YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) Çokgenler ve Dörtgenler #1

Düzgün bir çokgende bir iç açı ile bir dış açının toplamı $180^{\circ}$ dir. Dış açıya $x$ dersek, iç açı $4x$ olur. $x + 4x = 180^{\circ} \implies 5x = 180^{\circ} \implies x = 36^{\circ}$ (dış açı). Kenar sayısı $n$ olmak üzere, dış açılar toplamı $360^{\circ}$ olduğundan: $n = \frac{360^{\circ}}{36^{\circ}} = 10$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Bir çokgende bir köşeden çizilen köşegenler çokgeni $n - 2$ tane üçgene ayırır. Verilen bilgiye göre $n - 2 = 6 \implies n = 8$ (sekizgen). Sekizgenin iç açılar toplamı formülü: $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ $(8 - 2) \cdot 180^{\circ} = 6 \cdot 180^{\circ} = 1080^{\circ}$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Dörtgende karşılıklı iki köşeden çıkan iç açıortayların oluşturduğu açı formülü kullanılır ya da genel kuraldan gidilir. Dörtgenin iç açılar toplamı $360^{\circ}$ dir. Diğer iki açının toplamı $210^{\circ}$ ise, açıortayları incelenen diğer iki açının toplamı $360^{\circ} - 210^{\circ} = 150^{\circ}$ dir. Açıortaylar arasındaki dar açı $70^{\circ}$ verilmişse, bu açı $70^{\circ}$ veya geniş açı olan $110^{\circ}$ olabilir. Açıortaylar arasındaki dar açının formülü: $\alpha = \frac{\text{diğer iki açının toplamı}}{2}$ ise $\alpha = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$ olmalıydı ancak $70^{\circ}$ verilmiş, bu durum dörtgenin dışbükey olma durumuna veya özel açılara göre ayarlanmıştır. Dörtgenin iç açılar toplamından, bilinen iki açının toplamı $210^{\circ}$ ise kalan iki açının toplamı $150^{\circ}$ dir. En büyük açının en az olması için diğer açıların eşit dağılması veya sınır şartlarının sağlanması gerekir. $150^{\circ}$ lik iki açının toplamından biri maksimum yapılmak istendiğinde, diğer açıların yapısı göz önüne alınarak $110^{\circ}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Yamuğun çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamına eşittir. Alt taban $= 16$ cm, üst taban $= 8$ cm, yan kenarlar $= 5$ cm ve $7$ cm'dir. Çevre $= 16 + 8 + 5 + 7 = 36$ cm bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Paralelkenarda ardışık açılar bütünlerdir (toplamları $180^{\circ}$ dir). $(3x - 20^{\circ}) + (2x + 10^{\circ}) = 180^{\circ}$ $5x - 10^{\circ} = 180^{\circ}$ $5x = 190^{\circ} \implies x = 38^{\circ}$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini ortalar ve dik kesişirler. Bir kenarı $10$ cm ise tüm kenarları $10$ cm'dir. Köşegenlerden biri $16$ cm ise yarısı $8$ cm'dir. Oluşan dik üçgende hipotenüs $10$ cm, dik kenarlardan biri $8$ cm dir. Diğer dik kenar $6$ cm olur ($6-8-10$ özel üçgeni). Köşegenin diğer yarısı $6$ cm olduğuna göre, diğer köşegenin tamamı $2 \cdot 6 = 12$ cm bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Kısa kenar $3k$, uzun kenar $4k$ olsun. Çevre $= 2 \cdot (3k + 4k) = 56 \implies 2 \cdot 7k = 56 \implies 14k = 56 \implies k = 4$ cm'dir. Kısa kenar $= 3 \cdot 4 = 12$ cm, uzun kenar $= 4 \cdot 4 = 16$ cm'dir. Alan $=$ Kısa kenar $\times$ Uzun kenar $= 12 \cdot 16 = 192$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Karenin bir kenarı $a$ olsun. Köşegen uzunluğu $a\sqrt{2}$ kadardır. $a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10$ cm (bir kenar uzunluğu). Karenin alanı $= a^{2} = 10^{2} = 100$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Deltoidin alanı, köşegenlerinin çarpımının yarısına eşittir (köşegenleri dik kesiştiği için). Alan $= \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Yamuğun alan formülü: $\text{Alan} = \frac{\text{Alt Taban} + \text{Üst Taban}}{2} \times \text{Yükseklik}$ Verilen değerleri yerine yazalım: Alan $= \frac{14 + 6}{2} \times 8 = \frac{20}{2} \times 8 = 10 \times 8 = 80$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: A şıkkı.

Paralelkenarın alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir. Alan $=$ Taban $\times$ Yükseklik $= 12 \times 9 = 108$ cm$^2$ bulunur. Sonuç: B şıkkı.

Bir dışbükey çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı her zaman $360^{\circ}$ dir. İç açılar toplamı $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ dir. Verilen bilgiye göre: $(n - 2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 360^{\circ}$ Her iki tarafı $180^{\circ}$ ile sadeleştirelim: $n - 2 = 3 \cdot 2 \implies n - 2 = 6 \implies n = 8$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Dikdörtgenin köşegeni, dik kenarları $8$ cm ve $15$ cm olan bir dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor teoremine göre: $d^{2} = 8^{2} + 15^{2} = 64 + 225 = 289$ $d = \sqrt{289} = 17$ cm bulunur ($8-15-17$ özel dik üçgeni). Sonuç: D şıkkı.

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar. Yarı köşegenler $5$ cm ve $12$ cm olur. Oluşan dik üçgende hipotenüs (eşkenar dörtgenin bir kenarı $a$): $a^{2} = 5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 \implies a = 13$ cm'dir ($5-12-13$ özel üçgeni). Eşkenar dörtgenin çevresi $= 4 \cdot a = 4 \cdot 13 = 52$ cm bulunur. Sonuç: E şıkkı.

Karenin bir kenarı $a$ olsun. Çevresi $= 4a$, alanı $= a^{2}$ dir. Sayısal olarak eşit oldukları verilmiş: $a^{2} = 4a$ $a^{2} - 4a = 0 \implies a(a - 4) = 0$ Uzunluk sıfırdan farklı olacağından $a = 4$ birim bulunur. Sonuç: A şıkkı.

İkizkenar yamukta üst taban uçlarından tabana dikmeler indirildiğinde tabanda oluşan parçalar eşittir. Oradaki orta parça üst tabana eşit olup $10$ cm'dir. Geriye kalan $20 - 10 = 10$ cm'lik kısım iki kenara eşit paylaştırılır ($5$ cm ve $5$ cm). Yan kenar $13$ cm olduğuna göre, oluşan dik üçgende yükseklik $h$: $h^{2} + 5^{2} = 13^{2} \implies h^{2} + 25 = 169 \implies h^{2} = 144 \implies h = 12$ cm bulunur ($5-12-13$ üçgeni). Sonuç: B şıkkı.

Düzgün dokuzgenin ($n = 9$) önce bir dış açısı hesaplanır: $\text{Dış Açı} = \frac{360^{\circ}}{9} = 40^{\circ}$ dir. Bir iç açı ile bir dış açının toplamı $180^{\circ}$ olduğundan: $\text{İç Açı} = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$ bulunur. Sonuç: C şıkkı.

Komşu kenarlar $2k$ ve $3k$ olsun. Çevre $= 2 \cdot (2k + 3k) = 60 \implies 2 \cdot 5k = 60 \implies 10k = 60 \implies k = 6$ cm'dir. Uzun kenar $= 3k = 3 \cdot 6 = 18$ cm bulunur. Sonuç: D şıkkı.

Bir dikdörtgenin içine çizilebilecek en büyük alanlı kare, dikdörtgenin kısa kenarını kenar kabul eden karedir. Dikdörtgenin kısa kenarı $12$ cm olduğundan, çizilebilecek en büyük karenin bir kenar uzunluğu da $12$ cm olur. Sonuç: E şıkkı.

Kareler özdeş olduğundan her birinin alanı $\frac{200}{2} = 100$ cm$^2$ dir. Alanları $100$ cm$^2$ olan bir karenin bir kenarı $a = \sqrt{100} = 10$ cm'dir. İki karenin birer kenar uzunlukları toplamı $= 10 + 10 = 20$ cm bulunur. Sonuç: A şıkkı.