ALES ALES Sayısal Çokgenler ve Dörtgenler Testi #2

1. Düzgün çokgenin kenar sayısı $n$ olsun. Dış açılar toplamı $360^\circ$ olduğundan bir dış açısı $\frac{360^\circ}{n} = 24^\circ$ formülüyle bulunur. 2. Buradan $n = \frac{360}{24} = 15$ kenarlı bir çokgen olduğu elde edilir. 3. $n$ kenarlı bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı $(n - 3)$ bağıntısı ile hesaplanır. 4. Kenar sayısı 15 olduğuna göre, bir köşeden çizilebilen köşegen sayısı $15 - 3 = 12$'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. $n$ kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $(n - 2) \cdot 180^\circ$ formülü ile bulunur. 2. $(n - 2) \cdot 180^\circ = 1800^\circ \implies n - 2 = 10 \implies n = 12$ olarak bulunur. 3. $n$ kenarlı bir çokgenin toplam köşegen sayısı $\frac{n(n - 3)}{2}$ formülü ile hesaplanır. 4. $n = 12$ için: $\frac{12 \cdot (12 - 3)}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = 6 \cdot 9 = 54$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Düzgün beşgenin bir iç açısı $\frac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5} = 108^\circ$'dir. Buradan $m(\widehat{EAB}) = 108^\circ$ olur. 2. $ABF$ eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açıları $60^\circ$'dir, yani $m(\widehat{BAF}) = 60^\circ$'dir. 3. Eşkenar üçgen dışarıya doğru çizildiğinden $[AB]$ ortak kenar olup $[AF]$ ışını beşgenin dış bölgesindedir. 4. Dolayısıyla $\widehat{EAF}$ açısı, $\widehat{EAB}$ açısı ile $\widehat{BAF}$ açısının birleşiminden oluşur. 5. $m(\widehat{EAF}) = m(\widehat{EAB}) + m(\widehat{BAF}) = 108^\circ + 60^\circ = 168^\circ$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Bir kenar uzunluğu $a$ olan düzgün altıgende en uzun köşegen simetri eksenidir ve uzunluğu $2a$'dır. 2. $2a = 16 \implies a = 8\text{ cm}$ bulunur. 3. Düzgün altıgenin alanı, bir kenarı $a$ olan 6 tane eşkenar üçgenin alanına eşittir: $\text{Alan} = 6 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2$. 4. $a = 8$ değeri yerine yazıldığında: $\text{Alan} = 6 \cdot \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{64 \sqrt{3}}{4} = 6 \cdot 16\sqrt{3} = 96\sqrt{3}\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Bir konveks dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$'dir. 2. Verilen açıları toplayalım: $x + (x + 15^\circ) + (2x - 10^\circ) + (2x + 25^\circ) = 360^\circ$ 3. İfadeleri sadeleştirelim: $6x + 30^\circ = 360^\circ \implies 6x = 330^\circ \implies x = 55^\circ$ bulunur. 4. Açılar sırasıyla: - $55^\circ$ - $55^\circ + 15^\circ = 70^\circ$ - $2(55^\circ) - 10^\circ = 100^\circ$ - $2(55^\circ) + 25^\circ = 135^\circ$ 5. En büyük iç açı $135^\circ$ olarak bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Köşegenleri dik kesişen konveks bir dörtgenin alanı $\text{Alan}(ABCD) = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f$'dir. 2. Buradan $\text{Alan}(ABCD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96\text{ cm}^2$ bulunur. 3. Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde oluşan dörtgenin (Varignon paralelkenarı) alanı, orijinal dörtgenin alanının tam yarısına eşittir. 4. Dolayısıyla oluşan dörtgenin alanı $\frac{96}{2} = 48\text{ cm}^2$'dir. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Bir yamukta tabanlar $a$ ve $c$ olmak üzere, orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasının uzunluğu $\frac{|a - c|}{2}$ formülü ile hesaplanır. 2. Soruda verilen değerler $a = |AB| = 14\text{ cm}$ ve $c = |CD| = 6\text{ cm}$'dir. 3. İlgili uzunluk: $\frac{14 - 6}{2} = \frac{8}{2} = 4\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Üst tabanın $C$ ve $D$ köşelerinden alt taban $[AB]$'ye dikmeler indirelim ($CH \perp AB$ ve $DK \perp AB$). 2. İkizkenar yamukta $|AK| = |HB| = \frac{|AB| - |CD|}{2} = \frac{22 - 10}{2} = 6\text{ cm}$ olur. 3. $AKD$ dik üçgeninde hipotenüs $|AD| = 10\text{ cm}$ ve bir dik kenar $|AK| = 6\text{ cm}$ olduğundan, pisagor bağıntısından yükseklik $h = |DK| = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8\text{ cm}$ bulunur. 4. Yamuğun alanı $\text{Alan} = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h$ formülü ile hesaplanır. 5. $\text{Alan} = \frac{22 + 10}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Köşegenleri dik kesişen bir dik yamukta yükseklik $h = |AD|$, tabanların geometrik ortalamasına eşittir: $h^2 = a \cdot c$. 2. Soruda verilen taban uzunlukları $a = |AB| = 16\text{ cm}$ ve $c = |CD| = 4\text{ cm}$'dir. 3. $h^2 = 16 \cdot 4 = 64 \implies h = 8\text{ cm}$ elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Paralelkenarda komşu iki açının toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 180^\circ$. 2. Açıortaylar çizildiğinde $m(\widehat{PAB}) = \frac{m(\widehat{A})}{2}$ ve $m(\widehat{PBA}) = \frac{m(\widehat{B})}{2}$ olur. 3. Bu iki açının toplamı $\frac{m(\widehat{A}) + m(\widehat{B})}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$'dir. 4. $APB$ üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan $m(\widehat{APB}) = 90^\circ$'dir, yani $APB$ bir dik üçgendir. 5. Dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanırsa: $|AB|^2 = |AP|^2 + |BP|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \implies |AB| = 10\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Paralelkenarın bir kenarı taban kabul edilip karşı kenar üzerinde seçilen herhangi bir tepe noktasıyla oluşturulan üçgenin alanı, paralelkenarın alanının yarısına eşittir. 2. Burada $ABE$ üçgeninin tabanı paralelkenarın $[AB]$ kenarıdır ve yüksekliği paralelkenarın $[AB]$ kenarına ait yüksekliği ile aynıdır. 3. $\text{Alan}(ABE) = \frac{\text{Alan}(ABCD)}{2}$ bağıntısı geçerlidir. 4. $28 = \frac{\text{Alan}(ABCD)}{2} \implies \text{Alan}(ABCD) = 28 \cdot 2 = 56\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Eşkenar dörtgenin tüm kenarları eşit olduğundan bir kenar uzunluğu $a = \frac{40}{4} = 10\text{ cm}$'dir. 2. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik ortalar. Köşegenler $e$ ve $f$ olsun. $e = 12\text{ cm}$ ise yarısı $\frac{e}{2} = 6\text{ cm}$'dir. 3. Köşegenlerin kesim noktasında oluşan dik üçgende Pisagor teoreminden: $(\frac{e}{2})^2 + (\frac{f}{2})^2 = a^2 \implies 6^2 + (\frac{f}{2})^2 = 10^2 \implies 36 + (\frac{f}{2})^2 = 100 \implies (\frac{f}{2})^2 = 64 \implies \frac{f}{2} = 8\text{ cm}$. 4. Diğer köşegen uzunluğu $f = 16\text{ cm}$ olur. 5. Eşkenar dörtgenin alanı $\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96\text{ cm}^2$ olarak hesaplanır. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Eşkenar dörtgenin köşegenleri $e = 15\text{ cm}$ ve $f = 20\text{ cm}$ birbirini dik ortalar. 2. Dik üçgenin dik kenarları $\frac{15}{2} = 7{,}5\text{ cm}$ ve $\frac{20}{2} = 10\text{ cm}$'dir. 3. Kenar uzunluğu $a$ için: $a^2 = (7{,}5)^2 + 10^2 = 56{,}25 + 100 = 156{,}25 \implies a = 12{,}5 = \frac{25}{2}\text{ cm}$ bulunur. 4. Alan iki farklı yolla hesaplanabilir: $\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{15 \cdot 20}{2} = 150\text{ cm}^2$. 5. Aynı zamanda $\text{Alan} = a \cdot h$ olduğundan: $150 = \frac{25}{2} \cdot h \implies 300 = 25h \implies h = 12\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. $ABD$ dik üçgeninde dik kenarlar $|AB| = 16\text{ cm}$ ve $|AD| = 12\text{ cm}$'dir. 2. Hipotenüs uzunluğu Pisagor bağıntısı ile $|BD| = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$ bulunur (3-4-5 üçgeninin 4 katı). 3. $A$ noktasının $[BD]$ hipotenüsüne olan uzaklığı $h$ olsun. 4. $ABD$ üçgeninin alanından: $\frac{|AB| \cdot |AD|}{2} = \frac{|BD| \cdot h}{2} \implies 16 \cdot 12 = 20 \cdot h$. 5. $192 = 20h \implies h = \frac{192}{20} = 9{,}6\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Dikdörtgenin uzun kenarı $|AB| = |AE| + |EB| = 3 + 9 = 12\text{ cm}$'dir. 2. Dikdörtgenin alanı $|AB| \cdot |BC| = 96\text{ cm}^2$ olduğundan kısa kenar $|BC| = \frac{96}{12} = 8\text{ cm}$ bulunur. 3. $EBC$ üçgeni, $B$ köşesinde dik olan bir dik üçgendir. Dik kenarları $|EB| = 9\text{ cm}$ ve $|BC| = 8\text{ cm}$'dir. 4. $\text{Alan}(EBC) = \frac{|EB| \cdot |BC|}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Bir karenin köşegen uzunluğu $a\sqrt{2}$ formülü ile verilir. Burada $a\sqrt{2} = 10\sqrt{2} \implies a = 10\text{ cm}$ büyük karenin bir kenar uzunluğudur. 2. Büyük karenin alanı: $A_1 = a^2 = 10^2 = 100\text{ cm}^2$'dir. 3. İçerideki küçük karenin bir kenarı $4\text{ cm}$ olduğundan alanı: $A_2 = 4^2 = 16\text{ cm}^2$'dir. 4. Kalan bölgenin alanı: $A_1 - A_2 = 100 - 16 = 84\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Karenin toplam alanı: $\text{Alan}(ABCD) = 12^2 = 144\text{ cm}^2$'dir. 2. $E$ ve $F$ orta noktalar olduğundan $|BE| = |EC| = 6\text{ cm}$ ve $|CF| = |FD| = 6\text{ cm}$'dir. 3. $AEF$ üçgeninin çevresindeki üçgenlerin alanlarını hesaplayalım: - $ABE$ dik üçgeninin alanı: $\frac{|AB| \cdot |BE|}{2} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36\text{ cm}^2$. - $ADF$ dik üçgeninin alanı: $\frac{|AD| \cdot |DF|}{2} = \frac{12 \cdot 6}{2} = 36\text{ cm}^2$. - $ECF$ dik üçgeninin alanı: $\frac{|EC| \cdot |CF|}{2} = \frac{6 \cdot 6}{2} = 18\text{ cm}^2$. 4. Bu üç dik üçgenin alanları toplamı: $36 + 36 + 18 = 90\text{ cm}^2$'dir. 5. $AEF$ üçgeninin alanı: $144 - 90 = 54\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Deltoidde köşegenler dik kesişir. $[AC] \perp [BD]$ olup $[AC]$ köşegeni $[BD]$ köşegenini ortalar. Kesişim noktası $H$ olsun; $|BH| = |HD| = x$ ve $|BD| = 2x$ olur. 2. $|AB| = 13$, $|BC| = 20$ ve $|AC| = 21$ olduğundan $ABC$ üçgeninin kenarları 13, 20 ve 21'dir. 3. $H \in [AC]$ olmak üzere $|AH| = y$ ve $|HC| = 21 - y$ diyelim. $ABH$ ve $CBH$ dik üçgenlerinde: $x^2 = 13^2 - y^2 = 169 - y^2$ $x^2 = 20^2 - (21 - y)^2 = 400 - (441 - 42y + y^2) = 42y - 41 - y^2$ 4. Eşitlikten: $169 - y^2 = 42y - 41 - y^2 \implies 42y = 210 \implies y = 5\text{ cm}$ bulunur. 5. Buradan $x^2 = 169 - 5^2 = 144 \implies x = 12\text{ cm}$ elde edilir. 6. $[BD]$ köşegeninin uzunluğu: $|BD| = 2x = 2 \cdot 12 = 24\text{ cm}$'dir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Deltoidin köşegenleri birbirine diktir. 2. Köşegenleri dik kesişen bir dörtgenin alanı $\text{Alan} = \frac{e \cdot f}{2}$ bağıntısı ile hesaplanır. 3. Verilen değerleri formülde yerine yazalım: $84 = \frac{14 \cdot f}{2}$. 4. $84 = 7 \cdot f \implies f = \frac{84}{7} = 12\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. $[AB] \parallel [CD]$ olduğundan kelebek benzerliğinden dolayı $CKD \sim AKB$ üçgenleri benzerdir. 2. Benzerlik oranı: $k = \frac{|CD|}{|AB|} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$'tür. 3. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: $\frac{\text{Alan}(CKD)}{\text{Alan}(AKB)} = k^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$. 4. Verilen $\text{Alan}(CKD) = 16\text{ cm}^2$ değerini yerine yazarsak: $\frac{16}{\text{Alan}(AKB)} = \frac{4}{9} \implies \text{Alan}(AKB) = \frac{16 \cdot 9}{4} = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.