ALES ALES Sayısal Katı Cisimler Testi #3

1. Bir kenar uzunluğu $a$ olan küpün cisim köşegeni $k = a\sqrt{3}$ bağıntısıyla hesaplanır. 2. Verilen $a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ eşitliğinden küpün bir ayrıt uzunluğu $a = 6\text{ cm}$ olarak bulunur. 3. Küpün toplam yüzey alanı 6 adet eş kareden oluşur ve $A = 6a^2$ formülüyle bulunur. 4. $A = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216\text{ cm}^2$ elde edilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni $k = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ formülü ile hesaplanır. 2. Buradan $a^2 + b^2 + c^2 = (\sqrt{149})^2 = 149$ olur. 3. Toplam yüzey alanı $A = 2(ab + bc + ac)$ formülü ile ifade edilir. 4. Üç terimli toplamın karesi açılımından: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac)$ eşitliği geçerlidir. 5. Verilenleri yerine yazarsak: $17^2 = 149 + A \implies 289 = 149 + A \implies A = 289 - 149 = 140\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Dik dairesel silindirin toplam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir: $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. 2. Taban yarıçapı $r = 4\text{ cm}$ ve yükseklik $h = 9\text{ cm}$'dir. 3. Taban alanları toplamı: $2 \cdot \pi \cdot 4^2 = 2 \cdot 16\pi = 32\pi\text{ cm}^2$. 4. Yanal alan: $2\pi \cdot 4 \cdot 9 = 72\pi\text{ cm}^2$. 5. Toplam yüzey alanı: $A = 32\pi + 72\pi = 104\pi\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Dik dairesel konide taban yarıçapı $r$, yükseklik $h$ ve ana doğru $l$ arasında $r^2 + h^2 = l^2$ bağıntısı vardır. 2. Verilenler: $r = 5\text{ cm}$ ve $l = 13\text{ cm}$'dir. 3. $5^2 + h^2 = 13^2 \implies 25 + h^2 = 169 \implies h^2 = 144 \implies h = 12\text{ cm}$ bulunur. 4. Koninin hacmi $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$ formülüyle hesaplanır. 5. $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi\text{ cm}^3$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Yarıçapı $r$ olan bir kürenin yüzey alanı $A = 4\pi r^2$ formülüyle bulunur. 2. $4\pi r^2 = 144\pi \implies 4r^2 = 144 \implies r^2 = 36 \implies r = 6\text{ cm}$ olarak hesaplanır. 3. Kürenin hacmi $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ formülü ile verilir. 4. $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216 = 4 \cdot 72\pi = 288\pi\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Taban ayrıtı $a = 10\text{ cm}$ olan karenin merkezinden bir kenara olan dik uzaklık $\frac{a}{2} = 5\text{ cm}$'dir. 2. Cismin tepe noktası, taban merkezi ve yan yüz kenarının orta noktası bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende hipotenüs yan yüz yüksekliği $h_y = 13\text{ cm}$, dik kenarlardan biri ise $5\text{ cm}$'dir. 3. Cisim yüksekliği $h$ için Pisagor bağıntısından: $h^2 + 5^2 = 13^2 \implies h^2 + 25 = 169 \implies h^2 = 144 \implies h = 12\text{ cm}$ bulunur. 4. Taban alanı $A_t = 10^2 = 100\text{ cm}^2$'dir. 5. Piramidin hacmi: $V = \frac{1}{3} \cdot A_t \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400\text{ cm}^3$ elde edilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Dikdörtgen bir kenarı etrafında $360^\circ$ döndürüldüğünde bir dik dairesel silindir oluşur. 2. Dönme ekseni olarak uzun kenar ($8\text{ cm}$) seçildiğinden bu kenar silindirin yüksekliği olur ($h = 8\text{ cm}$). 3. Diğer kenar ($6\text{ cm}$) ise dönme yarıçapı olur ($r = 6\text{ cm}$). 4. Silindirin hacmi $V = \pi r^2 h$ formülüyle hesaplanır. 5. $V = \pi \cdot 6^2 \cdot 8 = \pi \cdot 36 \cdot 8 = 288\pi\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Bir küpün herhangi bir köşesinden, köşeyi oluşturan üç ayrıta paralel olacak şekilde daha küçük bir küp çıkarıldığında oluşan boşlukta 3 yeni yüzey meydana gelir. 2. Çıkarılan küpün dışa bakan 3 yüzeyi eksilirken, cismin iç kısmında eksilen yüzeylere eş büyüklükte ve aynı doğrultularda 3 yeni iç yüzey açığa çıkar. 3. Kaybedilen yüzey alanı ile kazanılan yüzey alanı birbirine eşit olduğu için toplam yüzey alanı değişmez. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Tamamen suya batan kürenin hacmi, yükselen suyun hacmine eşittir. 2. Yarıçapı $r_k = 3\text{ cm}$ olan kürenin hacmi: $V_k = \frac{4}{3}\pi (r_k)^3 = \frac{4}{3}\pi (3^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi\text{ cm}^3$'tür. 3. Yükselen su, yarıçapı $r_s = 6\text{ cm}$ olan bir silindir dilimi oluşturur. Yükseklik artışı $h$ olsun. 4. Yükselen suyun hacmi: $V = \pi (r_s)^2 h = \pi (6^2) h = 36\pi h$'dir. 5. $36\pi h = 36\pi \implies h = 1\text{ cm}$ olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Bir dik koninin yanal açınımındaki daire diliminin merkez açısı $\alpha$, taban yarıçapı $r$ ve ana doğrusu $l$ arasında $\frac{r}{l} = \frac{\alpha}{360^\circ}$ bağıntısı vardır. 2. Verilenler: $l = 15\text{ cm}$ ve $\alpha = 120^\circ$'dir. 3. Bağıntıyı uygularsak: $\frac{r}{15} = \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$. 4. Buradan $3r = 15 \implies r = 5\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Benzer geometrik cisimlerde hacimler oranı, benzerlik oranının küpüne eşittir: $\frac{V_1}{V_2} = k^3$. 2. Kesilen küçük piramidin yüksekliğinin büyük piramidin yüksekliğine oranı benzerlik oranını verir: $k = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. 3. Küçük piramidin hacminin büyük piramidin hacmine oranı: $k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$'dir. 4. Büyük piramidin hacmi $96\text{ cm}^3$ olduğundan üstteki küçük piramidin hacmi: $V_{\text{üst}} = 96 \cdot \frac{1}{8} = 12\text{ cm}^3$ olur. 5. Altta kalan kesik piramidin hacmi: $V_{\text{kesik}} = 96 - 12 = 84\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Yarıçapı $r$ olan kürenin hacmi: $V_k = \frac{4}{3}\pi r^3$. 2. Taban yarıçapı $r$ ve yüksekliği $h$ olan silindirin hacmi: $V_s = \pi r^2 h$. 3. Hacimler birbirine eşit olduğundan: $\frac{4}{3}\pi r^3 = \pi r^2 h$ yazılır. 4. Her iki tarafı $\pi r^2$'ye bölersek: $h = \frac{4}{3}r$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Dikdörtgenler prizmasının yüzeyi üzerinden karşı köşeye giden en kısa yol, yüzeylerin düzleme açılmasıyla hesaplanır. 2. Ayrıtları $a=3$, $b=4$, $c=12$ olan prizmada açılabilecek iki yüzeyin oluşturduğu dik kenar alternatifleri: - 1. Durum: Kenarlar $(3 + 4)$ ve $12 \implies 7$ ve $12$: Yol = $\sqrt{7^2 + 12^2} = \sqrt{49 + 144} = \sqrt{193}\text{ cm}$. - 2. Durum: Kenarlar $(3 + 12)$ ve $4 \implies 15$ ve $4$: Yol = $\sqrt{15^2 + 4^2} = \sqrt{225 + 16} = \sqrt{241}\text{ cm}$. - 3. Durum: Kenarlar $(4 + 12)$ ve $3 \implies 16$ ve $3$: Yol = $\sqrt{16^2 + 3^2} = \sqrt{256 + 9} = \sqrt{265}\text{ cm}$. 3. Bu değerler arasında en küçüğü $\sqrt{193}\text{ cm}$'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Prizmanın ayrıtları $a$, $b$ ve $c$ olsun. 2. Farklı üç yüzünün alanları: $a \cdot b = 12$, $b \cdot c = 15$ ve $a \cdot c = 20$'dir. 3. Bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak: $(a \cdot b) \cdot (b \cdot c) \cdot (a \cdot c) = 12 \cdot 15 \cdot 20$. 4. $a^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = 3600$ elde edilir. 5. Prizmanın hacmi $V = a \cdot b \cdot c$ olduğundan: $V = \sqrt{3600} = 60\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Başlangıçtaki küpün bir ayrıt uzunluğuna $a = 2$ diyelim. Başlangıç hacmi: $V_1 = a^3 = 2^3 = 8$ olur. 2. Ayrıt uzunluğu %50 artırılırsa yeni ayrıt: $a' = 2 + (2 \cdot 0{,}50) = 3$ olur. 3. Yeni küpün hacmi: $V_2 = (a')^3 = 3^3 = 27$ olur. 4. Hacimdeki artış miktarı: $V_2 - V_1 = 27 - 8 = 19$'dur. 5. Hacimdeki yüzde artış: $\frac{19}{8} \times 100 = 2{,}375 \times 100 = \%237{,}5$ olarak bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Dik dairesel silindirin yanal alanı $Y = 2\pi r h$ bağıntısıyla bulunur. 2. Verilenler yerine yazılırsa: $2\pi r \cdot 10 = 120\pi \implies 20\pi r = 120\pi \implies r = 6\text{ cm}$ elde edilir. 3. Silindirin hacmi $V = \pi r^2 h$ formülüyle hesaplanır. 4. $V = \pi \cdot 6^2 \cdot 10 = \pi \cdot 36 \cdot 10 = 360\pi\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Tabanı eşkenar üçgen olan prizmanın taban alanı $A_t = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$ formülüyle hesaplanır. 2. Kenar $a = 4\text{ cm}$ olduğundan: $A_t = \frac{4^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2$'dir. 3. Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir: $V = A_t \cdot h$. 4. $V = 4\sqrt{3} \cdot 9 = 36\sqrt{3}\text{ cm}^3$ bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Düzgün dörtyüzlü, 4 adet birbirine eş eşkenar üçgenden oluşur. 2. Bir ayrıtı $a = 6\text{ cm}$ olan eşkenar üçgenin alanı: $A_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\text{ cm}^2$'dir. 3. Toplam yüzey alanı 4 eş yüzeyden oluştuğundan: $A = 4 \cdot A_1 = 4 \cdot 9\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Eritilen kürenin hacmi: $V_k = \frac{4}{3}\pi r_k^3 = \frac{4}{3}\pi (6^3) = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi\text{ cm}^3$'tür. 2. Oluşturulan dik dairesel silindirin taban yarıçapı $r_s = 3\text{ cm}$ ve yüksekliği $h$ olsun. Silindirin hacmi: $V_s = \pi (r_s)^2 h = \pi (3^2) h = 9\pi h$'dir. 3. Hacim kaybı olmadığından $V_s = V_k$ eşitliği kurulur: $9\pi h = 288\pi \implies 9h = 288 \implies h = 32\text{ cm}$ olarak bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Taban dairesinin çevresi $C = 2\pi r = 16\pi \implies r = 8\text{ cm}$ bulunur. 2. Yükseklik $h = 15\text{ cm}$ olarak verilmiştir. 3. Dik konide ana doğru $l$ için Pisagor bağıntısı uygulanırsa: $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17\text{ cm}$ (8-15-17 özel üçgeni) bulunur. 4. Koninin yanal alanı $Y = \pi r l$ formülü ile hesaplanır. 5. $Y = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi\text{ cm}^2$ elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.