $2^x = 4 \implies x = 2$ olarak elde edilir. Sonuç: C şıkkı.

Herhangi bir dizide $n$. terim $a_n = S_n - S_{n-1}$ formülüyle bulunur. 4. terim için $a_4 = S_4 - S_3$ hesaplamalıyız. $S_4 = 4^2 + 3(4) = 16 + 12 = 28$. $S_3 = 3^2 + 3(3) = 9 + 9 = 18$. Buradan $a_4 = 28 - 18 = 10$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Verilen üstel ifadede logaritma özelliklerini kullanalım: $\ln(5) + 2\ln(2) = \ln(5) + \ln(2^2) = \ln(5) + \ln(4) = \ln(5 \cdot 4) = \ln(20)$. İfade $e^{\ln(20)}$ haline gelir. $e^{\ln(k)} = k$ kuralından sonuç 20 bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Geometrik dizide ilk $n$ terim toplamı formülü $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ şeklindedir. Verilenleri yerine koyarsak: $S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Zincirleme taban değiştirme kuralı (zincir kuralı) gereği bu çarpım $\log_2(32)$'ye eşittir. $\log_2(32) = \log_2(2^5) = 5$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Verilen indirgemeli bağıntıda sırasıyla $n$ değerlerini yazalım: $n = 1$ için $a_2 = a_1 + 3(1) = 2 + 3 = 5$. $n = 2$ için $a_3 = a_2 + 3(2) = 5 + 6 = 11$. $n = 3$ için $a_4 = a_3 + 3(3) = 11 + 9 = 20$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Taban değiştirme özelliğinde $\frac{1}{\log_a(b)} = \log_b(a)$ kuralı geçerlidir. İfadeyi dönüştürürsek: $\log_{30}(2) + \log_{30}(3) + \log_{30}(5)$ olur. Toplam kuralından $\log_{30}(2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_{30}(30) = 1$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Aritmetik dizide herhangi bir terim kendinden önceki ve sonraki terimin aritmetik ortalamasıdır: $2_2 = a_1 + a_3$. Yani $2(2x + 1) = (x - 1) + (5x - 3)$. Denklemi çözelim: $4x + 2 = 6x - 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Birinci terimi düzenleyelim: $9^{\log_3(5)} = (3^2)^{\log_3(5)} = (3^{\log_3(5)})^2 = 5^2 = 25$. İkinci terimi düzenleyelim: $2^{\log_2(3) + 1} = 2^{\log_2(3)} \cdot 2^1 = 3 \cdot 2 = 6$. Toplamları $25 + 6 = 31$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

İfadeyi payı paydaya bölerek veya tam kısım ayırarak düzenleyelim: $a_n = \frac{3(n + 1) + 12}{n + 1} = 3 + \frac{12}{n + 1}$. Sonucun tam sayı olması için $\frac{12}{n + 1}$ ifadesinin tam sayı olması gerekir. Bu durumda $n+1$ sayısı 12'nin pozitif bölenleri olmalıdır. $n$ pozitif tam sayı olduğu için $n+1$ değerleri $1, 2, 3, 4, 6, 12$ olabilir. $n+1 = 1 \implies n = 0$ (dizi indisidir, olamaz). $n+1$ sırasıyla $2, 3, 4, 6, 12$ olabilir; buradan $n$ değerleri $1, 2, 3, 5, 11$ olmak üzere 5 tanedir. Sonuç: C şıkkı.

Bakteri sayısı formülü $N(t) = N_0 \cdot 2^t$ şeklindedir. $100 \cdot 2^t = 6400 \implies 2^t = 64$. $2^t = 2^6$ olduğundan $t = 6$ saat sürer. Sonuç: D şıkkı.

Geometrik dizide $a_2 \cdot a_8 = a_5^2$ özdeşliği geçerlidir (indisler toplamı eşittir: $2 + 8 = 5 + 5 = 10$). Buna göre $a_5^2 = 36$ olur. Dizi pozitif terimli olduğu için $a_5 = 6$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Logaritma tanımından taban 5 olduğu için $x - 2 < 5^2 \implies x - 2 < 25 \implies x < 27$ olur. Logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır: $x - 2 > 0 \implies x > 2$. Aralık $2 < x < 27$ şeklindedir. Pozitif tam sayı değerleri 3'ten 26'ya kadar olan sayılardır. Terim sayısı = $26 - 3 + 1 = 24$ tanedir. Sonuç: A şıkkı.