ALES ALES Sayısal Doğruda ve Üçgende Açılar Testi #2

1. Tümler iki açının toplamı $90^\circ$'dir. Açılar $2x$ ve $3x$ olsun. 2. $2x + 3x = 90^\circ \implies 5x = 90^\circ \implies x = 18^\circ$ bulunur. 3. Büyük açı $3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$'dir. 4. Bütünler iki açının toplamı $180^\circ$ olduğundan, $54^\circ$'lik açının bütünleri $180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$ olarak hesaplanır. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Aranan açıya $x$ diyelim. Bu açının bütünleri $180^\circ - x$'tir. 2. Verilen bilgiye göre: $180^\circ - x = 3x + 12^\circ$. 3. Denklemi çözelim: $180^\circ - 12^\circ = 4x \implies 168^\circ = 4x \implies x = 42^\circ$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı $180^\circ$'dir. 2. $(3x - 10^\circ) + (2x + 20^\circ) + (x + 30^\circ) = 180^\circ$. 3. Benzer terimleri toplayalım: $6x + 40^\circ = 180^\circ \implies 6x = 140^\circ \implies x = \frac{140}{6} = \frac{70}{3}$ derece gibi kesirli gelmemesi için katsayıları kontrol edelim: Düzeltme: $m(\widehat{A}) = 2x - 10^\circ$, $m(\widehat{B}) = 3x + 10^\circ$, $m(\widehat{C}) = 4x$ olsun. Toplam: $(2x - 10^\circ) + (3x + 10^\circ) + 4x = 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$. 4. Açılar: - $m(\widehat{A}) = 2(20^\circ) - 10^\circ = 30^\circ$ - $m(\widehat{B}) = 3(20^\circ) + 10^\circ = 70^\circ$ - $m(\widehat{C}) = 4(20^\circ) = 80^\circ$ 5. En küçük iç açı $30^\circ$ olarak bulunur. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Bir üçgende bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir. 2. $C$ köşesindeki dış açı, $A$ ve $B$ iç açılarının toplamına eşittir: $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) = 124^\circ$. 3. $m(\widehat{A}) = 3m(\widehat{B})$ olarak verildiğinden yerine yazalım: $3m(\widehat{B}) + m(\widehat{B}) = 124^\circ \implies 4m(\widehat{B}) = 124^\circ$. 4. $m(\widehat{B}) = \frac{124^\circ}{4} = 31^\circ$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Taban açıları $m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = \frac{180^\circ - 40^\circ}{2} = \frac{140^\circ}{2} = 70^\circ$'dir. 2. Açıortaylar $B$ ve $C$ köşelerinden çıktığı için açıortayların oluşturduğu alt üçgendeki açılar $35^\circ ve$35^\circ$ olur. 3. Açıortayların kesişim noktası $I$ olsun. $BIC$ üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$'dir: $m(\widehat{BIC}) = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. (Pratik kural: $90^\circ + \frac{\text{Tepe Açısı}}{2} = 90^\circ + \frac{40^\circ}{2} = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ$). Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Eşkenar üçgenin iç bölgesindeki bir noktadan kenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları toplamı, eşkenar üçgenin yüksekliğine eşittir. 2. Yükseklik $h = 12\sqrt{3}\text{ cm}$'dir. 3. Bir kenarı $a$ olan eşkenar üçgende yükseklik $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ formülü ile hesaplanır. 4. $\frac{a\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \implies a\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \implies a = 24\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. İç açıortay teoremine göre, bir üçgende iç açıortay karşı kenarı yan kenarların uzunlukları oranında böler: $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|AB}{|AC|}$. 2. Değerleri yerine yazalım: $\frac{|BN|}{|NC|} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. 3. Buradan $|BN| = 3k$ ve $|NC| = 4k$ diyelim. Toplam kenar $|BC| = |BN| + |NC| = 3k + 4k = 7k$. 4. $7k = 14 \implies k = 2\text{ cm}$ bulunur. 5. |BN} = 3k = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm} olarak elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Üçgenin ağırlık merkezi kenarortayı köşeden 2 birim, kenardan 1 birim olacak şekilde böler ($2:1$ oranı). 2. Yani $|AG| = 2k$ iken $|GD| = k$'dir. 3. Verilen $|AG| = 8\text{ cm}$ olduğundan $2k = 8 \implies k = 4\text{ cm}$ bulunur. 4. Dolayısıyla $|GD| = 4\text{ cm}$'dir. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. Üçgen eşitsizliğine göre her bir kenar, diğer iki kenarın uzunlukları farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçüktür. 2. $|11 - 7| < |BC| < 11 + 7 \implies 4 < |BC| < 18$. 3. Bu aralıktaki tam sayı değerleri: $5, 6, 7, \dots, 17$'dir. 4. Değer sayısı: $17 - 5 + 1 = 13$ tanedir. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Öklit bağıntılarından dik kenar bağıntısı: |AB|^2 = |BH} \cdot |BC| formülüyle hesaplanır. 2. $|BC| = |BH| + |HC| = 4 + 9 = 13\text{ cm}$'dir. 3. $|AB|^2 = 4 \cdot 13 = 52 \implies |AB| = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c = 15\text{ cm}$ olsun. 2. Çevre: $a + b + 15 = 36 \implies a + b = 21\text{ cm}$. 3. Pisagor teoreminden: $a^2 + b^2 = 15^2 = 225$. 4. $(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 21^2 = 225 + 2ab \implies 441 = 225 + 2ab \implies 2ab = 216 \implies ab = 108$. 5. Çarpımları 108 ve toplamları 21 olan sayılar 12 ve 9'dur ($12 + 9 = 21$ ve $12 \cdot 9 = 108$). 6. Dik kenarların farkı: $12 - 9 = 3\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Önce Heron formülü ile üçgenin alanını hesaplayalım. Çevre $2u = 10 + 17 + 21 = 48 \implies u = 24$. 2. Alan: $A = \sqrt{u(u-a)(u-b)(u-c)} = \sqrt{24 \cdot (24-10) \cdot (24-17) \cdot (24-21)}$ $A = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(4 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot (18 \cdot 7^2)} \text{ yerine düzgünçarpanlara ayıralım:}$ $24 = 8 \cdot 3$, $14 = 2 \cdot 7$, $7, 3 \implies \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$. 3. Alan formülü: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{taban} \cdot \text{yükseklik} \implies 84 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$. 4. $84 = 5h \implies h = \frac{84}{5} = 16{,}8\text{ cm}$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. $[DE] \parallel [BC]$ olduğundan $ADE \sim ABC$ benzerliği vardır. 2. Parça-bütün oranı: $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4 + 6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ (benzerlik oranı $k = \frac{2}{5}$).exercises 3. Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir: $\frac{\text{Alan}(ADE)}{\text{Alan}(ABC)} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$. 4. $\frac{16}{\text{Alan}(ABC)} = \frac{4}{25} \implies \text{Alan}(ABC) = \frac{16 \cdot 25}{4} = 4 \cdot 25 = 100\text{ cm}^2$ bulunur. Doğru cevap E seçeneğidir.

1. Tepe açısı $120^\circ$ olan ikizkenar üçgende taban açıları $30^\circ - 30^\circ$ olur. 2. Tepe noktasından tabana bir dikme (yükseklik) indirildiğinde $30^\circ - 60^\circ - 90^\circ$ özel dik üçgenleri oluşur. 3. Taban iki eş parçaya bölünür: $\frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\text{ cm}$. 4. $30^\circ$nin karşısındaki kenar $6\sqrt{3}\text{ cm}$ ise, $90^\circ$nin karşısı (eşit kenarlardan biri) bunun 2 katıdır: $2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\text{ cm}$. Daha düzgün olması için tabanı $12\text{ cm}$ alalım: Eğer taban $12\text{ cm}$ ise tabana indirilen dikme tabanı $6\text{ cm}$ ve $6\text{ cm}$ böler. $30^\circ$nin karşısı $6\text{ cm}$ ise hipotenüs $12\text{ cm}$ olur. Soru metnini tabanı $12\text{ cm}$ olarak güncelleyelim: Taban uzunluğu $12\text{ cm}$ olan... eşit kenar $12\text{ cm}$ olur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. Bir üçgende iki dış açıortayın kesişmesiyle oluşan açının ölçüsü formülü: $90^\circ - \frac{\text{Tepe Açısı}}{2}$'dir. 2. $90^\circ - \frac{m(\widehat{A})}{2} = 50^\circ$. 3. $\frac{m(\widehat{A})}{2} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \implies m(\widehat{A}) = 80^\circ$ bulunur. Doğru cevap D seçeneğidir.

1. Açıların büyüklük sıralaması kenar uzunluklarının sıralamasını belirler: $a < b < c$. 2. Çevre $a + b + c = 36\text{ cm}$'dir. 3. En küçük kenarın en büyük tam sayı değerini bulmak için kenarları birbirine mümkün olduğunca yakın seçeriz ancak çeşitkenar kuralı gereği $a < b < c$ olmalıdır. 4. Eğer $a, b, c$ ardışık tam sayılar olsa idi: $a, a+1, a+2 \implies 3a + 3 = 36 \implies 3a = 33 \implies a = 11$ olurdu. Bu durumda kenarlar 11, 12, 13 olur. 5. Çeşitkenar şartını sağlar ve $a=11$'den daha büyük bir tam sayı olamaz (çünkü $b$ ve $c$ daha büyük olmalıdır). Doğru cevap C seçeneğidir.

1. $ABC$ dik üçgeninde $A$ açısı $90^\circ$ olduğundan $B$ ve $C$ açıları tümler açılardır ($B + C = 90^\circ$). 2. $\tan(\widehat{B}) = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}} = \frac{5}{12}$ olduğuna göre dik kenarlar 5k ve 12k'dir. 3. Hipotenüs $c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ birimdir. 4. $\sin(\widehat{C})$ değeri, $C$ açısının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır. $C$ açısının karşısındaki kenar $AB = 12$ birimdir. 5. $\sin(\widehat{C}) = \frac{12}{13}$ olarak bulunur. Doğru cevap B seçeneğidir.

1. $A$ köşesinden taban olan $[BC]$'ye bir dikme indirelim ($AH \perp BC$). 2. İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme tabanı iki eşit parçaya böler: |BH} = |HC| = \frac{16}{2} = 8\text{ cm}. 3. $ABH$ dik üçgeninde hipotenüs $10\text{ cm}$ ve bir dik kenar $8\text{ cm}$'dir. Pisagor teoreminden yükseklik $h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$ bulunur. 4. Üçgenin alanı: $\text{Alan} = \frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2} = \frac{16 \cdot 6}{2} = 48\text{ cm}^2$ elde edilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

1. İç açıortayların kesim noktasında oluşan açının formülü: $m(\widehat{BIC}) = 90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2}$ şeklindedir. 2. Verilen değeri yerine yazalım: $90^\circ + \frac{m(\widehat{A})}{2} = 125^\circ$. 3. $\frac{m(\widehat{A})}{2} = 125^\circ - 90^\circ = 35^\circ$. 4. $m(\widehat{A}) = 35^\circ \cdot 2 = 70^\circ$ olarak bulunur. Doğru cevap C seçeneğidir.

1. $ADE$ üçgeni ile $ACB$ üçgeninde $m(\widehat{A})$ ortak açıdır ve $m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{C})$ olduğu verilmiştir. Bu durumda $ADE \sim ACB$ benzerliği vardır. 2. Benzerlik oranını kuralım: \frac{|AD}}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AB|}. 3. $|AB| = |AD| + |DB| = 3 + 5 = 8\text{ cm}$'dir. 4. Değerleri yerine yazalım: $\frac{3}{|AC|} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$. 5. Buradan $|AC| = 3 \cdot 2 = 6\text{ cm}$ bulunur. 6. $|AC| = |AE| + |EC| \implies 6 = 4 + |EC| \implies |EC| = 2\text{ cm}$ elde edilir. Doğru cevap B seçeneğidir.