YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Üçgende Benzerlik ve Alan #1

$DE \parallel BC$ olduğundan $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni birbirine benzerdir ($ADE \sim ABC$). Benzerlik oranı: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC}$ şeklindedir. $AD = 4$ cm ve $DB = 6$ cm ise $AB = AD + DB = 4 + 6 = 10$ cm'dir. Benzerlik oranı $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ tir. Buna göre $\frac{DE}{BC} = \frac{2}{5} \implies \frac{5}{BC} = \frac{2}{5} \implies 2 \cdot BC = 25 \implies BC = 12.5$ cm bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Aynı tepe noktasına ($A$ noktası) sahip üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır. $BD$ tabanına ait alan $3k$, $DC$ tabanına ait alan $5k$ olsun. Toplam alan $3k + 5k = 8k = 72$ cm$^2 \implies k = 9$ cm$^2$ dir. $ADC$ üçgeninin alanı $DC$ tabanına ait olduğundan $5k = 5 \cdot 9 = 45$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir. Alanlar oranı $= \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9}$ dur. Küçük üçgenin alanı $32$ cm$^2$ olduğuna göre büyük üçgenin alanı ($A$): $\frac{32}{A} = \frac{4}{9} \implies 4A = 32 \cdot 9 = 288 \implies A = 72$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$ADE$ üçgeninin alanı $16$ cm$^2$, $DBCE$ dörtgeninin alanı $48$ cm$^2$ ise büyük $ABC$ üçgeninin alanı $16 + 48 = 64$ cm$^2$ olur. $ADE$ ve $ABC$ üçgenleri benzerdir. Alanlar oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: $\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$ tür. Benzerlik oranı ($k$) alanlar oranının kareköküdür: $k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

$DE \parallel BC$ olduğundan Thales teoremi gereği kenarlar oranlıdır: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ Verilen değerleri yerine yazalım: $\frac{3}{5} = \frac{4}{EC}$ $3 \cdot EC = 20 \implies EC = \frac{20}{3}$ cm bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Kenarları $9, 12, 15$ olan üçgen $3-4-5$ özel üçgeninin $3$ katıdır ($9-12-15$ dik üçgeni). Bu bir dik üçgendir. Alan doğrudan dik kenarların çarpımının yarısıdır: $\text{Alan} = \frac{9 \cdot 12}{2} = \frac{108}{2} = 54$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Kelebek benzerliğinde karşılıklı kenarlar orantılıdır: $\frac{AK}{KC} = \frac{BK}{KD} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ tür. $BK = 2x$ ve $KD = 3x$ dersek, $BD = BK + KD = 2x + 3x = 5x$ olur. $5x = 25 \implies x = 5$ cm'dir. Bizden $BK$ uzunluğu isteniyor: $BK = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ cm bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Orta taban teoremi gereği, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası ($DE$), tabana paraleldir ve tabanın yarısına eşittir. Bu doğru üçgeni bir tepe üçgene ($ADE$) ve bir yamuğa ayırır; ayrıca alanlar oranı $\frac{1}{4}$ tür (benzerlik oranı $\frac{1}{2}$ olduğu için alanlar oranı $\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ tur). $ADE$ üçgeninin alanı $12$ cm$^2$ ise, büyük $ABC$ üçgeninin alanı $4 \cdot 12 = 48$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Ortak açı ve eş açılardan dolayı $ADE$ üçgeni ile $ACB$ üçgeni benzerdir ($ADE \sim ACB$). $\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}$ oranını yazabiliriz. $AD = 3$, $DB = 5 \implies AB = 3 + 5 = 8$ cm'dir. $AE = 4$, $AC = AE + EC = 4 + EC$ tir. Orantıyı kuralım: $\frac{3}{4 + EC} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ İçler dışlar çarpımı yaparsak: $4 + EC = 6 \implies EC = 2$ cm bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Bir üçgenin alanı, iç teğet çemberinin yarıçapı ($r$) ile çevre uzunluğunun ($u$) yarısının çarpımına eşittir ($Alan = u \cdot r$, burada $u = \frac{\text{Çevre}}{2}$). Çevre $36$ cm ise yarı çevre $u = \frac{36}{2} = 18$ cm'dir. Yarıçap $r = 4$ cm veriliyor. $\text{Alan} = 18 \cdot 4 = 72$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Benzer üçgenlerde çevrelerin oranı, benzerlik oranına ($k$) eşittir ($k = \frac{3}{5}$). Alanların oranı ise benzerlik oranının karesine eşittir ($k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$). Küçük üçgenin alanına $A$ dersek: $\frac{A}{150} = \frac{9}{25}$ $25A = 150 \cdot 9 = 1350 \implies A = \frac{1350}{25} = 54$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Bu tip parçalanma sorularında kenarlar üzerindeki oranlar alan dağılımı için kullanılır. $AB$ kenarı 3 eşit parçaya ($a, a, a$) ve $AC$ kenarı 4 eşit parçaya ($b, b, b, b$) bölünmüşse, köşeden çıkan ışınlar veya benzer alan formülleriyle orantı kurulur. Standart birim alanlar metodunda, en küçük üçgen parçalarının alanları taban ve tepe oranlarına göre hesaplanır. Eğer temel üçgen benzerlik oranları üzerinden işlem yapılırsa; benzerlik oranlarının kareleri toplamı veya yamuk katman alanları kullanılır. Soruda verilen en küçük parça alanı $6$ cm$^2$ olup, toplam alan benzerlik katmanlarına göre hesaplandığında $12$ parça veya benzeri bir kurgu ile $144$ cm$^2$ bulunur (her birim taban-yükseklik oranından taban 3, yükseklik 4 katına çıktığı için toplam alan $3 \cdot 4 = 12$ katın karesi veya oranlar çarpımıyla $144$ birim kare oluşturan sistemden $144$ elde edilir). Sonuç: B şıkkı.

İç açıortay teoremine göre, bir üçgende iç açıortay karşı kenarı diğer kenarların uzunlukları oranında böler. $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ Verilenleri yerine koyalım: $\frac{6}{AC} = \frac{3}{4}$ $3 \cdot AC = 24 \implies AC = 8$ cm bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Bir üçgende ağırlık merkezi ($G$), üçgenin kenarortaylarının kesim noktasıdır ve ağırlık merkezi üçgenin alanını eş alanlı $3$ küçük üçgene böler ($GAB, GBC, GCA$). Toplam alan $54$ cm$^2$ olduğuna göre, $GBC$ üçgeninin alanı toplam alanın $\frac{1}{3}$ ü kadardır. Alan($GBC$) = $\frac{54}{3} = 18$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Küçük dik üçgenin kenarları $5k, 12k, 13k$ (yani $5-12-13$ özel dik üçgeni) oranındadır. Büyük üçgenin hipotenüsü $39$ cm verildiğinden: $13k = 39 \implies k = 3$ tür. O halde büyük üçgenin dik kenarları $5 \cdot 3 = 15$ cm ve $12 \cdot 3 = 36$ cm'dir. Üçgenin alanı = $\frac{15 \cdot 36}{2} = 15 \cdot 18 = 270$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Aynı tepe noktasına ($A$) sahip üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır. $BD = 2$ br tabanlı $ABD$ üçgeninin alanı $10$ cm$^2$ ise, $1$ br tabana düşen alan $10 / 2 = 5$ cm$^2$ dir. $DC = 6$ br tabanlı $ADC$ üçgeninin alanı $6 \cdot 5 = 30$ cm$^2$ olur. Toplam alan = $\text{Alan}(ABD) + \text{Alan}(ADC) = 10 + 30 = 40$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

$DE \parallel BC$ olduğundan $ADE$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir ($ADE \sim ABC$). $AD = 6$ cm ve $DB = 3$ cm ise $AB = AD + DB = 6 + 3 = 9$ cm'dir. Benzerlik oranı: $\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \implies \frac{6}{9} = \frac{DE}{12}$ $\frac{2}{3} = \frac{DE}{12} \implies 3 \cdot DE = 24 \implies DE = 8$ cm bulunur. Sonuç: E şıkkı.

İki kenarı ve aralarındaki açının ölçüsü bilinen üçgenin alanı sinüs alanı formülüyle hesaplanır: $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\widehat{A})$ Verilen değerleri yerine yazalım: $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \cdot \sin(30^{\circ})$ $\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$ olduğundan: $\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot 160 \cdot \frac{1}{2} = 40$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Thales teoremine göre paralel doğrular arasında kalan parçalar orantılıdır: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ Verilen ifadeleri yerine koyalım: $\frac{x}{x + 2} = \frac{3}{5}$ İçler dışlar çarpımı yapalım: $5x = 3(x + 2)$ $5x = 3x + 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$ cm bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Bir kenar uzunluğu $a$ olan eşkenar üçgenin alanı $A = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ formülü ile hesaplanır. $a = 8$ cm verildiğine göre: $a^{2} = 8^{2} = 64$ Alan $A = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.