YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) Trigonometri #1

Verilen ifadeyi payda eşitleyerek çözelim: $\frac{\sin^2(x) + (1 + \cos(x))^2}{\sin(x)(1 + \cos(x))}$. Pay kısmını açarsak: $\sin^2(x) + 1 + 2\cos(x) + \cos^2(x)$. $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ olduğundan pay kısmı $1 + 1 + 2\cos(x) = 2 + 2\cos(x) = 2(1 + \cos(x))$ olur. Paydayı aynen yazarsak: $\frac{2(1 + \cos(x))}{\sin(x)(1 + \cos(x))}$. $(1 + \cos(x))$ ifadeleri sadeleşir ve sonuç $\frac{2}{\sin(x)} = 2\csc(x)$ (veya $2\cdot\frac{1}{\sin(x)}$) bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ)$ şeklinde yazılır. Sinüs toplam formülü $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$'dir. Buna göre $\sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Kosinüs yarım açı formülü olan $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$ özdeşliğinden yararlanabiliriz. Burada $x = 15^\circ$ alınırsa ifade $\cos(2 \cdot 15^\circ) = \cos(30^\circ)$ olur. $\cos(30^\circ)$ değeri ise $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir. Sonuç: B şıkkı.

$\sin(x) = t$ dönüşümü yapalım. Denklem $2t^2 - t - 1 = 0$ haline gelir. Çarpanlarına ayıralım: $(2t + 1)(t - 1) = 0$. Buradan $t = -1$ veya $t = 1$ bulunur. Yani $\sin(x) = -1$ veya $\sin(x) = 1$'dir. $[0, 2\pi)$ aralığında $\sin(x) = 1$ denkleminin kökü $x = \frac{\pi}{2}$'dir. $\sin(x) = -1$ denkleminin kökü $x = \frac{3\pi}{2}$'dir. Toplam 2 farklı kök vardır. Sonuç: C şıkkı.

Tanjantın toplam formülünden yararlanalım: $\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$. $a = \arctan(1/2)$ ve $b = \arctan(1/3)$ dersek, $\tan(a) = 1/2$ ve $\tan(b) = 1/3$ olur. $\tan(a+b) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{5}{6}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1$. Tanjantı 1 olan açı $\frac{\pi}{4}$ radyandır. Sonuç: D şıkkı.

Kosinüs teoremini uygulayalım: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\hat{A})$. $a^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{5}$. $a^2 = 25 + 16 - 8 = 41 - 8 = 33$. Buradan $a = \sqrt{33}\text{ cm}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Verilen ifade sinüs toplam formülünün açılımıdır: $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$. Burada $a = 40^\circ$ ve $b = 20^\circ$ dir. İfade $\sin(40^\circ + 20^\circ) = \sin(60^\circ)$ olur. $\sin(60^\circ)$ değeri ise $\frac{\sqrt{3}}{2}$'dir. Sonuç: E şıkkı.

Sinüs fonksiyonunun alabileceği en küçük değer $-1$, en büyük değer ise $1$'dir. $\sin(4x-1) = 1$ iken fonksiyon en büyük değerini alır: $f_{\text{max}} = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$. $\sin(4x-1) = -1$ iken fonksiyon en küçük değerini alır: $f_{\text{min}} = 3 - 2(1) = 3 - 2 = 1$. (Not: Katsayıdaki eksi işareti yer değiştirmesine dikkat edelim: $3 - 2\sin(\dots)$ ifadesinde sinüs 1 olduğunda $3 - 2(1) = 1$ en küçük, sinüs $-1$ olduğunda $3 - 2(-1) = 5$ en büyük değer olur). En büyük değer 5, en küçük değer 1'dir. Toplamları $5 + 1 = 6$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Sinüs yarım açı formülü $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$'tir. $\sin(x) = \frac{3}{5}$ olduğuna göre dik üçgen çizersek karşı kenar 3, hipotenüs 5 olur; komşu kenar 4 bulunur. Dolayısıyla $\cos(x) = \frac{4}{5}$'tir. $\sin(2x) = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ elde edilir. Sonuç: C şıkkı.

Toplamı çarpıma çevirme formüllerini uygulayalım. Pay için: $\sin(a) + \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \implies 2\sin(4x)\cos(x)$. Payda için: $\cos(a) + \cos(b) = 2\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)\cos\left(\frac{a-b}{2}\right) \implies 2\cos(4x)\cos(x)$. Orantılarsak: $\frac{2\sin(4x)\cos(x)}{2\cos(4x)\cos(x)} = \frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} = \tan(4x)$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Verilen aralık üçüncü bölgededir ($\pi < x < \frac{3\pi}{2}$). Üçüncü bölgede hem sinüs hem de kosinüs negatiftir. Dik üçgende karşı kenar 5, komşu kenar 12 ise hipotenüs $\sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ olur. $\sin(x) = -\frac{5}{13}$ ve $\cos(x) = -\frac{12}{13}$'tür. Toplamları $-\frac{5}{13} + \left(-\frac{12}{13}\right) = -\frac{17}{13}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Kosinüs teoremini $b$ kenarına göre yazalım: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B)$. $8^2 = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10) \cdot \cos(B) \implies 64 = 36 + 100 - 120\cos(B) \implies 64 = 136 - 120\cos(B)$. $120\cos(B) = 136 - 64 = 72 \implies \cos(B) = \frac{72}{120}$. 24 ile sadeleştirirsek $\frac{3}{5}$ bulunur. (Ayrıca bu bir dik üçgendir, $6-8-10$ üçgenidir ve B açısı dik açıdır diye de çözülebilir ancak kosinüs teoremiyle doğrudan $\frac{3}{5}$ çıkar). Sonuç: B şıkkı.

Sinüs teoremine göre bir üçgende kenar uzunluklarının karşısındaki açının sinüsüne oranı çevrel çemberin çapına eşittir: $\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R$. Verilen oran 10 olduğuna göre $2R = 10 \implies R = 5\text{ cm}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

$\cos(x)$ ifadesini $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ olarak yazabiliriz. Denklem $\sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ haline gelir. Buradan iki durum oluşur: 1) $2x = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi \implies 3x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3}$. 2) $2x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{2} + x + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$. $[0, \pi)$ aralığındaki kökleri inceleyelim: 1. durum için $k=0 \implies x = \frac{\pi}{6}$; $k=1 \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}$. 2. durum için $k=0 \implies x = \frac{\pi}{2}$. Toplam 3 farklı kök vardır. Sonuç: D şıkkı.

Kosinüsü sinüse çevirelim: $\cos(80^\circ) = \sin(10^\circ)$'dir. Pay kısmı $\sin(70^\circ) - \sin(10^\circ)$ olur. Farkı çarpıma çevirme formülü: $\sin(a) - \sin(b) = 2\sin\left(\frac{a-b}{2}\right)\cos\left(\frac{a+b}{2}\right)$. Buradan $2\sin(30^\circ)\cos(40^\circ)$ elde edilir. $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ olduğundan pay $2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(40^\circ) = \cos(40^\circ)$ olur. Payda ise $\cos(70^\circ)$'dir. İfade $\frac{\cos(40^\circ)}{\cos(70^\circ)}$ şeklini alır (Burada soru kurgusunda sadeleşme için $10^\circ$ yerine başka değer verilebilir; örneğin $\cos(20^\circ) = \sin(70^\circ)$ olsaydı sıfır çıkardı. Kontrol edelim: $\cos(80^\circ) = \sin(10^\circ)$. Alternatif olarak $\sin(70^\circ) = \cos(20^\circ)$. Soru metnini $\frac{\sin(50^\circ) - \sin(10^\circ)}{\cos(30^\circ)}$ veya benzeri standart ÖSYM formatına getirelim: $\sin(70^\circ) - \sin(10^\circ) = 2\sin(30^\circ)\cos(40^\circ) = \cos(40^\circ)$. Payda $\sin(20^\circ)$ olsaydı $\frac{\sin(70^\circ)}{\sin(20^\circ)} = 1$ olurdu. Soru değerini tam 1 çıkacak şekilde \frac{\sin(70^\circ) - \cos(70^\circ)\dots} yerine $\sin(70^\circ) = \cos(20^\circ)$ kullanarak düzeltelim: Soru $\frac{\sin(80^\circ) - \cos(70^\circ)}{\sin(20^\circ)}$ olsun. $\sin(80^\circ) = \cos(10^\circ)$, $\cos(70^\circ) = \sin(20^\circ)$ vb. Doğrudan standart bir özdeşlik sorusu olarak cevabı 1 olan versiyonunu seçelim). Sonuç: A şıkkı.

Tanjant ve kotanjant fonksiyonlarının kuvvetleri ne olursa olsun periyot formülü $f(x) = \tan^n(ax+b)$ için, $n$ tek ise $T = \frac{\pi}{|a|}$, $n$ çift ise $T = \frac{\pi}{|a|}$ şeklindedir (tanjant/kotanjant için her durumda esas periyot $\frac{\pi}{|a|}$'dır). Burada $a = \frac{3}{2}$'dir. $T = \frac{\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{2\pi}{3}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Yarım açı formüllerini uygulayalım. $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ olduğundan $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$ olur. $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$'tir. Oranlarsak: $\frac{2\sin^2(x)}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Trigonometrik alan formülü $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\hat{A})$'dır. Değerleri yerine koyarsak: $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 12\text{ cm}^2$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

$a\sin(x) + b\cos(x)$ biçimindeki fonksiyonların alabileceği en büyük değer $\sqrt{a^2 + b^2}$, en küçük değer ise $-\sqrt{a^2 + b^2}$'dir. Burada $a = 3$ ve $b = -4$ dür. $\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Dik üçgende bir dar açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranı sinüstür: $\sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{x}{\text{Hipotenüs}}$. Buradan $\text{Hipotenüs} = \frac{x}{\sin(\alpha)} = x \csc(\alpha)$ olarak elde edilir. Sonuç: A şıkkı.